高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价四十六　同角三角函数的基本关系(二)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价四十六同角三角函数的基本关系(二)含答案四十六同角三角函数的基本关系(二)(时间:45分钟分值:95分)【基础全面练】1.(5分)已知tanx=2,则2sinx+cosx2sinxA.3 B.53 C.35 D【解析】选B.由tanx=2,得cosx≠0,所以2sinx+cosx2sinx-cos2.(5分)(2024·南充高一检测)已知sinθ+cosθsinθ-cosθ=2,则sinA.65 B.35 C.310 【解析】选C.若cosθ=0,则sinθ+cosθ由sinθ+cosθ解得tanθ=3,所以sinθcosθ=sinθcosθsin2θ+3.(5分)(2024·遵义高一检测)已知sinα-cosα=13,则sinαcosα= (A.-89 B.23 C.49 【解析】选C.因为sinα-cosα=13,所以(sinα-cosα)2=19,1-2sinαcosα=19,所以sinαcosα【补偿训练】已知sinα-cosα=14,则sin3α-cos3α=【解析】由题知sin3α-cos3α=(sinα-cosα)·(sin2α+cos2α+sinαcosα),因为sinα-cosα=14所以1-2sinαcosα=116所以sinαcosα=1532所以sin3α-cos3α=14×(1+1532)=答案:474.(5分)已知sinα+cosα=355,则tanα+1tanα=A.-25 B.52 C.-45 【解析】选B.因为sinα+cosα=35平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=95又sin2α+cos2α=1,故sinαcosα=25则tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsin5.(5分)(2024·商洛高一检测)已知α是三角形的一个内角,sinα+cosα=23,那么这个三角形的形状为 (A.锐角三角形 B.钝角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形【解析】选B.sinα+cosα=23,两边平方得1+2sinαcosα=49,即sinαcosα=-因为α是三角形的一个内角,所以α∈(0,π),sinα>0,故cosα<0,所以α∈(π2,π),故这个三角形的形状为钝角三角形6.(5分)(多选)已知tanθ=-4,则下列结果正确的是 ()A.sin2θ=1617 B.cos2θ-sin2θ=-C.3sinθcosθ=-1217 D.cos2θ=【解析】选ABC.sin2θ=sin2θsin2θcos2θ-sin2θ=cos2θ-sin23sinθcosθ=3sinθcosθsin2cos2θ=cos2θsin2θ+7.(5分)(2024·鞍山高一检测)已知α是第四象限角,且满足sinα+cosα=713,则tanα=【解析】由α是第四象限角,可得sinα<0,cosα>0,则sinα-cosα<0.因为sinα+cosα=713,所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=49可得2sinαcosα=-120169又由(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=289169可得sinα-cosα=-1713联立方程组,可得sinα=-513,cosα=12所以tanα=sinαcosα答案:-58.(5分)已知函数y=sin2x+cosx+c的最小值为0,则c=.

【解析】y=sin2x+cosx+c=-cos2x+cosx+1+c=-(cosx-12)因为-1≤cosx≤1,所以当cosx=-1时,函数y=sin2x+cosx+c取得最小值0,即-1+c=0,所以c=1.答案:19.(5分)(2024·赣州高一检测)已知θ为锐角,满足sin2θ+sinθcosθ-3cos2θ=35,则tanθ=【解析】因为sin2θ+sinθcosθ-3cos2θ=sin=tan2θ+tan整理得2tan2θ+5tanθ-18=0,解得tanθ=2或tanθ=-92又因为θ为锐角,则tanθ>0,所以tanθ=2.答案:210.(10分)对于角α,(1)若sinα+cosα=75,求sinαcosα【解析】(1)因为(sinα+cosα)2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=4925所以sinαcosα=12×(4925-1)=(2)若tanα=3,求cos2α【解析】(2)cos2α+sinαcosαsin【综合应用练】11.(5分)(2024·宜春高一检测)若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为 ()A.1±3 B.1-5C.1±5 D.-1-5【解析】选B.因为sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,可得sinθ+cosθ=-m2sinθcosθ=m4,所以(sin解得m=1±5.又方程4x2+2mx+m=0有实根,则Δ=(2m)2-16m≥0,解得m≤0或m≥4,综上可得,实数m的值为1-5.12.(5分)(多选)下列计算或化简结果正确的是 ()A.2tanαB.若sinθ·cosθ=12,则tanθ+cosC.