高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价三十二　对数的运算(一)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价三十二对数的运算(一)含答案三十二对数的运算(一)(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)(2023·南充高一检测)12lg5+lg20的值为 (A.2 B.1 C.12 D.-【解析】选B.由题意12lg5+lg20=lg5+lg20=lg5×20=lg100=lg10=1【补偿训练】2log32-log3329+log38-5log53=A.1 B.2 C.-1 D.-5【解析】选C.原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=5log32-(5log32-2)-3=-1.2.(5分)设log34=a,log35=b,则log310= ()A.2a+4b B.4a-2b C.12a+b D.14a+【解析】选C.由log34=a得2log32=a⇒log32=a2,所以log310=log32+log35=a2【补偿训练】(2024·连云港高一期中)已知lg6=m,lg12=n,试用m,n表示lg48=.

【解析】因为lg6=m,lg12=n,所以lg48=lg(123÷62)=lg123-lg62=3lg12-2lg6=3n-2m.答案:3n-2m3.(5分)(2024·上海高一检测)对数的发明,大大缩短了计算时间,为人类研究科学和了解自然起了重大作用,对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知lg2≈0.301,lg5≈0.699,则2.52023的估算值为 ()A.10805 B.10806 C.10807 D.10808【解析】选A.设x=2.52023,两边同时取对数得:lgx=2023lg2.5,所以lgx=2023(lg5-lg2)≈805,所以x≈10805.4.(5分)(2024·长治高一检测)计算:1.10+eln2-0.5-2+lg25+2lg2= ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.1.10+eln2-0.5-2+lg25+2lg2=1+2-4+2lg5+2lg2=-1+2lg(5×2)=-1+2=1.【补偿训练】(2024·天津高一检测)lg5×lg20+lg22-eln23的值为 A.0 B.1 C.13 D.【解析】选C.lg5×lg20+lg22-e=lg5×(lg2+1)+lg22-2=lg5×lg2+lg5+lg22-2=lg2×(lg5+lg2)+lg5-2=lg2+lg5-23=15.(5分)若lga,lgb是方程3x2-6x+1=0的两个实根,则ab的值等于 ()A.2 B.12 C.100 D.【解析】选C.因为lga,lgb是方程3x2-6x+1=0的两个实根,所以由根与系数的关系得lga+lgb=2,所以lg(ab)=2,所以ab=100.6.(5分)(多选)若a>0,且a≠1,x>y>0,n∈N*,则下列等式一定成立的是 ()A.logax·logay=loga(x+y)B.(logax)C.logaxnD.logax-yx【解析】选CD.对于A,取x=4,y=2,a=2,则log24·log22=2×1=2,而log2(4+2)=log26≠2,所以A不一定成立;对于B,取x=4,a=2,n=3,则(log24)3对于C,loganx=logax1n=1nloga对于D,logax-yx+y=logax【补偿训练】(2024·太原高一检测)已知x,y为正实数,则 ()A.lg(x2·y)=(lgx)2+lgyB.lg(x·y)=lgx+12lgC.elnx+lny=x+yD.elnx·lny=xy【解析】选B.A中,lg(x2·y)=lgx2+lgy=2lgx+lgy,故A不正确;B中,lg(x·y)=lgx+lgy=lgx+12lgyC中,elnx+lny=elnx·elny=xy,故C不正确;D中,elnx·lny=(elnx)lny7.(5分)化简lg52+2lg2-12-【解析】原式=lg(52×22)-2=lg10-2=1-2=-1答案:-1【补偿训练】计算:lg3+2lg2-1lg1【解析】原式=lg(3×2210答案:18.(5分)若loga2=m,loga3=n,a2m+n=

