高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第八章　8.4　8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第八章8.48.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系含答案8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系【学习目标】1.了解空间两条直线间的位置关系,理解异面直线的定义.2.了解直线与平面间的位置关系,能判断它们之间的位置关系.3.了解平面与平面间的位置关系,能判断它们之间的位置关系.【素养达成】直观想象直观想象、逻辑推理直观想象、逻辑推理一、空间中两条直线的位置关系共面直线相交直线在同一个平面内,有且只有一个公共点平行直线在同一个平面内,没有公共点异面直线不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点【教材挖掘】(P129)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?提示:不一定.可能平行、相交或异面.【版本交融】(人BP99尝试与发现)在立体几何中怎样作异面直线的直观图?提示:通常用一个平面或两个平面衬托,如图:二、空间中直线与平面的位置关系在平面内有无数个公共点在平面外相交有且只有一个公共点平行没有公共点【教材挖掘】(P129)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗?提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.三、空间中平面与平面的位置关系平行没有公共点,记作:α∥β相交有一条公共直线【教材挖掘】(P130)两本书所在的平面可以相交吗?公共点的个数是多少?提示:可以,有无数个公共点.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两条异面直线一定在两个不同的平面内.(√)(2)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.(×)提示:b与c可能是相交、平行或异面直线.(3)若直线l上有无数个点都在平面α外,则直线l与平面α平行.(×)提示:直线l与平面α相交或平行.(4)若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行.(×)提示:两个平面平行或相交.类型一空间中直线与直线的位置关系(直观想象)【典例1】(1)若直线a∥b,b∩c=A,则a与c的位置关系是()A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交【解析】选D.若a∥c,因为a∥b,所以b∥c,这与b∩c=A矛盾,所以a与c不可能平行,但a与c异面、相交都有可能.(2)(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,以下结论正确的是()A.直线DM与CC1是相交直线B.直线AM与NB是平行直线C.直线MN与CD1是平行直线D.直线AM与DD1是异面直线【解析】选ACD.A中直线DM与直线CC1在同一平面内,它们不平行,必相交,故结论正确.C中MN是△CD1C1的中位线,故结论正确.D中的两条直线既不相交也不平行,即为异面直线,故结论正确.B中AM与BN是异面直线,故结论不正确.【总结升华】空间两直线位置关系的判断(1)判定两条直线是平行或相交直线,可用平面几何的方法.(2)判定两条直线是异面直线的方法:①定义法:即利用异面直线的定义来判断两直线不可能在同一平面内;②排除法:判断两直线既不平行也不相交.【即学即练】1.三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有()A.3对 B.4对 C.5对 D.6对【解析】选A.三棱锥A-BCD的六条棱所在直线中,成异面直线的有AB和CD,AD和BC,BD和AC,所以三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对.2.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的为()A.直线A1B与直线D1C平行B.直线A1B与直线B1C相交C.直线D1D与直线D1C异面D.直线AB与直线B1C异面【解析】选AD.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内,A1B与B1C异面.直线D1D与直线D1C相交于点D1.直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内,AB与B1C异面.类型二空间中直线与平面的位置关系(直观想象、逻辑推理)【典例2】(教材P131T3改编)下列说法正确的是()A.若直线a在平面α外,则a∥αB.若直线a∥b,b⊂平面α,则a∥αC.若直线a∥平面α,则直线a平行于平面α内的无数条直线D.若直线a平行于平面α内的无数条直线,则a∥α【解析】选C.直线a在平面α外包括两种情况,即a∥α或a与α相交,所以a和α不一定平行,故A不正确.因为直线a∥b,b⊂平面α,只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,所以a不一定平行于α,故B不正确.对于C,比如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥平面ABCD,A1D1∥AD,所以平面ABCD内任一条平行于AD的直线都与A1D1平行,故C正确.对于D,当a⊂α时,α内也存在无数条直线与直线a平行,故D不正确.【总结升华】直线与平面位置关系的判断的关注点(1)通法:要判断直线在平面内,只要判断直线上两点在平面内;要判断直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点;要判断直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点.(2)巧法:借助模型(正方体、长方体等).(3)提醒:判断直线与平面的位置关系时不要遗漏直线在平面内的情况.【即学即练】下列说法中,正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.易知①正确,②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误.类型三空间中平面与平面的位置关系(直观想象、逻辑推理)【典例3】(易错·对对碰)(1)已知在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线平行,则这两个平面的位置关系是____________;

(2)已知在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线相交,则这两个平面的位置关系是__________;

(3)已知在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线异面,则这两个平面的位置关系是____________.

