高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价十一　不等式的性质含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价十一不等式的性质含答案十一不等式的性质(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)与a>b等价的不等式是 ()A.|a|>|b| B.a2>b2C.ab>1 D.a3>b【解析】选D.可利用赋值法.令a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,a2<b2,ab=-1故A,B,C都不正确.2.(5分)已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是 ()A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>bC.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b【解析】选C.由a+b>0知,a>-b,所以-a<b<0.又b<0,所以-b>0,所以a>-b>b>-a.【补偿训练】若b<0,a+b>0,则a-b的值 ()A.大于零 B.小于零C.等于零 D.不能确定【解析】选A.因为b<0,a+b>0,所以a>-b>0,所以a-b>0.3.(5分)设x<a<0,则下列不等式一定成立的是 ()A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax【解析】选B.因为x<a<0,所以x2>a2.因为x2-ax=x(x-a)>0,所以x2>ax.又ax-a2=a(x-a)>0,所以ax>a2.所以x2>ax>a2.4.(5分)若实数α,β满足-12<α<β<-13,则α-β的取值范围是 (A.-12<α-β<-13 B.-56<αC.-12<α-β<13 D.-16<α【解析】选D.因为-12<α<β<-13,所以-12<α<-13,13<-β<12,α-β<0,所以-15.(5分)(多选)已知a<b,那么下列式子中正确的是 ()A.4a<4b B.-4a<-4bC.a+4<b+4 D.a-4<b-4【解析】选ACD.根据不等式的性质,a<b,4>0⇒4a<4b,A选项正确;a<b,-4<0⇒-4a>-4b,B选项错误;a<b⇒a+4<b+4,C选项正确;a<b⇒a-4<b-4,D选项正确.6.(5分)(2024·潍坊高一检测)已知a>b>0,下列不等式中正确的是 ()A.a-1<b-1 B.ab<b2C.1a+1<1b+1 D【解析】选C.因为a>b>0,所以a-1>b-1,A错误;因为a>b>0,所以ab>b2,B错误;因为a+1>b+1>0,所以0<1a+1<因为0<1a<1b,若c>0,则ca<7.(5分)(2024·临沂高一检测)能说明“若a>b,则1a<1b”为假命题的一组a,b的值依次为1,-1(答案不唯一)【解析】只要保证a为正b为负即可满足要求.当a>0>b时,1a>0>18.(5分)已知1<α<3,-4<β<2,若z=12α-β,则z的取值范围是{z|-32<z<112【解析】因为1<α<3,所以12<12α<又-4<β<2,所以-2<-β<4.所以-32<12α-β<112,故-32<【补偿训练】若-1<a+b<3,2<a-b<4,则b的取值范围是{b|-52<b<12}【解析】因为2<a-b<4,所以-4<b-a<-2,又-1<a+b<3,所以-5<(a+b)+(b-a)<1,则-52<b<19.(5分)设a,b,c是任意实数,能够说明“若c<b<a且ac<0,则ab<ac”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为1,0,-1(答案不唯一).

