高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价十八　复数的几何意义含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价十八复数的几何意义含答案十八复数的几何意义(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|=()A.0 B.1 C.2 D.2【解析】选C.|z|=(-1)22.(5分)(2024·曲靖高一检测)在复平面内,复数3+2i,-2+3i对应的向量分别是,,其中O是坐标原点,则向量对应的复数为()A.1+i B.5-iC.5-3i D.-5+i【解析】选D.由题设得,=(3,2),=(-2,3),则=-=(-5,1),所以向量对应的复数为-5+i.3.(5分)(2024·重庆高一检测)设复数z=4-3i,则复数z的共轭复数的模为()A.7 B.1 C.5 D.25【解析】选C.复数z=4-3i,则z=4+3i,所以|z|=42+4.(5分)已知复数z1=6-5i,z2=-2+3i,若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则|z|=()A.5 B.5 C.3 D.3【解析】选A.由题意得A(6,-5),B(-2,3),则线段AB的中点C的坐标为(2,-1),其对应的复数z=2-i,则|z|=(-1)25.(5分)已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应的点Z的集合是()A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆【解析】选A.因为|z|2-2|z|-3=0,所以(|z|-3)(|z|+1)=0,所以|z|=3,所以复数z对应的点Z的集合是以原点为圆心,3为半径的一个圆.6.(5分)(多选)下面是关于复数z=1+i(i为虚数单位)的四个命题,其中正确的是()A.|z|=2B.z对应的点在第一象限C.z的虚部为iD.z的共轭复数为-1+i【解析】选AB.因为复数z=1+i,所以|z|=2,故A正确;因为z对应的点(1,1)在第一象限,故B正确;因为z的虚部为1,故C错误;因为z的共轭复数为1-i,故D错误.7.(5分)四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,2-i,-3+i,则点D对应的复数为____________.

【解析】依题意,因为A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,2-i,-3+i,所以A(1,3),B(2,-1),C(-3,1).因为ABCD是平行四边形,所以=.设D(x,y),则(1,-4)=(-3-x,1-y),故-3-x所以D(-4,5),则点D对应的复数为-4+5i.答案:-4+5i8.(5分)若复数z在复平面内对应的点在第二象限,|z|=5,z在复平面内对应的点在函数y=43x的图象上,则z=__________【解析】由题意设z=3t+4ti(t∈R),则z=3t-4ti.因为|z|=5,所以9t2+16t2=25,所以t2=1.又z在复平面内对应的点在第二象限,所以t<0,所以t=-1,所以z=-3+4i.答案:-3+4i9.(5分)若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在复平面内对应的点位于虚轴上,则实数m的取值集合为__________.