【解析】a2m+n=a2loga2+loga3=答案:129.(5分)若2lg(x-2y)=lgx+lgy,则yx的值为【解析】因为2lg(x-2y)=lgx+lgy,可得lg(x-2y)2=lg(xy),则有x>0,y>0x-2y>0(x-2解得xy=1(舍)或xy=4,所以yx答案:110.(10分)(1)化简求值:log2748+log212-12【解析】(1)原式=log2(743×12×17×6)=log212=-log2(2)解方程log2(2-x)+log2(3-x)=log212.【解析】(2)因为方程log2(2-x)+log2(3-x)=log212,所以2-x>03-x【综合应用练】11.(5分)(2024·运城高一检测)已知f(x)=lg2·lg(10x)+(lgx)2,则f(5)= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.f(5)=lg2·lg(50)+(lg5)2=lg2·(lg5+lg10)+(lg5)2=lg2·lg5+(lg5)2+lg2=lg5(lg2+lg5)+lg2=lg5(lg10)+lg2=lg5+lg2=lg10=1.12.(5分)(多选)(2024·南京高一检测)若10a=5,10b=20,则 ()A.a+b=4 B.b-a=lg4C.ab<2lg25 D.b-a>lg5【解析】选BC.由10a=5,10b=20,得a=lg5,b=lg20,则a+b=lg5+lg20=lg(5×20)=lg100=2,选项A错误;b-a=lg20-lg5=lg205ab=lg5×lg20=lg5×(lg4+lg5)=lg5×lg4+lg25,因为lg4<lg5,所以lg5×lg4+lg25<lg5×lg5+lg25=2lg25,所以ab<2lg25,选项C正确.13.(5分)已知a=log32,则log316+13log324=.(用a【解析】log316+13log324=log324+13log3(2=4log32+13(3log32+log3=5log32+13log33=5a+1答案:5a+114.(10分)(2024·焦作高一检测)(1)计算14-12+(π-e)【解析】(1)14-12=12=2+1+lg103+4=3+3+4=10.(2)若lg(x-2y)+lg(x+3y)=lgx+lgy+lg6,求log36xy的值【解析】(2)由已知可得x>2y>0,且lg(x-2y)+lg(x+3y)=lgx+lgy+lg6,则(x-2y)(x+3y)=6xy,即x2+xy-6y2=6xy,即(x-6y)(x+y)=0,因为x>2y>0,则x+y>0,于是有x=6y,即xy所以log36xy=log366=115.(10分)已知α,β是方程x2-55x-25=0的两个实根,(1)设log57=m,用m表示log5(α2+β2)的值;【解析】(1)因为α,β是方程x2-55x-25=0的两个实根,由根与系数的关系可得α+若log57=m,则log5(α2+β2)=log5[(α+β)2-2αβ]=log5(125+50)=log5175=log5(7×25)=log57+2=m+2即log5(α2+β2)=m+2;(2)求关于x的不等式4x>2log5【解析】(2)因为4x>2log5|α|+log因为函数y=2x在R上单调递增,所以2x>log5|α|+log5|β|=log5|αβ|=log525=2,所以x>1,即关于x的不等式4x>2log5【创新拓展练】16.(5分)(2024·西安高一检测)已知0<a<1,且a2log3a=813,则1a2+log9A.1054 B.833 C.673 【分析】两边同时取以3为底的对数,求出a后,结合对数的运算性质进行求解.【解析】选A.由题意,log3a2log3a=log3(813),根据对数的性质可得2log3a·log3a=log334·312=log339又因为0<a<1,所以log3a<0,故log3a=-32,解得a=3故1a2+log9a=13-3+log9317.(5分)(2024·晋城高一检测)已知0<m<1,0<n<1,且2log4m=log2(1-n),则1m+9n的最小值是 (A.18 B.16 C.10 D.4【解析】选B.因为0<m<1,0<n<1,且2log4m=log2(1-n),所以log2m=log2(1-n),所以m+n=1,所以1m+9n=(1m+9n)·(=10+nm+9mn当且仅当nm=9mn即m=14,所以1m+9n三十九用二分法求方程的近似解(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)(2024·昆明高一检测)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3C.f(x)=|x| D.f(x)=lgx【解析】选C.