高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价五十七　简单的三角恒等变换(一)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价五十七简单的三角恒等变换(一)含答案五十七简单的三角恒等变换(一)(时间:45分钟分值:95分)【基础全面练】1.(5分)1+cos260°2= (A.sin40° B.cos40°C.cos130° D.±cos50°【解析】选A.1+cos260°2=1+2cos22.(5分)已知cosθ=-45,π<θ<2π,则tanθ2的值为 (A.3 B.-3 C.13 D.-【解析】选B.因为π<θ<2π,所以π2<θ所以tanθ2=-1-3.(5分)(2024·扬州高一检测)若θ∈[π4,π2],sin2θ=378,则sinθ=A.35 B.45 C.74 【解析】选D.由θ∈[π4,π2]可得2θ∈[π2,π],cos2θ=-1-sin22θ4.(5分)若sin76°=m,则cos7°可用含m的式子表示为 ()A.1-m2 C.1-m1+m 【解析】选B.cos14°=sin76°=m,又因为cos27°=1+cos所以cos7°=1+cos14°5.(5分)设直角三角形中两锐角为A和B,则cosAcosB的取值范围是 ()A.(0,12] B.C.[12,1) D.[34【解析】选A.直角三角形中两锐角为A和B,则A+B=π2,则cosAcosB=12[cos(A-B)+cos(A+B)]=12cos(A-B),再结合A-B∈(-π2,π2),可得cos(A所以cosAcosB=12cos(A-B)∈(0,126.(5分)(多选)已知2sinα=1+cosα,则tanα2的可能取值为 (A.12 B.1 C.2 D.【解析】选AD.由题意知4sinα2cosα2=1+2cos2α2-1,故有2sinα2cosα2-cos2α2=0,若2sinα2-cosα2=0,则tanα7.(5分)已知cos2α=725,α∈(-π2,0),则sinα=【解析】因为α∈(-π2,0),所以sinα所以sinα=-1-725答案:-38.(5分)(2024·南昌高一检测)已知α,β∈(0,π),且cosα=-35,cosβ=513,则sinα-【解析】因为α,β∈(0,π)且cosα=-35,cosβ=5所以α为钝角,β为锐角,所以sinα=45,sinβ=12所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=3365因为π2<α<π,0<β<π所以0<α-β<π,0<α-β2所以sinα-所以sinα-β2=1答案:49.(10分)已知5π2<α12+1【解析】因为5π2<α<3π,所以5π4<α2所以cosα<0,sinα2<0故原式=12+121+cos2α2+cosα2=12-110.(10分)求证:sinA+2sin3A【证明】左边=(=2sin3=2sin3=sin3A所以原等式成立.【综合应用练】11.(5分)sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值为 ()A.-14 B.14 C.12 D【解析】选B.sin20°·cos70°+sin10°·sin50°=12(sin90°-sin50°)-1=14-12sin50°+=14-12sin50°+1212.(5分)已知α-β=2π3,且cosα+cosβ=13,则cos(α+β)= (A.29 B.-29 C.79 D【解析】选D.因为cosα+cosβ=13所以2cosα+β2cosα因为α-β=2π3,所以α-β所以cosα-β2所以cosα+β2所以cos(α+β)=2cos2α+β213.(5分)(2023·武汉高一检测)已知θ为第四象限角,cosθ+sinθ=53,则cos2θ()A.-133 B.-659 C.133 【解析】选D.由cosθ+sinθ=53得(cosθ+sinθ)2=1+2sinθcosθ=5解得2sinθcosθ=-49所以(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=1+49=13因为θ为第四象限角,所以cosθ>0,sinθ<0,所以cosθ-sinθ=133所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=53×133=14.(5分)化简:sin4x1+cos4x·cos2x1+cos2【解析】原式=2sin2xcos2x2co=sin2x1+cos2=2sinxcos=sinx1+cosx答案:tanx15.(10分)已知sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32【证明】由已知,得sinA+sinB=-sinC①,cosA+cosB=-cosC②.所以2sinA+B2cosA-2cosA+B2cosA-因为当cosA-B2=0时,sinC=cosC=0不成立,所以cos③÷④,得tanA+B所以cos(A+B)=1-tan2①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,即cos(A-B)=-12所以cos2A+cos2B+cos2C=12(1+cos2A+1+cos2B+1+cos2C=32+12[2cos(A+B)cos(A-B)+cos2=32+12[2cos2C·(-12)+cos2C]【创新拓展练】16.(5分)tan12°-3sin6°sin84°+32cosA.4 B.8 C.16 D.32【解析】选C.原式=tan12°-tan60°=sin12°=sin12°=sin(=-2sin24°五十三两角差的余弦公式(时间:45分钟分值:95分)【基础全面练】1.(5分)sin20°cos10°+sin10°sin70°的值是()A.14 B.32 C.12 【解析】选C.sin20°cos10°+sin10°sin70°=cos70°cos10°+sin70°sin10°=cos(70°-10°)=cos60°=122.(5分)已知sinα=35,α∈(0,π2),则cos(α-A.425 B.7210 C.-425【解析】选B.因为sinα=35,α∈(0,π所以cosα=1-sin所以cos(α-π4)=cosαcosπ4+sinαsinπ4=45×22+33.