【解析】因为m为实数,且复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在复平面内对应的点(m2-m-2,m2-3m+2)位于虚轴上,所以m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.答案:{-1,2}10.(10分)在复平面内,O是原点,向量对应的复数为2+i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量对应的复数;(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数.【解析】(1)设向量对应的复数为z1=x1+y1i(x1,y1∈R),则点B的坐标为(x1,y1).由题意可知,点A的坐标为(2,1).根据对称性可知,x1=2,y1=-1,故z1=2-i.(2)设点C对应的复数为z2=x2+y2i(x2,y2∈R),则点C的坐标为(x2,y2).由对称性可知,x2=-2,y2=-1,故z2=-2-i.【综合应用练】11.(5分)(2024·烟台高一检测)已知i为虚数单位,x,y∈R,若复数z=x+yi,z1=2+i,z1的共轭复数为z1,且z=z1,则x+y=(A.3 B.-1 C.1 D.-3【解析】选C.z1=2+i,则z1=2-i=x+yi,则x=2,y=-1,x+y=112.(5分)(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,则下列命题正确的是()A.z不可能为纯虚数B.若z的共轭复数为z,且z=z,则z是实数C.若z=|z|,则z是实数D.|z|可以等于1【解析】选BC.当a=0时,b=1,此时z=i,为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为z,且z=z,则a+bi=a-bi,因此b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=12得a2+b2=14,又a+b=1,b=1-a,因此8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,所以方程无实数解,即|z|不可以等于113.(5分)在复平面内,把复数3-3i对应的向量按顺时针方向旋转π3,则所得向量对应的复数是__________【解析】复数对应的点的坐标为(3,-3),对应的向量按顺时针方向旋转π3,则对应的点的坐标为(0,-23),所得向量对应的复数为-23i答案:-23i14.(10分)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,求复数z.【解析】由题意设点Z的坐标为(a,b)(a<0),因为||=|z|=2,与实轴正方向的夹角为120°,则a2+b2=4解得a=-1,b=±3,即点Z的坐标为(-1,3)或(-1,-3),所以z=-1+3i或z=-1-3i.15.(10分)(1)求复数z=x+(2x+1)i(x∈R)的模的最小值;(2)复数z=a+bi(a,b∈R),若|z|≥1,0<a<2,0<b<2,求复数z对应的点的集合形成的图形的面积.【解析】(1)因为z=x+(2x+1)i(x∈R),所以|z|=x2+=5(x+2当且仅当x=-25所以当x=-25时,|z|取得最小值5(2)复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面上的对应点的坐标为(a,b),因为|z|≥1,0<a<2,0<b<2,所以a2+b2≥1,0<a<2,0<b<2,所以复数z对应的点的集合形成的图形如图中的阴影部分(不包括x,y轴上的点):所以复数z对应的点的集合形成的图形的面积S=2×2-π4=4-π【补偿训练】设z∈C,且满足下列条件,求在复平面内,复数z对应的点Z的集合是什么图形.(1)|z|<3;(2)|z|=2.【解析】(1)由|z|<3得向量的模小于3,所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心,3为半径的圆面,不包括边界.(2)由|z|=2得向量的模等于2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.十二平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)在△ABC中,若(+)·(-)=0,则△ABC()A.是正三角形 B.是直角三角形C.是等腰三角形 D.形状无法确定【解析】选C.(+)·(-)=-=0,即||=||,即CA=CB,则△ABC是等腰三角形.【补偿训练】(2024·佛山高一检测)若非零向量与满足(+)·=0,·=0,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选C.因为非零向量与满足(+)·=0,又因为,均为单位向量,所以角A的平分线垂直于BC,则AB=AC,因为·=0,所以⊥,即AB⊥AC,所以△ABC为等腰直角三角形.2.(5分)一物体在力F的作用下,由点A(4,-2)移动到点B(5,4).已知F=(3,2),则F对该物体所做的功为()A.-15J B.15J C.28J D.-28J【解析】选B.由A(4,-2),B(5,4),所以=(1,6),又F=(3,2),所以F对物体做的功W=F·=1×3+6×2=15(J).3.(5分)(2024·南充高一检测)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=3,=2,=12,CN与BM交于点P,则cos∠BPN的值为()A.55 B.-255 C.-55【解析】选D.建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,2),N(0,1),C(3,0),M(2,0),得=(-3,1),=(-2,2),所以cos∠BPN==810×24.(5分)(2024·新乡高一检测)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知|F1|=1N,|F3|=2N,F1与F3的夹角为60°,则F2的大小为()A.1N B.3N C.7N D.3N【解析】选C.根据三力平衡得F1+F3+F2=0,即F1+F3=-F2,两边同时平方得F12+2F1·F3+F3即|F1|2+2|F1||F3|cos60°+即12+2×1×2×12+22=7=|解得|F2|=7.5.(5分)(2024·上海高一检测)已知O为△ABC所在平面内一点,D是AB的中点,动点P满足=(1-λ)·+λ(λ∈R),则点P的轨迹一定过△ABC的()A.内心 B.垂心C.重心 D.AC边的中点【解析】选C.由动点P满足=(1-λ)+λ(λ∈R),且1-λ+λ=1,所以P,C,D三点共线,又因为D为AB的中点,所以CD为△ABC的边AB的中线,所以点P的轨迹一定过△ABC的重心.【补偿训练】在△ABC中,设-=2·,那么动点M形成的图形必经过△ABC的()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【解析】选C.假设BC的中点是O,则-=(+)·(-)=2·=2·,即(-)·=·=0,所以⊥,所以动点M在线段BC的垂直平分线上,所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心.6.(5分)(多选)下列说法错误的是()A.若∥,则直线AB与直线CD平行B.若△ABC是直角三角形,则必有·=0C.在△ABC中,若·+=0,则△ABC为等边三角形D.若A(xA,yA),B(xB,yB),则||=(xB【解析】选ABC.A错,可能为同一条直线;B错,直角不一定是∠C;C错,由条件可得·(+)=·=0,所以∠BAC为直角,即△ABC为直角三角形,非等边三角形;=(xB-xA,yB-yA),所以||=(xB7.(5分)已知平行四边形ABCD中,=(1,2),=(3,1),则平行四边形ABCD的对角线AC的长为__________.

答案:5【解析】由=+=(4,3),所以||=42+38.(5分)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为2003N,则该学生的体重(单位:kg)约为________kg.(参考数据:取重力加速度大小为g=10m/s2)

答案:60【解析】如图,||=||=2003,∠AOB=60°,作平行四边形OACB,则OACB是菱形,=+,||=2||sin60°=600,所以|G|=||=600,因此该学生体重为600g=60010=60(kg).9.(5分)已知向量a=-12,32,=a-b,=a+b,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积为________.

答案:1【解析】由题意,得|a|=1.又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,所以⊥,||=||.由⊥,得(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|.由||=||,得|a-b|=|a+b|,所以a·b=0,所以|a+b|2=|a|2+|b|2=2,则||=||=2,所以S△OAB=12×2×2=1.10.(10分)一条东西方向的河流两岸平行,河宽250m,河水的速度为向东23km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发,航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距2503m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h,则当小货船的航程最短时,求合速度的方向,并求此时小货船航行速度的大小.【解析】如图,AB=250m=0.250km,BC=2503m=34tan∠CAB=BCAB=340.250所以∠CAB=60°,所以∠CAD=90°+60°=150°,所以合速度的方向与水流的方向成150°的角.设小货船的速度为v1,水流速度为v2,合速度为v,则v1=v-v2,所以|v1|=v262-2×6×23所以小船航行速度的大小为221km/h.【综合应用练】11.(5分)(多选)在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,下列结论正确的是()A.AM=39B.BN=21C.∠MPN的余弦值为21D.++=0【解析】选BD.如图所示:由题可知,M,N分别为BC,AC中点,则=12(+),同时平方得=14(++2·)=14(++2||||cos∠BAC)=14(4+25+2×2×5×12)=394,则|AM|=392,故A错误;又=-,同时平方得==+-2·=254+4-2×52×2×12=214,则||=212,故B正确;cos∠MPN====12×=12×-4+252-12×2×5×++=-+(-)+(-)=+-3=+-3×23=+-3×23×12(+)=0,故D正确.12.(10分)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为23π,如图所示(1)求F3的大小;(2)求F2与F3的夹角.【解析】(1)由题意|F3|=|F1+F2|,因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为23π,所以|F3|=|F1+F2|=1+4+2×1×2×(-12(2)设F