若tanx=12,则2sinD.若α为第一象限角,则cosα1-【解析】选ABD.2tanαcosαsinαtanθ+cosθsinθ=sinθcos2sinxcosx-sin因为α为第一象限角,所以原式=cosαcosα+13.(5分)(2024·深圳高一检测)函数y=1sin2x+1【解析】y=1sin2x+14cos2x=sin2≥54+2cos2x当且仅当cos2xsin2x=sin答案:914.(10分)(2024·牡丹江高一检测)已知sinα+cosα=15,其中α为第二象限角(1)求cosα-sinα的值;【解析】(1)由已知条件sinα+cosα=15,化简可得sinα=15-cos代入sin2α+cos2α=1,得cos2α-15cosα-12解得cosα=45或cosα=-3又α在第二象限,cosα<0,sinα>0,所以cosα=-35,sinα=1-cos所以cosα-sinα=-35-45=-(2)求1+sin2αcos【解析】(2)由(1)得tanα=sinαcosα所以1+sin2αcos2α=1+2tan2α+tanα=29915.(10分)已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根(a∈R).(1)求a的值;【解析】(1)因为sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,所以方程的判别式Δ=(-a)2-4a≥0,解得a≥4或a≤0,且有sinθ+cosθ=asinθcosθ=a,所以(sinθ+cos即a2-2a-1=0,解得a=1-2或a=1+2(舍去),即a的值为1-2.(2)求sin3θ+cos3θ的值;【解析】(2)因为sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=a(1-a)=(1-2)[1-(1-2)]=2-2,所以sin3θ+cos3θ的值为2-2.(3)求tanθ+1tanθ【解析】(3)因为tanθ+1tanθ=sinθcos=1a=11-故tanθ+1tanθ的值为-1-【补偿训练】已知sinα,cosα是方程5x2-x-m=0的两个实数根,其中α∈(π2,π)(1)求m的值;【解析】(1)因为sinα,cosα是方程5x2-x-m=0的两个实数根,所以sinα+cosα=15sinαcos又因为(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,即125=1-2m5,解得m因此,m=125(2)求1cosα-1【解析】(2)由(1)知sinαcosα=-1225,sinα+cosα=15,因为α∈(π2,π),则sinα>0,cosα<0,所以sinα所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-2×(-1225)=4925,则sinα-cosα=因此,1cosα-1sinα=sinα-cosαsinα【创新拓展练】16.(5分)设sinα+cosα=x,且sin3α+cos3α=a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+a2+a3= ()A.-1 B.12 C.1 D.【解析】选C.sinα+cosα=x,故(sinα+cosα)2=x2,得1+2sinαcosα=x2,得到sinαcosα=x2sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=x(3-x2所以,3x2-x32=a3x3+a2x2+a1x得a0=0,a1=32,a2=0,a3=-1则a0+a1+a2+a3=1.四十七诱导公式(一)(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)(2024·哈尔滨高一检测)sin(-1230°)= ()A.12 B.-12 C.32 D【解析】选B.sin(-1230°)=sin(-360°×4+210°)=sin210°=sin(180°+30°)=-sin30°=-122.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的始边是x轴的非负半轴,终边经过点P(-1,2),则cos(π-α)= ()A.55 B.255 C.-55 【解析】选A.因为终边经过点P(-1,2),所以r=|OP|=(-1)2故cosα=xr=-15所以cos(π-α)=-cosα=553.(5分)(2024·沈阳高一检测)“α+β=π”是“sinα=sinβ”成立的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由α+β=π,得α=π-β,所以sinα=sin(π-β)=sinβ,故充分性成立;由sinα=sinβ,不一定得到α+β=π,如α=7π3,β=π3,满足sinα=sinβ,此时α-β=2π,α+β=所以“α+β=π”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件.4.(5分)(2024·常州高一检测)已知sin(π6-α)=23,则sin(5π6+α)= A.23 B.-23 C.-53 【解析】选A.sin(5π6+α)=sin[π-(5π6+α)]=sin(π6-α)【补偿训练】记cos(-80°)=k,那么tan280°= ()A.1-k2k C.k1-k2 【解析】选B.因为cos(-80°)=k>0,所以sin(-80°)=-1-那么tan280°=tan(360°-80°)=tan(-80°)=sin(-80°)cos(-5.