根据题意,依次分析选项:对于A,f(x)=3x-1在R上是单调函数,有唯一零点,且函数值在零点两侧异号,可用二分法求零点;对于B,f(x)=x3在R上是单调函数,有唯一零点,且函数值在零点两侧异号,可用二分法求零点;对于C,f(x)=|x|,虽然也有唯一的零点,但函数值在零点两侧都是正号,故不能用二分法求零点;对于D,f(x)=lgx在(0,+∞)上是单调函数,有唯一零点,且函数值在零点两侧异号,可用二分法求零点.2.(5分)用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为()A.[-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3]【解析】选C.f(-1)=-52<0,f(0)=-2<0,f(1)=-1<0,f(2)=1>0,f则f(1)·f(2)<0,即初始区间可选[1,2].3.(5分)(2024·菏泽高一检测)在用二分法求方程3x+2x-10=0在(1,2)上的近似解时,构造函数f(x)=3x+2x-10,依次计算得f(1)=-5<0,f(2)=3>0,f(1.5)<0,f(1.75)>0,f(1.625)<0,则该近似解所在的区间是()A.(1,1.5) B.(1.5,1.625)C.(1.625,1.75) D.(1.75,2)【解析】选C.根据已知f(1)=-5<0,f(1.5)<0,f(1.625)<0,f(1.75)>0,f(2)=3>0,结合二分法可得该近似解所在的区间是(1.625,1.75).4.(5分)某同学在用二分法研究函数f(x)=2x+x+m的零点时,得到如下函数值的参考数据:x11.251.3751.406251.43751.5f(x)-1-0.3716-0.03130.05670.14600.3284则下列说法正确的是()A.1.25是满足精确度为0.1的近似值B.1.5是满足精确度为0.1的近似值C.1.4375是满足精确度为0.05的近似值D.1.375是满足精确度为0.05的近似值【解析】选D.因为f(1.25)=-0.3716<0,f(1.5)=0.3284>0,且1.5-1.25=0.25>0.1,故A,B错误;因为f(1.375)=-0.0313<0,f(1.40625)=0.0567>0,且1.40625-1.375=0.03125<0.05,故D正确;因为f(1.4375)=0.1460>0,且1.4375-1.375=0.0625>0.05,故C错误.5.(5分)(多选)下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的说法错误的是()A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似值【解析】选BCD.对A.若x0∈[a,b]且满足f(x)=0,则x0是f(x)的一个零点,故A正确;对B.因为函数f(x)不一定连续,故B错误;对C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,f(x)=0的根是函数f(x)的零点,故C错误;对D.用二分法求方程的根时,得到的根可以是准确值,故D错误.6.(5分)(多选)关于函数f(x)=lgx+x-2的零点,下列说法正确的是()(参考数据:lg1.5≈0.176,lg1.625≈0.211,lg1.75≈0.243,lg1.8125≈0.258,lg1.875≈0.273,lg1.9375≈0.287)A.函数f(x)的零点个数为1B.函数f(x)的零点个数为2C.用二分法求函数f(x)的一个零点的近似解可取为1.8(精确到0.1)D.用二分法求函数f(x)的一个零点的近似解可取为1.9(精确到0.1)【解析】选AC.易知函数f(x)=lgx+x-2在(0,+∞)上单调递增,因为f(1.5)=lg1.5+1.5-2≈0.176+1.5-2=-0.324<0,f(2)=lg2+2-2=lg2>0,所以函数f(x)在(1.5,2)上有1个零点,故A正确,B错误;取区间中点x=1.75,则f(1.75)=lg1.75+1.75-2≈0.243+1.75-2=-0.007<0,所以函数f(x)在(1.75,2)上有零点,取区间中点x=1.875,则f(1.875)=lg1.875+1.875-2≈0.273+1.875-2=0.148>0,所以函数f(x)在(1.75,1.875)上有零点,取区间中点x=1.8125,则f(1.8125)=lg1.8125+1.8125-2≈0.258+1.8125-2=0.0705>0,所以函数f(x)在区间(1.75,1.8125)上有零点,又1.75,1.8125精确到0.1的近似值都是1.8,所以函数f(x)的一个零点的近似解为1.8,故C正确,D错误.7.(5分)(2024·扬州高一检测)用“二分法”求方程x3+x-3=0在区间(0,2)内的实根,首先取区间中点x=1进行判断,那么下一个取的点是x=.

