高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价十七　函数的概念(二)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价十七函数的概念(二)含答案十七函数的概念(二)(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)集合{x|x<0或x≥1}用区间表示为 ()A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0)∪[1,+∞)C.(-∞,0)∩[1,+∞)D.(0,1]【解析】选B.集合{x|x<0或x≥1}用区间表示为(-∞,0)∪[1,+∞).2.(5分)(2024·南京高一检测)函数f(x)=2x-3+1x-A.[32,+∞) B.(-∞,3)∪C.[32,3)∪(3,+∞) D.(32,3)【解析】选C.由题意得2x-3≥0x-3≠0,解得x≥32且x≠3,故函数的定义域是【补偿训练】函数f(x)=x+2x-2的定义域是A.[-2,2) B.[-2,2)∪(2,+∞)C.[-2,+∞) D.(2,+∞)【解析】选B.x应满足x+2≥0即x≥-2,且x≠2.所以函数f(x)=x+2x-23.(5分)已知函数y=f(x)与函数y=x+3+1-x是同一个函数,则函数y=f(x)的定义域是 A.[-3,1] B.(-3,1)C.(-3,+∞) D.(-∞,1]【解析】选A.由于y=f(x)与y=x+3+1-x是同一个函数,故二者定义域相同,所以y=f(x)的定义域为{x|-3≤4.(5分)已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1,2],则y=f(x)的定义域是 ()A.[-12,1] C.[-1,5] D.以上都不对【解析】选B.由题意知-1≤x≤2,所以-3≤-2x+1≤3,所以y=f(x)的定义域为[-3,3].5.(5分)(多选)下列集合不能用区间的形式表示的为 ()A.{x|x>2,x∈N} B.{x|x≤1或x≥2}C.{x|x是平行四边形} D.⌀【解析】选ACD.能用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合,只有B是连续实数构成的集合,因此ACD都不可以用区间表示.6.(5分)(多选)下列各组函数不是表示同一个函数的是 ()A.f(x)=x,x>0,-x,B.f(x)=2x+1与g(x)=2C.f(x)=|x2-1|与g(t)=(D.f(x)=x2与g(x)=【解析】选ABD.A项中f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的定义域是R,定义域不同,不是同一个函数.B项中f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是{x|x≠0},定义域不同,不是同一个函数.C项中f(x)=|x2-1|,g(t)=|t2-1|,虽然表示自变量的字母不同,但定义域与对应关系都相同,是同一个函数.D项中f(x)=|x|,g(x)=x,对应关系不相同,不是同一个函数.7.(5分)集合{x|0<x≤1}用区间表示为(0,1].

8.(5分)函数y=1-x+x的定义域为{x|0≤x≤1}【解析】由题意可知1-x≥0x9.(5分)已知等腰三角形ABC的周长为10,底边长y关于腰长x的函数解析式为y=10-2x,则此函数的定义域为(52,5)【解析】因为△ABC的底边长大于0,所以y=10-2x>0,所以x<5.又两边之和大于第三边,所以2x>10-2x,所以x>52,所以此函数的定义域为(52,510.(10分)下列各组函数中是否表示同一个函数,并说明理由.(1)y=20与y=xx【解析】(1)y=20=1,定义域为R,y=xx=1(x≠0),两个函数的定义域不相同,不是同一个函数(2)y=±1与y=x|【解析】(2)y=x|x|x=|x(3)y=x2+x与y=x【解析】(3)由x2+x≥0得x≥0或x≤-1,即定义域为(-∞,-1]∪[0,+∞),由x≥0,x+1≥0,得(4)y=x+1与y=3(【解析】(4)y=3(t+1)【综合应用练】11.(5分)若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a+1)x+2的定义域和值域都是R,则a的值为 ()A.3或-1 B.3C.-1 D.不确定【解析】选B.当a2-2a-3≠0时,f(x)是二次函数,当其定义域是R时,值域不是R,不符合题意.当a2-2a-3=0时,解得a=-1或a=3,若a=-1,则f(x)=2,是常数函数,值域为{2},不符合题意;若a=3,则f(x)=4x+2,其图象是一条直线,值域为R,符合题意.12.(5分)已知函数f(x)的定义域为[2,8],则函数h(x)=f(2x)+9-x2的定义域为 A.[4,16] B.(-∞,1]∪[3,+∞)C.[1,3] D.[3,4]【解析】选C.由题意可知,函数f(x)的定义域为2≤x≤8,则函数h(x)的定义域满足2≤2x≤89-x2≥0,解得1≤【补偿训练】已知函数f(x)=-x2+2x+3,则函数f(3xA.13,53 C.[-3,1] D.1【解析】选A.由-x2+2x+3≥0,解得-1≤x≤3,故函数f(x)的定义域为[-1,3].由-1≤3x-2≤3,解得13≤x≤5则函数f(3x-2)的定义域为1313.(5分)已知区间(a2+a+1,7],则实数a的取值范围是(-3,2).