(5分)已知在平面直角坐标系中,点M(2,4)在角α的终边上,则sin3()A.23 B.32 C.-35 D【解析】选B.由题意可得tanα=2,所以原式=sin3α+cos3αsin【补偿训练】已知cos(π+α)=-513,3π2<α<2π,求sin(2π-α【解析】因为cos(π+α)=-513,所以cosα=513,又3π2所以sinα=-1213,所以sin(2π-α)=-sinα=126.(5分)(多选)已知角α和β的终边关于x轴对称,则下列各式不正确的是 ()A.sinα=sinβB.sin(α-2π)=sinβC.cosα=cosβD.cos(2π-α)=-cosβ【解析】选ABD.因为角α和β的终边关于x轴对称,可得α=-β+2kπ,k∈Z,由sinα=sin(-β+2kπ)=-sinβ,所以A错误;由sin(α-2π)=sinα=sin(-β+2kπ)=-sinβ,所以B错误;由cosα=cos(-β+2kπ)=cos(-β)=cosβ,所以C正确;由cos(2π-α)=cosα=cos(-β+2kπ)=cosβ,所以D错误.7.(5分)(2024·毕节高一检测)求值cos253π+tan(-154π)=【解析】cos253π+tan(-154=cos(8π+π3)-tan(3π+3π=cosπ3-tan=12-(-1)=3答案:38.(5分)(2024·上海高一检测)若sin(α+π6)=13,则sin(α+7π6)【解析】因为sin(α+π6)=1所以sin(α+7π6)=sin[(α+π6)+π]=-sin(α+π6)答案:-1【补偿训练】(2024·重庆高一检测)下列化简正确的是 ()A.tan(π+1)=-tan1B.sin(-αC.sin(πD.cos(【解析】选B.对于A,由诱导公式得,tan(π+1)=tan1,故A错误;对于B,sin(-α)tan(360°-对于C,sin(π-α)对于D,cos=(-cosα)(-tan9.(5分)化简:1-2sin(【解析】原式=1=(cos6-因为3π2因此cos6-sin6>0,所以原式=cos6-sin6.答案:cos6-sin610.(10分)利用公式求下列三角函数值:(1)cos225°:【解析】(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=-22(2)sin8π3【解析】(2)sin8π3=sin(2π+2π3)=sin2π3=sin(π-π3)=sin(3)sin(-16π3)【解析】(3)sin(-16π3)=-sin16π3=-sin(5π+π3)=-(-sinπ3(4)tan(-2040°).【解析】(4)tan(-2040°)=-tan2040°=-tan(6×360°-120°)=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=-3.【补偿训练】计算:cos(-7π6)sin5π3sin(-9π4)【解析】cos(-7π6)=cos7π6=cos(π+π6)=-cosπ6=-32;sin5π3=sin(2π-πsin(-9π4)=sin(-2π-π4)=sin(-π4)=-sinπ4=-22;cos10π3=cos(cos(π+π3)=-cosπ3=-12,所以cos(-7π6)sin5π3sin(=-32×(-32)×(-22)×(-12【综合应用练】11.(5分)下列命题正确的是 ()A.对任意α∈R,sin2α+cos2α=1均成立B.若α∈R,则cosαtanα=sinα恒成立C.sin(3π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角D.若tanα=tanβ,则α=kπ+β,k∈Z【解析】选D.对于A,α=π6时,sin(2×π6)+cos(2×π6)=3对于B,当α=kπ+π2(k∈Z)时,tanα对于C,由诱导公式得sin(3π+α)=-sinα,成立的条件是α∈R,故C错误;对于D,若tanα=tanβ,则α=kπ+β,k∈Z,故D正确.【补偿训练】(2024·佛山高一检测)已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+1,且f(4)=3,则f(2023)的值为 ()A.-1 B.1 C.3 D.-3【解析】选A.因为f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)+1=asinα+bcosβ+1=3,可得asinα+bcosβ=2,所以f(2023)=asin(2023π+α)+bcos(2023π+β)+1=asin(π+α)+bcos(π+β)+1=-asinα-bcosβ+1=-(asinα+bcosβ)+1=-1,即f(2023)=-1.12.(5分)(多选)已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(kπ+A.-1 B.-2 C.1 D.2【解析】选BD.当k=2n(n∈Z)时,A=sin(2nπ+α)sin当k=2n+1(n∈Z)时,A=sin(2nπ+π+α)=-sinαsinα13.(5分)若cosα=23,α是第四象限角,则sin(α-2π)+sin(π-α)cos(α+π)=【解析】因为cosα=23sin2α+cos2α=1,所以sinα=±53又因为α是第四象限角,sinα<0,所以sinα=-53,所以sin(α-2π)+sin(π-α)cos(α+π)=sinα-sinαcosα=-53+53×2答案:-514.(10分)(1)求tan(-【解析】(1)原式=(-=tan=(-tan30(