【解析】若c<b<a且ac<0,则a>0,c<0,则取a=1,b=0,c=-1,则满足条件c<b<a且ac<0,但ab<ac不成立.10.(10分)已知a>b>0,c<d<0,|b|>|c|,求证:(1)b+c>0;【证明】(1)因为|b|>|c|且b>0,c<0,所以b>-c,即b+c>0.(2)ba-c【证明】(2)因为c<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0,所以a-c>b-d>0,所以1b-d所以ba-c<b【综合应用练】11.(5分)(多选)设a<b<0,则下列不等式中正确的是 ()A.2a>2b B.acC.|a|>-b D.-a>【解析】选ACD.a<b<0,则2a>2当c>0时,ac<bc,其余情况不成立,则选项B不正确;|a|=-a>-b,则选项C正确;由-a>-b>0,可得-a>-b12.(5分)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是 ()A.若a>0,则a2+1>(a-1)(a+2)B.若a<b<0,则a2<ab<b2C.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab|D.若a>b>0,则aa2【解析】选C.对于选项A,a2+1-(a-1)(a+2)=a2+1-a2-a+2=3-a,当a>3时,3-a<0,a2+1<(a-1)(a+2),当a=3时,3-a=0,a2+1=(a-1)(a+2),当a<3时,3-a>0,a2+1>(a-1)(a+2),故A错误;易知B错误;对于选项C,(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)≤0,即|a-b|≤|1-ab|,所以C正确;对于选项D,a>b>0,所以b-a<0,但aa2+1-bb2+1=(b-13.(5分)已知12<a<60,15<b<36,则ab的取值范围是ab【解析】因为15<b<36,所以136<1b<115.又12<a<60,所以1236<ab<6015【补偿训练】(多选)已知6<a<60,15<b<18,则下列正确的有 ()A.13<ab<4 B.21<a+2C.-12<a-b<45 D.76<a【解析】选AC.因为15<b<18,所以118<1b<115,又6<a<60,所以根据不等式的性质可得6×118<a×1b<60×1因为30<2b<36,所以36<a+2b<96,故B错误;因为-18<-b<-15,所以-12<a-b<45,故C正确;因为a+bb=ab+1,所以414.(10分)已知:(1)-1≤a≤3,2≤b≤4,【解析】(1)因为-1≤a≤3,2≤b≤4,可得-2≤2a≤6,-4≤-b≤-2,所以-2-4≤2a-b≤6-2,即-6≤2a-b≤4.(2)0<a+b<2,-1<b-a<1.分别求2a-b的取值范围.【解析】(2)因为0<a+b<2,-1<-a+b<1,且2a-b=12(a+b)-32(-a+结合不等式的性质可得,-32<2a-b<515.(10分)(1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc.【证明】(1)因为a>b,c>0,所以ac>bc.又因为e>f,所以e+ac>f+bc,所以e-bc>f-ac,所以f-ac<e-bc.(2)设a>b>c,求证:1a-b+1b【证明】(2)因为a>b>c,所以-c>-b.所以a-c>a-b>0,所以1a-b>所以1a-b+1c-a>0所以1b-c>0.所以1a-b【创新拓展练】16.(5分)在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是 ()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】选C.设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为x1,x2,x3,x4,则x1≥0,x2≥0,x3≥0,x4≥0.由甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,可得x1+x3=x2+x4①,由丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,可得x1+x2<x3+x4②,由乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和,可得x2>x1+x4③,由②-①得,x2-x3<x3-x2⇒2(x2-x3)<0⇒x2<x3,由②+①得,2x1+x2+x3<x2+x3+2x4⇒x1<x4,由③得x2>x1,x2>x4,所以x3>x2>x4>x1,即阅读量最大的是丙.17.(5分)已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,ca-db>0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成正确命题的个数是3【解析】若ab>0,bc-ad>0成立,不等式bc-ad>0两边同除以ab可得ca-db>0,即ab>0,bc-ad>0⇒ca-db>0;若ab>0,ca-db>0成立,不等式ca-db>0两边同乘ab,可得bc-ad>0,即ab>0,ca-db>0⇒bc-ad>0;若ca-db>0,bc-ad>0成立,则ca-db=bc-adab>0,又bc综上可知,以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立,故可组成的正确命题有3个.四并集、交集(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)(2024·喀什高一检测)设集合A={x|-1<x<3},B={x|2≤x≤4},则A∪B= ()A.{x|2≤x<3} B.{x|2≤x≤3}C.{x|-1<x<4} D.{x|-1<x≤4}【解析】选D.因为集合A={x|-1<x<3},B={x|2≤x≤4},所以A∪B={x|-1<x≤4}.2.(5分)(2024·百色高一检测)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|-2<x<2},则Venn图中阴影部分表示的集合是 ()A.{0,1} B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2} D.{x|-2<x<2}【解析】选B.题中Venn图中阴影部分表示的集合是A∩B,因为A={-2,-1,0,1,2},B={x|-2<x<2},所以A∩B={-1,0,1}.【补偿训练】设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C等于 ()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}【解析】选B.(A∪B)∩C={1,2,4,6}∩C={1,2,4}.3.(5分)满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是 ()A.1 B.2C.3 D.4【解析】选D.由{1,3}∪A={1,3,5},知A⊆{1,3,5}且A中一定有元素5,因此集合A可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}.【补偿训练】设集合A={x|x2-3x+2=0},则满足A∪B={0,1,2},A∩B=⌀的集合B为 ()A.{0,1,2} B.{1,2}C.{0} D.{0,2}【解析】选C.由题意得A={1,2},又因为A∪B={0,1,2},A∩B=⌀,所以B={0}.4.(5分)已知集合A={x|-3≤x≤8},B={x|x>a},若A∩B≠⌀,则a的取值范围是 ()A.{a|a<8} B.{a|a>8}C.{a|a>-3} D.{a|-3<a≤8}【解析】选A.A={x|-3≤x≤8},B={x|x>a},要使A∩B≠⌀,借助数轴,可知a<8.5.(5分)(多选)若集合M⊆N,则下列结论正确的是 ()A.M∩N=N B.M∪N=NC.M∈(M∩N) D.(M∪N)⊆N【解析】选BD.对于A,因为M⊆N,所以M∩N=M,故A错误;对于B,因为M⊆N,所以M∪N=N,故B正确;对于C,集合与集合之间不能用“∈”连接,故C错误;对于D,因为M⊆N,所以M∪N=N,则(M∪N)⊆N,故D正确.6.(5分)(多选)若集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},则满足条件的实数x可以是 ()A.-3 B.0 C.1 D.3【解析】选ABD.因为A∪B=A,所以B⊆A,所以x2=3或x2=x,解得x=±3或x=1或x=0.当x=1时,集合A,B不满足元素的互异性,故x=±3或x=0.7.(5分)已知集合A=x|-12≤x≤3,B={x∈Z|x【解析】因为A=x|-12≤x≤3,所以A∩B=x|所以A∩B={0,1,2}.答案:{0,1,2}8.(5分)若集合A={x|-1<x<5},B={x|x≤1或x≥4},则A∪B=,A∩B=.