【解析】由a2+a+1<7,得(a+3)(a-2)<0.所以-3<a<2.【补偿训练】若函数f(x)的定义域为[2a-1,a+1],值域为[a+3,4a],则a的取值范围是(1,2).

【解析】由区间的定义知2a解得1<a<2.14.(10分)求下列函数的定义域:(1)f(x)=3x-1【解析】(1)要使函数有意义,必须满足3x即x≥13x≤12所以函数的定义域为x|(2)f(x)=(x【解析】(2)要使函数有意义,必须满足x+3≠0即x≠-3所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}.15.(10分)已知函数f(x)=xx-1(x>1),g(x)=x-1x(x≥2),若存在函数F(x),G(x)满足:F(x)=|f(x)|·g(x),G(x)f(x)=|g(x)|,学生甲认为函数F(x),G(x)一定是同一个函数,乙认为函数F(x【解析】因为f(x)=xx-1g(x)=x-1x(x≥2),所以|f(x)|=x所以F(x)=xx-1·x-1x因为G(x)f(所以G(x)xx解得G(x)=x(x≥2),所以F(x)=G(x)=x(x≥2).故观点正确的学生是甲.【创新拓展练】16.(5分)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y=2x2-1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有 ()A.10个 B.9个 C.8个 D.4个【解析】选B.由2x2-1=1,得x1=1,x2=-1;由2x2-1=7,得x3=-2,x4=2,所以定义域为2个元素的集合有4个,定义域为3个元素的集合有4个,定义域为4个元素的集合有1个,因此共有9个“孪生函数”.17.(5分)若函数f(x)=3x-1mx2+x+3的定义域为R,则【解析】要使原函数有意义,必须满足mx2+x+3≠0,由于函数的定义域是R,故mx2+x+3≠0对一切实数x恒成立.当m=0时,x+3≠0,即x≠-3,与f(x)的定义域为R矛盾,所以m=0不符合题意.当m≠0时,有Δ=12-12m<0,解得m>112综上可知,m的取值范围是(112,+∞)十三基本不等式的应用(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)设x>0,则y=3-3x-1x的最大值是 (A.3 B.3-22C.3-23 D.-1【解析】选C.y=3-3x-1x=3-(3x+1x)≤3-23x·1x=3-23,当且仅当3x=12.(5分)已知0<x<1,则x(3-2x)取得最大值时x的值为 ()A.13 B.12 C.34 【解析】选C.由x(3-2x)=12×2x(3-2x)≤12×94=98,当且仅当2x=3-2x,即x3.(5分)将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是 ()A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m【解析】选C.设两直角边分别为a,b的直角三角形的框架的周长为l,则12ab=2,所以ab=4l=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=4+22≈6【补偿训练】一批货物随17列货物列车从A市以v千米/小时的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货物列车的间距不得小于(v20)2千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要小时 (A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选C.设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则t=400+16(v20)