【解析】设函数f(x)=x3+x-3,易得函数为严格增函数,因为f(1)=-1<0,f(2)=7>0,所以下一个有根区间是(1,2),那么下一个取的点是x=1.5.答案:1.58.(5分)若函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,则实数a的值为.

【解析】由题意得,函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,可知函数f(x)图象在x轴上方或下方(包括x轴),且与x轴有交点,当a+2=0,即a=-2时,f(x)=-4x+1,能用二分法求零点,不符合题意;当a+2≠0,即a≠-2时,此时f(x)=(a+2)x2+2ax+1为二次函数,而f(x)有零点,但不能用二分法求其零点,可知函数f(x)的图象与x轴有1个交点,即(a+2)x2+2ax+1=0有两个相等实根,所以Δ=4a2-4(a+2)=0,解得a=2或a=-1.答案:2或-19.(5分)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:f(1.6000)=0.200f(1.5875)=0.133f(1.5750)=0.067f(1.5625)=0.003f(1.5562)=-0.029f(1.5500)=-0.060据此数据,可知f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值可取为(误差不超过0.005).

【解析】因为f(1.5625)=0.003>0,f(1.5562)=-0.029<0,根据零点存在定理,可知零点在(1.5562,1.5625)内,由二分法可得零点的近似值可取为1.556所以f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值可取为1.55935,误差不超过0.005.答案:1.55935(答案不唯一)10.(10分)用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点的近似值(精确度为0.1).(参考数据:1.3753≈2.600,1.31253≈2.261)【解析】利用二分法,f(1)=-1<0,f(1.5)=278-32-1=f(1.25)=12564-54-1<2-54故零点在(1.25,1.5)内,此时0.25>0.1.又f(1.375)>0,所以零点在区间(1.25,1.375)内,此时0.125>0.1.又f(1.3125)<0,所以零点在区间(1.3125,1.375)内,此时0.0625<0.1,故f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点的近似值是1.3125.【补偿训练】已知函数f(x)=3x+x-2x+1,方程f【解析】方程f(x)=0在(-1,+∞)内有根,f(x)=3x+x-2x+1=3当x∈(-1,+∞)时,函数f(x)为增函数,所以若方程f(x)=0有根,则最多有一个根.因为f(0)=-1<0,f(1)=52所以函数f(x)在区间(0,1)上有唯一零点.【综合应用练】11.(5分)(2024·长沙高一检测)用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f(2)·f(4)<0,取区间的中点x1=2+42=3,计算得到f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0满足(A.x0=x1 B.x0>x1C.2<x0<3 D.x0<2【解析】选C.由题意,因为f(2)·f(x1)<0,所以函数f(x)在区间(2,x1)上一定存在零点,即函数的零点x0满足2<x0<3.12.(5分)用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值x0=a+b2A.[0,ε4) B.[0,εC.[0,ε) D.[0,2ε)【解析】选B.真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,而b-a+b2=a+b2-所以误差的取值范围为[0,ε2)13.(5分)(2024·成都高一检测)用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间(0,1)上零点的近似值,要求精确度为0.01时,所需二分区间次数最少为次.

