高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册4.4.3　不同函数增长的差异含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册4.4.3不同函数增长的差异含答案4.4.3不同函数增长的差异【学习目标】1.比较一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.2.理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型.【素养达成】直观想象数学抽象数学建模三种常见函数模型的增长差异项目y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度不变形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长结果存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax教材挖掘(P138探究(3))讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.提示:直线上升:匀速上升;对数增长:缓慢增长;指数爆炸:增长越来越快.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (√)提示:增长速度不变的函数模型是一次函数模型,故正确.(2)对任意的x>0,kx>logax. (×)提示:对任意的x>0,当k<0,a>1时,kx>logax不恒成立,故错误.(3)存在一个实数m,使得x>m时,1.01x>x10. (√)提示:指数函数的增长速度比幂函数的增长速度快,所以当实数x足够大时,1.01x>x10.(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型. (√)提示:在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型,故正确.类型一不同函数增长的差异(数学抽象)【典例1】(1)(2024·深圳高一检测)当x越来越大时,下列函数中增长速度最快的是 ()A.y=5x B.y=log5xC.y=x5 D.y=5x【解析】选D.结合函数的性质可知,几种函数模型中,指数函数模型的增长速度最快.(2)(2024·杭州高一检测)有一组实验数据如表所示:t3.06.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是 ()A.v=0.5t B.v=0.5(t2-1)C.v=log0.5t D.v=log2t【解析】选D.由题表格中的数据,作出数据的散点图,如图所示,数据的散点图和对数函数v=log2t的图象类似,所以选项D最能反映t,v之间的函数关系.【总结升华】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.(4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.【即学即练】1.设f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,正确的是 ()A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢【解析】选B.画出函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的图象,如图所示,结合图象,可得三个函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x中,当x∈(4,+∞)时,函数g(x)=2x的增长速度最快,h(x)=log2x的增长速度最慢.所以选项B正确,选项A,C,D不正确.2.今有一组实验数据如表:t1.9933.0024.0015.0326.121s1.5014.4137.49812.0417.93用下列函数近似地表示数据满足的规律,其中最接近的一个是 ()A.s-1=2t-3 B.s=log2tC.2s=t2-1 D.s=-2t-2【解析】选C.根据已知的数据可以知道,随着t的逐渐增大,函数值也是增大的,因此排除选项D.对于A,是指数型函数,底数大于1,因此是递增的,但是是爆炸性的增长,不满足.对于B,由于对数型函数的增长是蜗牛式增长,所以比较慢,并且当t=4时,函数值为2,与数据差距大,不满足.故排除法选C.类型二不同函数增长差异的应用(逻辑推理)角度1求范围【典例2】若x∈(0,+∞),则使log2x<2x<x2成立的x的取值范围是,使log2x<x2<2x成立的x的取值范围是.

【解析】在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=x2,y=log2x在(0,+∞)上的图象如图所示,由图得,若log2x<2x<x2,则2<x<4,若log2x<x2<2x,则0<x<2或x>4.答案:(2,4)(0,2)∪(4,+∞)【总结升华】利用不同函数增长的差异求范围(1)根据题意,作出不同增长函数的图象,确定交点的坐标;(2)结合图象,根据不同函数的相对位置,求出变量的取值范围.【即学即练】(2024·西安高一检测)对于任意x∈(m,+∞),不等式log2x<x2<2x都成立,则m的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.x>0时,令2x=x2得x=2或x=4,由于指数函数增长速度比二次函数快,所以当x>4时,2x>x2恒成立,且当x>4时,x2>log2x也成立,对数函数增长速度小于二次函数,所以m的最小值为4.角度2比较大小【典例3】函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2023),g(2023)的大小.【解析】(2)因为f(1)=2>g(1)=1,f(2)=4<g(2)=8,f(9)=512<g(9)=729,f(10)=1024>g(10)=1000,所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2023>x2,从题图上可以看出:当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2023)>g(2023).所以f(2023)>g(2023)>g(6)>f(6).【总结升华】利用不同函数增长的差异比较大小(1)根据题意,作出不同增长函数的图象,函数值的大小对应图象的高低;(2)通过对部分自变量对应函数值的计算,结合不同函数增长的差异性,确定所求函数值之间的大小关系.【即学即练】(2024·河池高一检测)对于任意正整数n,2n+2(n+1)2.(填“>”“<”或“=”)

【解析】当n=1时,2n+2=8>(n+1)2=4,当n=2时,2n+2=16>(n+1)2=9,当n=3时,2n+2=32>(n+1)2=16,当n=4时,2n+2=64>(n+1)2=25,……在(0,+∞)上随着自变量的增大,y=ax(a>1)的增长速度远远大于y=xn(n>0)的增长速度.答案:>【补偿训练】满足x+5>2x的正实数x的取值范围是.