2v=400v+16v400≥2400v4.(5分)已知a>b,且ab=8,则a2+b2aA.6 B.8 C.14 D.16【解析】选A.因为ab=8,所以a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=a-b+16a-b.因为a>b,所以a5.(5分)(多选)已知某出租车司机为升级服务水平,购入了一辆豪华轿车投入运营,据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y=-x2+12x-25,则下列判断正确的是 ()A.车辆运营年数越多,收入越高B.车辆在第6年时,总收入最高C.车辆在前5年的平均收入最高D.车辆每年都能盈利【解析】选BC.由题意,y=-x2+12x-25,是开口向下的二次函数,故A错误;对称轴x=6,故B正确;yx=-x+12-25x=-(x+25x)+12≤-225当x=1时,y=-14,故D错误.6.(5分)(多选)(2024·潍坊高一检测)下列结论正确的是 ()A.若x<0,则y=x+1xB.若a>0,b>0,则ab≤(a+bC.y=x2D.若0≤x≤2,则y=x4-【解析】选ABD.A选项,由x<0可得y=x+1x=-[(-x)+(-1x)]≤-2(-x)·(-1x)=-2,当且仅当-x=-1x,即x=-1时,等号成立,即y=x+1x的最大值为-2;A正确;B选项,由a>0,b>0,可得(a+b2)2-ab=a2+b2-2ab4=(a-b2)2≥0,即ab≤(a+b2)2,故B正确;C选项,y=x2+3x2+2=7.(5分)若矩形的长为a,宽为b,且面积为64,则矩形周长的最小值为32.

【解析】由题意,矩形的长为a,宽为b,且面积为64,即ab=64,所以矩形的周长为2a+2b=2a+128a≥22×128=32,当且仅当a=8时,等号成立,即矩形周长的最小值为328.(5分)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大值是8万元.

【解析】由题意可知,年平均利润yx=-x-25x+18=-(x+25x)+18≤-2x·25x+18=8.当且仅当x9.(5分)函数y=2x+1x-1(x<1)的最大值为2-2【解析】因为x<1,所以x-1<0,1-x>0,所以y=2x+1x-1=2(x=-2(≤-22(1-当且仅当x=1-22时取等号10.(10分)(1)已知a,b>0,P=a2+b2-ab,Q=ab,求QP【解析】(1)QP=aba2+b当且仅当ba=ab,即a=b所以QP的最大值为1(2)求y=x2+6x+12【解析】(2)y=x2+6x+12x+3=因为x>-3,所以x+3>0,所以x+3+3x+3≥2当且仅当x+3=3x+3,即x=3所以函数y=x2+6x【综合应用练】11.(5分)(2024·武汉高一检测)两次购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定,哪种购物方式比较经济 ()A.第一种 B.第二种 C.都一样 D.不确定【解析】选B.设此种商品的价格分别为p1,p2(都大于0),第一种方案每次购买这种物品数量为x>0;第二种方案每次购买这种物品的钱数为y>0.可得:第一种方案的平均价格为xp1+xp22x=p1+p22;第二种方案的平均价格为2yy所以第二种购物方式比较经济.12.(5分)若x2-x+1x-1(x>1)在x=tA.1+2 B.2 C.3 D.4【解析】选B.x2-x+1x-1=x(x当且仅当x-1=1x-1,即13.(5分)已知x>0,y>0,2x+3y=6,则xy的最大值为32【解析】因为x>0,y>0,2x+3y=6,所以xy=16(2x·3y)≤16×(2x+3y2)2=16当且仅当2x=3y,即x=32,y=1时,xy取得最大值为314.(10分)(1)已知正实数a,b满足a+b=2,则a+1+b【解析】(1)因为(a+1+b+1)2=(a+1)+(b+1)+2a+1·b+(b+1)+(a+1)+(b+1)=2(a+b+2)=8,当且仅当a=b=1时取等号,所以a+1+b+1的最大值为2(2)已知x<3,求4x-3+【解析】(2)因为x<3,所以x-3<0,所以4x-3+x=4=-[43-x+(3-x)]当且仅当43-x=3-x所以4x-3+15.(10分)某工厂拟建一个平面图为矩形,面积为200平方米,高度为1米的三段污水处理池(如图),由于受地形限制,其长、宽都不超过18米,已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米,污水处理池中两道隔墙(与宽边平行)的建造费为248元/平方米,污水处理池底的建造费为80元/平方米.设污水处理池的长为x米,总造