高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册5.2.2　同角三角函数的基本关系(二)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系(二)含答案5.2.2同角三角函数的基本关系(二)【学习目标】1.会利用弦切互化求关于sinα,cosα齐次式的值.2.能解决与sinα±cosα,sinαcosα有关的求值问题.3.会用同角三角函数关系解决相关的最值问题.【素养达成】逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算类型一利用弦切互化求关于sinα,cosα的齐次式的值(数学运算)【典例1】已知tanα=-34(1)3sinα【解析】(1)因为tanα=-34,所以3sinα+2cosαsinα-(2)2sin2α+3sinαcosα-cos2α.【解析】(2)因为tanα=-34,所以2sin2α+3sinαcosα-cos2α==2tan2α+3tanα【总结升华】利用弦切互化求关于sinα,cosα的齐次式的值(1)形如asinα+(2)形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子,可以看作分母是1的分式,再将1变形为sin2α+cos2α,分子、分母同除以cos2α;(3)最终都化为tanα的形式,代入即可求解.【即学即练】已知4sinθ-2cos(1)求tanθ的值;【解析】(1)由4sinθ-2cosθ3sin得44tanθ-22=18tanθ+30,解得tanθ=2.(2)求1-4sinθcosθ+2cos2θ的值.【解析】(2)1-4sinθcosθ+2cos2θ=sin2θ-由(1)得tanθ=2,所以tan2θ-4tanθ所以1-4sinθcosθ+2cos2θ=-15类型二与sinα±cosα,sinαcosα有关的求值(数学运算)【典例2】已知-π2<x<0,sinx+cosx=15(1)sinxcosx;【解析】(1)因为sinx+cosx=15所以(sinx+cosx)2=152,即1+2sinxcosx=所以2sinxcosx=-2425,所以sinxcosx=-12(2)sinx-cosx;【解析】(2)由(1)知,sinxcosx=-1225(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+2425=49又-π2<x<0,所以sinx<0,cosx所以sinx-cosx<0,所以sinx-cosx=-75(3)1cos【解析】(3)因为sinx+cosx=15,sinx-cosx=-7所以1cos2x-sin2x【总结升华】与sinα±cosα,sinαcosα有关的求值(1)对于三角函数式sinα±cosα,sinαcosα之间的关系,通过(sinα±cosα)2=1±2sinα·cosα进行转化.(2)若已知sinα±cosα,sinαcosα中三者之一,利用方程思想可以求得其余的三角函数值.(3)sinα±cosα符号的判断需要依据角的范围而定.【即学即练】(2024·青岛高一检测)已知sinα+cosα=15(1)当α∈(0,π)时,求tanα的值;【解析】(1)因为(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=125得2sinαcosα=-2425<0因为α∈(0,π),所以α∈(π2(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=4925因为sinα>0,cosα<0,所以sinα-cosα=75,得sinα+cosα=15sinαtanα=sinαcosα(2)求1-2sin【解析】(2)1-2sin=sin2α+cos2由(1)(cosα-sinα)2=4925可得cosα-sinα=±75类型三与同角三角函数关系相关的最值问题(数学运算)【典例3】(2024·菏泽高一检测)已知θ∈(0,π),则12sin2θ-cos2【解析】θ∈(0,π),0<sinθ≤1,12sin2θ-cos2θ=1≥212sin2当且仅当12sin2θ=sin2θ,即sin所以12sin2θ-cos2θ答案:2-1【总结升华】与同角三角函数关系相关的最值问题(1)根据sin2α+cos2α=1,将所求最值的式子化为能利用基本不等式求最值的形式;(2)要特别注意基本不等式求最值的前提与等号成立的条件.【即学即练】若对任意的θ∈(0,π3),不等式1sin2θ+4cos2θ【解析】因为θ∈(0,π3所以sinθ>0,cosθ>0,tanθ>0,所以1sin2θ+4cos=cos2θsin2θ+4sin2θ当且仅当4tan2θ=1tan2θ,即tanθ所以1sin2θ所以|2x-1|≤9,解得-4≤x≤5,即实数x的取值范围是[-4,5].