【解析】开区间(0,1)的长度为1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作后,区间长度为12因为二分法求f(x)=ln(x+1)+x-1在区间(0,1)上零点的近似值,要求精确度为0.01,所以12n≤0.01,解得所以所需二分区间次数最少为7次.答案:714.(10分)(2024·深圳高一检测)(1)证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解;【解析】(1)设函数f(x)=2x+3x-6.因为f(1)=-1<0,f(2)=4>0,又因为f(x)是增函数,所以函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点;(2)求出f(x)=2x+3x-6在区间(0,+∞)的零点(精确到0.1).参考数据:f(1.5)=1.33,f(1.25)=0.128,f(1.125)=-0.44,f(1.1875)=-0.16.【解析】(2)由(1)可知方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解.设该解为x0,则x0∈[1,2],取x1=1.5,f(1.5)=1.33>0,f(1)f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5);取x2=1.25,f(1.25)=0.128>0,f(1)f(1.25)<0,所以x0∈(1,1.25);取x3=1.125,f(1.125)=-0.44<0,f(1.125)f(1.25)<0,所以x0∈(1.125,1.25);取x4=1.1875,f(1.1875)=-0.16<0,f(1.1875)f(1.25)<0.所以x0∈(1.1875,1.25),因为|1.25-1.1875|=0.0625<0.1,所以取x0=1.2,即方程的实数解为x0=1.2,所以f(x)在区间(0,+∞)上的零点是1.2.【补偿训练】已知f(x)=ln(x-1),g(x)=-x2+92x-2(1)分别画出y=f(x),y=g(x)的图象(不必写出画法,请先用铅笔画,确定后再用黑色水笔描黑);【解析】(1)y=f(x),y=g(x)的图象如图所示.(注意画图象的细节,如y=ln(x-1)的渐近线,1<ln6<2,y=-x2+92x-2的最大值为3116,与x轴的交点为((2)用二分法求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点x0(精确度为0.3);【解析】(2)因为f(x)-g(x)=0可以等价于y=f(x)与y=g(x)图象的交点问题,由图知,因为f(3)<g(3),f(4)>g(4),所以x0∈[3,4],因为f(3.5)=ln2.5<1,g(3.5)=1.5>1,即f(3.5)<g(3.5),所以x0∈[3.5,4],又因为f(3.75)=ln2.75>1,g(3.75)=1316即f(3.75)>g(3.75),所以x0∈[3.5,3.75],而3.75-3.5=0.25<0.3,所以x0可取[3.5,3.75]中的任一个值,如x0=3.6.(3)∀x>1,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},当方程M(x)=a有三个不同的实数根时,求实数a的取值范围.【解析】(3)因为方程M(x)=a可转化为y=M(x)与y=a的交点问题,如图,因为g(1)=32,ln2.75=ln(2.75)2<ln所以f(x0)=ln(x0-1)≤ln2.75<32,所以g(1)>f(x0又gmax(x)=4916,所以当32<a<4916,y=M(x)与y所以实数a的取值范围是(32,491615.(10分)已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.f(1)=-1f(1.5)=1f(1.25)=-0.40625f(1.375)=0.18359f(1.3125)=-0.13818f(1.34375)=0.01581(1)求证:f(x)在区间(1,2)上存在零点;【解析】(1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1,所以f(1)=-1<0,f(2)=7>0,所以f(1)·f(2)=-7<0,且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内连续,所以f(x)在区间(1,2)上存在零点;(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示,请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确到0.1).【解析】(2)由(1)知f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内存在零点,由题表知,f(1)=-1,f(1.5)=1,所以f(1)·f(1.5)<0,所以f(x)的零点在(1,1.5)上,因为f(1.25)=-0.40625,所以f(1.25)·f(1.5)<0,所以f(x)的零点在(1.25,1.5)上,因为f(1.375)=0.18359,所以f(1.25)·f(1.375)<0,所以f(x)的零点在(1.25,1.375)上;因为f(1.3125)=-0.13818,所以f(1.3125)·f(1.375)<0,所以f(x)的零点在(1.3125,1.375)上,因为f(1.34375)=0.01581,