【解析】如图,结合函数y=x+5与y=2x的图象增长差异得,当0<x<3时,x+5>2x.答案:(0,3)4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解【学习目标】1.了解函数的零点、方程的解与图象与x轴交点的关系.2.能根据零点存在定理判断函数零点大致所在区间.3.会借助函数图象与单调性判断零点的个数.【素养达成】直观想象、逻辑推理逻辑推理、数学运算直观想象、数学运算一、函数的零点1.定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.函数的零点、方程的解、函数的图象之间的关系函数y=f(x)有零点⇔方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.二、函数零点存在定理1.前提:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0;2.结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.教材挖掘(P143)为什么由f(a)·f(b)<0不能说明y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点,举例说明.提示:版本交融(北师大版P130抽象概括)如何理解f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在区间(a,b)内有解的充分不必要条件.提示:在区间(a,b)内,方程f(x)=0至少有一个解,只说明了方程f(x)=0解的存在,并不能判断具体有多少个解.当f(a)·f(b)>0时,方程f(x)=0也可能有解,如图所示.所以f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在区间(a,b)内有解的充分不必要条件.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=2x-1的零点是(12,0). 提示:函数y=2x-1的零点是12,故错误(2)函数f(x)=x2+x+1有零点. (×)提示:因为方程x2+x+1=0的Δ=1-4=-3<0,方程无根,所以函数没有零点,故错误.(3)若f(x)在[a,b]上为单调函数,且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.(√)提示:由f(a)f(b)<0可知在(a,b)内有零点,又因为函数f(x)在[a,b]上为单调函数,所以只有一个零点.(4)若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)>0,则在区间(a,b)上一定没有零点. (×)提示:如f(x)=x2在区间[-1,1]上有f(-1)f(1)=1×1=1>0,但是在区间[-1,1]上有零点0,故错误.类型一求函数的零点(数学运算)【典例1】(1)已知函数f(x)=x2+x-2,x【解析】当x≤0时,由f(x)=x2+x-2=0,即(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1(舍去),当x>0时,由f(x)=-1+lnx=0,解得x=e,综上可得,函数f(x)的零点为-2,e.答案:-2,e(2)如果函数f(x)=ax-b有一个零点是3,那么函数g(x)=bx2+3ax的零点是.

【解析】因为函数f(x)=ax-b有一个零点是3,所以f(3)=3a-b=0,即b=3a,令g(x)=bx2+3ax=3ax2+3ax=0,可得x=0或x=-1.答案:-1,0【总结升华】函数零点的求法(1)转化为求方程f(x)=0的解,对于分段函数的零点要注意自变量的取值范围;(2)转化为求函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.【即学即练】1.函数f(x)=(3x-27)ln(x-1)的零点为 ()A.2,3 B.2C.(2,0) D.(2,0),(3,0)【解析】选A.由f(x)=0,得(3x-27)ln(x-1)=0,即3x-27=0或ln(x-1)=0,解得x=3或x=2,所以函数f(x)=(3x-27)ln(x-1)的零点为2,3.2.设函数f(x)=ax+b,其中a>0,a≠1,b∈R.若f(x)无零点,则b的取值范围是.