(5分)满足cosαcosβ=32-sinαsinβ的一组α,βA.α=13π12,β=3π4 B.α=π2,C.α=π2,β=π6 D.α=π3,【解析】选B.由已知得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=32,检验知选B4.(5分)已知cosα=-35,α∈(π2,π),sinβ=-1213,β是第四象限角,则cos(βA.-3365 B.6365 C.-6365 D【解析】选C.已知cosα=-35,α∈(π2,π),则sinα=1-又sinβ=-1213,β则cosβ=1-sin则cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=513×(-35)+(-1213)×45.(5分)若0<α<π2<β<π,且cosβ=-35,sin(α+β)=513A.6365 B.5665 C.1665 【解析】选B.因为π2<β<π,且cosβ=-3所以sinβ=1-cos因为0<α<π2<β<π,所以π2<α+β<又sin(α+β)=513>0,所以π2<α+所以cos(α+β)=-1-sin所以cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=(-1213)×(-35)+513×46.(5分)若12sinx+32cosx=cos(x+φ),则A.-π6 B.-π3 C.π6 【解析】选A.因为12sinx+32cosx=cos(x-π6)=cos(x+φ),故φ的一个可能值为:φ7.(5分)cos7°-sin15°【解析】原式=cos=cos15=cos15°cos8°答案:68.(5分)在△ABC中,sinA=45,cosB=-1213,则cos(A-B)=【解析】因为cosB=-1213,且0<B所以π2<B所以sinB=1-cos2B=5所以cosA=1-sin所以cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=35×(-1213)+45×5答案:-169.(10分)如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.(1)如果A,B两点的纵坐标分别为45,1213,求cosα和sin【解析】(1)因为☉O为单位圆,且点A,B的纵坐标分别为45,1213,所以sinα=45,sinβ因为α为锐角,所以cosα=35(2)在(1)的条件下,求cos(β-α)的值.【解析】(2)因为β为钝角,且结合(1)知cosβ=-513所以cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=-513×35+1213×410.(10分)已知若0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+α)=13,cos(π4-(1)cosα的值;【解析】(1)因为0<α<π2,所以π4<π4+α因为cos(π4+α)=13,所以sin(π4+α所以cosα=cos(π4+α-π4)=cos(π4+α)cosπ4+sin(π4+α(2)cos(α+β2)的值【解析】(2)因为-π2<β<0,所以π4<π4-β因为cos(π4-β2)=33,所以sin(π4-所以cos(α+β2)=cos[(π4+α)-(π4=cos(π4+α)cos(π4-β2)+sin(π4+α)sin(π4【综合应用练】11.(5分)已知cos(x-π6)=-33,则cosx+cos(x-A.-233 B.±233 C.-1 【解析】选C.因为cos(x-π6)=-3所以cosx+cos(x-π3)=cosx+12cos32sinx=32cosx+32sinx=3(32cosx+12sinx)=3cos(12.(5分)(多选)已知α,β,γ∈0,π2,sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosαA.cos(β-α)=12 B.cos(β-α)=-12 C.β-α=π3 D.β-【解析】选AC.由已知得sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ.两式分别平方相加,得(sinβ-sinα)2+(cosα-cosβ)2=1.所以-2cos(β-α)=-1,所以cos(β-α)=12,所以A正确,B错误因为sinγ=sinβ-sinα>0,所以β>α,所以β-α=π3,所以C正确,D错误13.(5分)在△ABC中,有关系式tanA=cosB-cosCA.等腰三角形B.A=60°的三角形C.等腰三角形或A=60°的三角形D.不能确定【解析】选B.因为tanA=sinAcosA所以sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC,所以cosAcosC+sinAsinC=cosAcosB+sinAsinB,即cos(A-C)=cos(A-B),所以A-C=A-B或A-C+A-B=0,所以C=B(舍)或A=60°,所以△ABC为A=60°的三角形.14.(5分)已知α∈(0,π),sin(α+π6)=13,则cosα=(A.1+266 B.1-266 C.【解析】选B.因为α∈(0,π),所以α+π6∈(π6,7π6),因为0<sin(α+π6)=所以α+π6∈(5π则cos(α+π6)=-1-si所以cosα=cos(α+π6-π6)=cos(α+π6)cosπ6+sin(α+π6)sinπ6=-223×15.(10分)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点(55,25(1)求cos(2α【解析】(1)依题意tanα=2,原式=sin2α-2sinα(-sinα)2si(2)已知-π2<β<0,且sinβ=-1010,求cos(α-β【解析】(2)因为α是第一象限角,且终边过点(55,2所以sinα=255,cosα=因为-π2<β<0,且sinβ=-10所以cosβ=1-sin所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=55×31010+255【创新拓展练】16.(5分)《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形