高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册3.2.2　第1课时　函数的奇偶性(一)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册3.2.2第1课时函数的奇偶性(一)含答案3.2.2奇偶性第1课时函数的奇偶性(一)【学习目标】1.了解奇偶性的概念,掌握判断函数奇偶性的方法.2.了解奇函数、偶函数图象的特征.3.会利用函数的奇偶性求函数或参数的值.【素养达成】数学抽象、逻辑推理直观想象数学运算函数的奇偶性前提设函数f(x)的定义域为D,∀x∈D,都有-x∈D条件f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)结论f(x)叫做偶函数f(x)叫做奇函数版本交融(苏教P118探究)具有奇偶性的函数,其定义域具有怎样的特点?提示:奇、偶函数的定义域关于原点对称.版本交融(人BP109,P110尝试与发现)偶函数与奇函数的图象具有什么特征?提示:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,反之也成立.【教材深化】1.若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数,如函数f(x)=0,x∈R.2.若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)是非奇非偶函数.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f(x)的定义域是R,且f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则f(x)是偶函数. (×)提示:所给关系式f(-1)=f(1),f(-2)=f(2)不满足任意性.(2)函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(5)=-3,则f(-5)=3. (√)提示:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-5)=-f(5)=3.(3)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0. (×)提示:若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.类型一函数奇偶性的判断(逻辑推理)【典例1】(1)函数f(x)=1x-x3A.y轴对称 B.x轴对称C.原点对称 D.直线y=x对称【解析】选C.因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=-1x-(-x)3=-1x+x3=-(1x-x3)=-f所以f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.(2)(多选)下列函数是偶函数的是()A.f(x)=2x2+3x4,x∈[-1,2]B.f(x)=-3C.f(x)=xD.f(x)=x2【解析】选BCD.对于A,函数的定义域为[-1,2],不关于原点对称,不是偶函数;对于B,函数的定义域为xx≠0,f(-x)=-3(-x)4=-因为函数的图象关于y轴对称,所以函数是偶函数.对于D,由x2-1≥0,1-x2≥0,得函数的定义域为{x|x【总结升华】判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:(2)图象法:【即学即练】1.(多选)下列函数是奇函数的是()A.f(x)=-2x3+1B.f(x)=1C.f(x)=1D.f(x)=-【解析】选CD.对于A,函数f(x)的定义域为R,f(-x)=-2(-x)3+1=2x3+1≠-f(x),不是奇函数;对于B,函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数;对于C,f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,f(-x)=1-x2-x=-f(x),所以f(x)为奇函数;对于D,画出图象如图所示,图象关于原点对称,因此函数2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()【解析】选B.选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.类型二奇偶函数图象的应用(直观想象)【典例2】(易错·对对碰)(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;【解析】(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于原点的对称点为P'(x,-f(-x)),图③为题图①补充后的图象,易知f(3)=-2.(2)如图②,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.【解析】(2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于y轴的对称点为P'(x,f(-x)),图④为题图②补充后的图象,易知f(1)>f(3).【总结升华】巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据:奇函数⇔图象关于原点对称,偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.【即学即练】已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)请补全函数y=f(x)的图象;【解析】(1)由题意作出函数图象如图所示.(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间;【解析】(2)由图可知,单调递增区间为(-1,1).(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.【解析】(3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<0或x>2}.类型三利用函数的奇偶性求值(逻辑推理)角度1利用奇偶性求函数值【典例3】(类题·节节高)(1)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-12x,则f(-1)=【解析】(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-12答案:(1)-12(2)设偶函数f(x)=x2+x,x【解析】(2)因为f(x)为偶函数,所以g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6.答案:(2)6(3)已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=.

【解析】(3)令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,则g(x)是奇函数,所以f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2,又f(-3)=-3,所以g(3)=5.又f(3)=g(3)+2,所以f(3)=5+2=7.答案:(3)7【总结升华】利用奇偶性求值的解题策略若自变量的取值不在已知的范围内,可利用奇偶性将未知的值(区间)转化为已知的值(区间),必要时需构造奇函数或偶函数便于求值.【即学即练】设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=.