【解析】因为指数函数y=ax的值域为(0,+∞),故函数f(x)=ax+b的值域为(b,+∞),因为函数f(x)无零点,则0∉(b,+∞),所以b≥0.答案:[0,+∞)类型二零点个数的判断(直观想象、数学运算)【典例2】(1)(2024·北京高一检测)函数f(x)=x2+2xA.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去);当x>0时,f(x)=lnx-2在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=-2<0,f(e3)=1>0,所以f(1)·f(e3)<0,所以f(x)在(0,+∞)上有且只有1个零点;综上,f(x)在R上有2个零点.(2)方程log2(x+4)=3x的实根的个数为 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=log2(x+4)与y=3x的大致图象,由图象可观察出两个函数图象共有两个不同的交点,故方程log2(x+4)=3x有两个实根.【总结升华】函数零点个数的判断方法(1)通过求方程f(x)=0的解,即可判断函数y=f(x)的零点个数;(2)将y=f(x)拆分为两个简单函数差的形式,如f(x)=g(x)-h(x),函数y=f(x)的零点个数即为函数g(x)与h(x)的交点个数.【即学即练】函数f(x)=x2+12x-3的零点个数为【分析】将问题转化为求函数y=12x与y=3-x2【解析】函数f(x)=x2+12x-3的零点个数等价于方程12x=3-x2的解的个数,即函数y=12x作出函数y=12x与y=3-x由图象可知:函数y=12x与y=3-x2有且仅有两个不同的交点,所以函数f(x)=x2+1答案:2【补偿训练】1.已知函数f(x)=x2,x≤0x2+14x,x>0,则关于x的方程3A.4 B.5 C.3 D.2【分析】由3f2(x)-7f(x)+2=0解得f(x)=13或2,再画出f(x),y=2,y=13【解析】选A.因为3f2(x)-7f(x)+2=0,解得f(x)=13当x≤0时,f(x)≥0;当x>0时,f(x)=x2+14x=14(x+1x)≥14所以f(x),y=2,y=13的图象如图:由图可知,使得f(x)=13或f(x)=2的点有4个.故关于x的方程3f2(x)-7f(x)+2=0实数解的个数为42.方程x+lnx=3解的个数为.

【解析】令f(x)=x-3+lnx=0,则lnx=3-x;在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=lnx与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=lnx与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+lnx只有一个零点.故原方程只有1个解.答案:1类型三零点的综合应用(逻辑推理)角度1判断零点所在区间【典例3】已知函数f(x)=lnx+x-2x,则f(x)的零点所在的区间为 (A.(-1,1) B.(1,2)C.(2,e) D.(e,3)【解析】选B.因为f(1)=ln1+1-2=-1<0,f(2)=ln2+2-1=1+ln2>0,所以由零点存在定理知,f(x)的零点所在的区间为(1,2).【总结升华】函数零点所在区间的判断(1)原理:零点存在定理,即判断f(a)·f(b)<0;(2)方法:将端点值代入函数解析式,判断函数值的正负.【即学即练】(2024·唐山高一检测)方程2x-2+2x=0的根所在的区间是 ()A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)【分析】设f(x)=2x-2+2x,根据零点存在定理,判断区间两个端点函数值异号,即可求出结果.【解析】选B.设f(x)=2x-2+2x,f(0)=-1,f(1)=2,所以函数的零点在(0,1)上,即方程2x-2+2x=0的根在区间(0,1)上.角度2求参数的取值范围【典例4】(1)(2024·连云港高一检测)已知函数y=x2+mx+m2-7的两个零点中,一个零点大于2,另外一个零点小于2,则实数m的取值范围是 ()A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-3,1)C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-1,3)【分析】由题意画出函数y=f(x)=x2+mx+m2-7的草图可知,f(2)<0,由此即可得解.【解析】选B.如图所示:不妨设函数y=x2+mx+m2-7的两个零点分别为x1,x2(x1<x2),由于抛物线开口向上,所以由题意有f(2)=4+2m+m2-7<0,整理得m2+2m-3<0,解得-3<m<1,即实数m的取值范围是(-3,1).(2)设f(x)=2x+1,x≤0|log2x|,【分析】求出f(x)在x≤0时的取值范围,再画出函数图象,则问题转化为y=f(x)与y=a有三个不同的交点,数形结合即可求出参数的取值范围.【解析】因为f(x)=2x画出函数图象如图所示:因为方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,即y=f(x)与y=a有三个不同的交点,由图可知1<a≤2,即实数a的取值范围是(1,2].答案:(1,2]【备选例题】(2024·连云港高一检测)已知函数f(x)=|2x-1|,x≤2-x+5,x>2,若关于xA.(0,3) B.[1,3) C.(2,3) D.[1,3)∪{0}【解析】选D.因为关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m的图象有两个交点,作出函数图象,如图所示,所以当m∈[1,3)∪{0}时,函数y=f(x)与y=m的图象有两个交点,所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}.【总结升华】利用零点存在定理求参数的取值范围(1)直接法:适用于已知二次函数有几个零点求参数的取值范围,可以转化为含参一元二次方程有几个解,通过研究一元二次方程根的分布得到参数的取值范围;(2)间接法:通常针对较为复杂的函数,可以拆分为两个简单函数的差,从而转化为两个简单函数有几个交点,结合图象得到满足条件的参数的取值范围.【即学即练】1.(2024·镇江高一检测)若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(1,+∞)