【解析】借助数轴可知:A∪B=R,A∩B={x|-1<x≤1或4≤x<5}.答案:R{x|-1<x≤1或4≤x<5}【误区警示】解答本题时易出现端点处实虚混淆的错误.9.(5分)已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=.

【解析】根据题意,把集合A,B在数轴上表示出来,如图所示,可知a=1,b=6,2a-b=-4.答案:-410.(10分)已知集合A={x|x2-px+15=0}和B={x|x2-ax-b=0},若A∪B={2,3,5},A∩B={3},分别求实数p,a,b的值.【解析】因为A∩B={3},所以3∈A,从而可得p=8,所以A={3,5}.又由于3∈B,且A∪B={2,3,5},所以B={2,3},所以方程x2-ax-b=0的两个根为2和3.由根与系数的关系可得a=5,b=-6.综上可得,p=8,a=5,b=-6.【综合应用练】11.(5分)(多选)已知集合A={x∈Z|x<4},B⊆N,则下列说法正确的是 ()A.集合B∪N=NB.集合A∩B可能是{1,2,3}C.集合A∩B可能是{-1,1}D.0可能属于B【解析】选ABD.因为B⊆N,所以B∪N=N,故A正确;因为集合A={x∈Z|x<4},所以集合A中一定包含元素1,2,3,又因为B⊆N,所以集合A∩B可能是{1,2,3},故B正确;因为-1不是自然数,所以集合A∩B不可能是{-1,1},故C错误;因为0是最小的自然数,所以0可能属于集合B,故D正确.12.(5分)已知集合A={1,3a},B={a,b},若A∩B=13,则A∪B为 (A.13,1,b C.1,13 【解析】选D.因为A∩B=13,A={1,3a},B={a,b所以3a=13,所以a=-1,b=1所以A∪B=-113.(5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种;

【解析】设三天都售出的商品有x种,第一天售出,第二天未售出,且第三天售出的商品有y种,则三天售出商品的种类关系如图所示.由图可知,(1)第一天售出但第二天未售出的商品有16-y+y=16(种).(2)这三天售出的商品最少有种.

【解析】(2)这三天售出的商品有(16-y)+y+x+(3-x)+(6+x)+(4-x)+(14-y)=(43-y)种.由于16-y≥0所以(43-y)min=43-14=29.答案:(1)16(2)2914.(10分)设常数a∈R,集合A={x|x≥1或x<-2},B={x|x≤a-1}.(1)若a=2,求A∩B,A∪B;【解析】(1)因为A={x|x≥1或x<-2},B={x|x≤1},所以A∩B={x|x=1或x<-2},A∪B=R.(2)若A∪B=R,求a的取值范围.【解析】(2)由题意,要使A∪B=R,需满足a-1≥1,即a≥2.所以a的取值范围为{a|a≥2}.15.(10分)已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求实数a的值;【解析】(1)由题意知A={-4,0}.若A∪B=B,则B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,求实数a的值或取值范围.【解析】(2)由题意知A={-4,0}.若A∩B=B,则B⊆A.①若B为空集,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,解得a<-1;②若B只有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0,解得a=-1.将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0,即x=0,B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},则a=1.综上所述,{a|a≤-1或a=1}.【创新拓展练】16.(5分)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪,直到1872年,德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”,才结束了持续2000多年的数