答案:[-4,5]5.2.2同角三角函数的基本关系(一)【学习目标】1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数基本关系进行求值、化简与证明.【素养达成】数学抽象、逻辑推理逻辑推理、数学运算同角三角函数基本关系1.平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R);2.商数关系:sinαcosα=tanα(α≠π2+kπ,【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对任意角α,sin24α+cos24α=1都成立.(√)提示:由同角三角函数平方关系知,对任意角α,sin24α+cos24α=1都成立.(2)对任意角α,sinα2cos提示:当α=π+2kπ(k∈Z)时,α2=π2+kπ(k∈Z),此时cosα(3)存在角α,β有sin2α+cos2β=1.(√)提示:当β=α+kπ(k∈Z)时,cosβ=±cosα,所以sin2α+cos2β=1.(4)若sinx=a,则cosx的取值一定有2个.(×)提示:当sinx=1时,由sin2x+cos2x=1得cosx=0,即cosx有且仅有一个取值.类型一利用同角三角函数关系式求三角函数值(数学运算)【典例1】(教材提升例6)(1)已知sinα=-22,α在第四象限,求cosα,tanα【解析】(1)因为sinα=-22,α所以cosα=1-sin2α=22(2)已知tanα=-43,求sinα,cosα【解析】(2)因为tanα=-43所以sin2α=sin2αsin2α当α为第二象限角时,sinα=45,cosα=-3当α为第四象限角时,sinα=-45,cosα=3(3)已知cosα=23,求sinα,tanα的值【解析】(3)因为cosα=23>0,当α为第一象限角时,sinα=1-cos2α=53,tanα=52,当α为第四象限角时,sinα=-5【总结升华】利用同角三角函数关系式求三角函数值(1)由已知三角函数的符号确定角的终边所在的象限;(2)利用同角三角函数的基本关系求出其余三角函数值;(3)根据角所在象限确定取正取负.【即学即练】(多选)下列说法中正确的有()A.若sinα=32,则cosα=±B.已知角α∈(π,3π2),若tanα=3,则sinα=C.已知角α∈(0,π),若cosα=35,则tanα=D.对于任意角α都有tanα=sin【解析】选AC.对A,因为sinα=32,所以cosα=±1-sin对B,因为tanα=3,α∈(π,3π2),所以sinα对C,α∈(0,π),因为cosα=35,所以α在第一象限,则tanα=sinαcos对D,当α=π2+kπ,k∈Z时,cosα=0,tanα不存在,故不正确【补偿训练】1.在△ABC中,已知cosA=-513,求sinA,tanA的值【解析】在△ABC中,cosA=-513,所以A∈(π所以sinA=1-cos2A=1213,tanA2.在△ABC中,已知cosB+sinB=15,求sinBcosB的值【解析】在△ABC中,cosB+sinB=15(cosB+sinB)2=1+2sinBcosB=125所以sinBcosB=-1225类型二利用同角三角函数关系式化简(数学运算)【典例2】(2024·六安高一检测)(教材提升练习T4)化简:(1)2cos2α-11-【解析】(1)原式=2cos2α-(si=cos2α-sin(2)tan2α-sin2α-tan2αsin2α.【解析】(2)tan2α-sin2α-tan2αsin2α=tan2α(1-sin2α)-sin2α=sin2αcos2α·cos2α【总结升华】利用同角三角函数关系式化简(1)化切为弦,减少函数名称;(2)构造1=sin2α+cos2α,降低次数.【即学即练】1.已知cosθ=13,则(tanθ+1tanθ)·sinθ【解析】(tanθ+1tanθ)·sinθ=(sinθcos=sin2θ=1cosθ答案:32.化简:sin2αtanα+cos2αtanα【解析】sin2αtanα+cos2αtanα=sin2α·sinαcosα+cos2α·cosα=sin=(sin2α类型三利用同角三角函数关系式证明(数学运算)【典例3】(教材提升例7)求证:(1)1+2sinxcosx【证明】(1)左边=1+2sinxcos=sinx+cosxcos(2)(cosα-1)2+sin2α=2-2cosα.【证明】(2)左边=(cosα-1)2+sin2α=cos2α-2cosα+1+sin2α=2-2cosα=右边,故得证.【总结升华】利用同角三角函数关系式证明(1)从任意一边开始,推出它等于另一边;(2)用