【解析】因为f(x)为奇函数,且x>0时,f(x)=x2+1,所以f(-2)=-f(2)=-(4+1)=-5.又f(0)=0,所以f(-2)+f(0)=-5+0=-5.答案:-5角度2利用奇偶性求参数【典例4】设函数f(x)=x2+(A.-1 B.1 C.0 D.-2【解析】选A.方法一:根据题意,知函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数,则有f(x)+f(-x)=0,即方法二:因为f(x)=x2+(a+1)x+ax是奇函数,且y=x是奇函数,所以y=x2+(a【总结升华】利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.【即学即练】(2024·连云港高一检测)若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,则f(b2)=(A.14 B.54 C.74 【解析】选D.根据题意,函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,所以-b+2b所以f(x)=x2+1,则f(b2)=f(1)=12+1=2第2课时函数的奇偶性(二)【学习目标】1.会根据函数奇偶性求函数的解析式.2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.3.会判断简单的抽象函数的奇偶性.【素养达成】逻辑推理逻辑推理逻辑推理类型一利用函数的奇偶性求解析式(逻辑推理)【典例1】(易错·对对碰)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则当x<0时,f(x)=;

【解析】(1)当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=-x2-2x-3.即当x<0时,f(x)=-x2-2x-3.答案:(1)-x2-2x-3(2)若f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则当x<0时,f(x)=.

【解析】(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(-x),所以f(x)=x2+2x+3.即当x<0时,f(x)=x2+2x+3.答案:(2)x2+2x+3【总结升华】利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).(4)定义在R上的奇函数f(x)一定有f(0)=0.【即学即练】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x+3x-4.求函数f(x)在R上的解析式【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.设x<0,则-x>0,由x>0时,f(x)=x+3x-4可知,f(-x)=-x-3又f(x)为奇函数,故f(x)=-f(-x)=x+3x+4(x所以函数f(x)在R上的解析式为f(x)=x+类型二函数的奇偶性与单调性(逻辑推理)角度1比较大小【典例2】设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(-∞,0]时,f(x)单调递增,则f(52),f(-6),fA.f(π)>f(-6)>f(52B.f(-6)>f(π)>f(52C.f(-6)>f(52)>fD.f(π)>f(52)>f(-6【解析】选C.根据偶函数的性质可知,f(-6)=f(6),当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递减,因为6<52<π,所以f(6)>f(52)>所以f(-6)>f(52)>f(π)【总结升华】比较大小的求解策略看自变量是否在同一单调区间上(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小.(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.【即学即练】已知f(x)是奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是()A.f(-0.5)<f(0)<f(-1)B.f(-1)<f(-0.5)<f(0)C.f(0)<f(-0.5)<f(-1)D.f(-1)<f(0)<f(-0.5)【解析】选B.因为函数f(x)为奇函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在R上单调递增,所以f(-1)<f(-0.5)<f(0).角度2解不等式【典例3】(类题·节节高)(1)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,若f(a)>f(3),则实数a的取值范围是;

【解析】(1)由题意,函数f(x)在R上是增函数,所以a>3.答案:(1)(3,+∞)(2)已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,若f(a)>f(3),则实数a的取值范围是;

【解析】(2)由题意可知f(x)在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,所以|a|<3,解得-3<a<3.答案:(2)(-3,3)(3)已知定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则m的取值范围是.

【解析】(3)因为f(x)在[-2,2]上是偶函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,因此f(1-m)<f(m)等价于f(|1-m|)<f(|m|)等价于-2≤1-m≤2,-2≤m答案:(3)[-1,12【总结升华】利用函数的奇偶性、单调性解不等式(1)奇函数在连续的区间上,由fa,fb的关系,利用单调性可直接得到a,b的大小的不等式;(2)偶函数在连续的区间上,由fa,fb的关系,应考虑a,b的大小的不等式.提醒:解不等式不能忽视定义域,解出的范围要与定义域求交集.【即学即练】1.奇函数f(x)在R上单调递增,不等式f(2x+1)+f(2-x)<0的解集是.

【解析】因为f(x)是R上的奇函数,在R上为增函数,f(2x+1)+f(2-x)<0,f(2x+1)<f(x-2),所以2x+1<x-2,解得x<-3.即不等式的解集为(-∞,-3).答案:(-∞,-3)2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(1)=1,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则不等式f(2-x)>1的解集为.

【解析】当x≥0时,函数f(x)单调递增,且函数f(x)是R上的偶函数,f(1)=1,由f(2-x)>1,得f(|x-2|)>f(1),故|x-2|>1,解得x<1或x>3.答案:(-∞,1)∪(3,+∞)类型三抽象函数的奇偶性问题(逻辑推理)【典例4】定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).试判断f(x)的奇偶性,并加以证明.【解析】f(x)是奇函数.理由如下:取x=y=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.对任意x∈R,取y=-x,则f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是R上的奇函数.【总结升华】判断抽象函数的奇偶性的方法(1)找准方向,巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑,找出f(-x)与f(x)的关系.(2)赋值代换,至于如何赋值,要根据解题目标来确定,一般可通过赋值-1或0或1来达到解题目的.【即学即练】定义在非零实