【解析】(1)如图,两平面有平行或相交两种情况.(2)因为分别在两个平面内的两条直线相交,所以两平面是相交的.(3)如图,a⊂α,b⊂β,a,b异面.由图知这两个平面可能平行,也可能相交.答案:(1)平行或相交(2)相交(3)平行或相交【总结升华】1.平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实3为依据找出一个交点;(2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点.2.常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上、下底面平行;(2)长方体(正方体)的六个面中,三组相对面平行.【即学即练】1.若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线()A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面【解析】选D.两个平面内的直线必无交点,所以是异面或平行.2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,则平面AA1D1D与平面BNC的位置关系是__________,平面AMD1与平面BNC的位置关系是__________.

【解析】因为平面BNC即平面BB1C1C,所以平面AA1D1D与平面BNC平行,平面AMD1与平面BNC相交.答案:平行相交【补偿训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1,在图甲中,E,F分别是D1C1,B1B的中点,请画出图甲、图乙中有阴影的平面与平面ABCD的交线.【解析】在图甲中,过点E作EN平行于BB1交CD于点N,连接NB,并延长交EF的延长线于点M,连接AM,则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.在图乙中,延长DC,过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M,连接BM,则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.教材深一度异面直线的判定定理(源于教材例题2)【判定定理】过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).【典例4】如图,若P是△ABC所在平面外一点,PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M为AB的中点,求证:PN与MC为异面直线.【证明】方法一(用异面直线的判定定理):因为PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,所以点N与点M不重合.因为N∈平面ABC,P∉平面ABC,CM⊂平面ABC,N∉CM,所以PN与MC为异面直线.方法二(用反证法):假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.因为PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,所以点M与点N不重合.因为M∈α,N∈α,所以直线MN⊂α.因为A∈MN,B∈MN,所以A∈α,B∈α,即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.所以假设不成立.故PN与MC为异面直线.

8.5空间直线、平面的平行8.5.1直线与直线平行【学习目标】1.理解并掌握基本事实4,会用其解决相关直线与直线平行问题.2.理解等角定理,会用其解决角相等或互补问题.【素养达成】数学抽象、直观想象直观想象、逻辑推理一、基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行.【教材挖掘】(P134)在平面几何中,证明两直线平行的常用结论有哪些?提示:三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等.【版本交融】(人BP97尝试与发现)初中所学的结论“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”,在空间中是否仍成立?初中所学的结论“在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”,如果去掉条件“在同一平面内”,结论是否仍成立?提示:这两个结论在空间中仍成立.【教材深化】该事实也称平行定理,它给出了空间两条直线平行的依据,说明直线的平行关系具有传递性,也称空间直线可以平移.二、等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.【教材挖掘】(P134)若两个角的两边分别对应平行,且两个角的开口方向相同,那么这两个角的关系是什么?提示:相等.【版本交融】(苏教P170思考)如果∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1,AC∥A1C1,且边AB与A1B1方向相同,而边AC与A1C1方向相反,那么,∠BAC和∠B1A1C1之间有何关系?提示:互补.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)分别与异面直线平行的两条直线也是异面直线.(×)提示:也可能是相交直线.(2)相等或互补的角的两边分别平行.(×)提示:无法判断两条边的位置关系.(3)对于空间直线a,b,c,d,如果a∥b,b∥c,c∥d,那么a∥d.(√)(4)如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(√)类型一空间中直线平行的判定(直观想象)【典例1】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,A1D1的中点.求证:四边形MNAC为梯形.【证明】如图,连接A1C1,在△A1C1D1中,因为M,N分别是C1D1,A1D1的中点,所以MN是△A1C1D1的中位线,所以MN∥A1C1,MN=12A1C1因为AC∥A1C1,AC=A1C1,所以MN∥AC,且MN=12AC,即MN≠AC所以四边形MNAC为梯形.【总结升华】证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法:三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)定义法:用定义证明两条直线平行,一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.(3)基本事实4:用基本事实4证明a,c两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由基本事实4即可得到a∥c.【即学即练】(教材P134例1改编)如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,AC⊥BD,求证:四边形EFGH为矩形.【证明】因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,所以EH∥BD,FG∥BD,且EH=FG=BD2所以四边形EFGH为平行四边形.又因为AC⊥BD,HG∥AC,EH∥BD,所以EH⊥HG,所以四边形EFGH为矩形.类型二等角定理的应用(直观想象、逻辑推理)【典例2】(教材P135T4改编)如图,已知线段AA1,BB1,CC1交于点O,且OAOA1=OBOB1=OCOC1,求证:△【证明】因为AA1与BB1交于点O.且OAOA1=OBOB1,所以同理A1C1∥AC,B1C1∥BC.又因为A1B1和AB,A1C1和AC方向相反,所以∠BAC=∠B1A1C1,同理∠ABC=∠A1B1C1.所以△ABC∽△A1B1C1.【总结升华】关于等角定理的应用(1)根据空间中