高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第六章　6.3　6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第六章6.36.3.4平面向量数乘运算的坐标表示含答案6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示【学习目标】1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示平面向量共线的条件.3.能根据平面向量共线的坐标关系解决与向量有关的综合问题.【素养达成】数学抽象逻辑推理数学运算一、数乘运算的坐标表示(1)符号表示:已知a=(x,y),则λa=(λx,λy).(2)文字描述:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.二、平面向量共线的坐标表示(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2)如果用坐标表示,向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.【教材挖掘】(P33)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上一点,且=λ(λ≠-1),求点P的坐标.提示:设P(x,y),则=(x-x1,y-y1),=(x2-x,y2-y),由=λ,得(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),于是x因为λ≠-1,所以x因此,点P的坐标为(x1+λx【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则x1y1=x提示:当y1=0或y2=0时,x1y1=(2)向量a=(1,2)与b=(-3,-6)共线且同向.(×)提示:b=(-3,-6)=-3(1,2)=-3a,所以a与b共线且反向.(3)若A,B,C三点共线,则向量,,都是共线向量.(√)提示:若A,B,C三点共线,则向量,,方向相同或者相反,是共线向量.类型一向量数乘运算的坐标表示(数学运算)【典例1】(1)(2024·银川高一检测)已知向量a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),若c=ma+nb,则m+n=()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.由题意,得c=(2m+n,-3m+2n)=(9,4),所以2m解得m=2n=5,所以m+(2)已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),求a和b.【解析】因为2a=(a+b)+(a-b)=(2,-8)+(-8,16)=(-6,8),所以a=(-3,4).又因为2b=(a+b)-(a-b)=(10,-24),所以b=(5,-12).【总结升华】向量数乘坐标运算的方法(1)数乘运算法则;(2)列方程组求解;(3)待定系数法.【即学即练】1.已知=(-2,4),=(2,6),则12等于()A.(0,5) B.(0,1) C.(2,5) D.(2,1)【解析】选D.12=12(-)=12(2,6)-12(-2,4)=(2,1)2.已知a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3),试用b,c表示a.【解析】设a=λb+μc(λ,μ∈R),则(10,-4)=λ(3,1)+μ(-2,3)=(3λ,λ)+(-2μ,3μ)=(3λ-2μ,λ+3μ).依题设得3λ-所以a=2b-2c.类型二向量平行的坐标表示(数学运算)角度1向量共线的判定【典例2】(1)已知向量a=(-1,2),b=(2,-4),则a与b()A.平行且同向 B.平行且反向C.垂直 D.不垂直也不平行【解析】选B.根据题意可知,b=-2a,即a,b平行且反向.(2)(教材提升·例7)已知向量a=(1,2),b=(λ,1),且a+2b与2a-2b共线,求λ的值.【解析】因为向量a=(1,2),b=(λ,1),所以a+2b=(1+2λ,4),2a-2b=(2-2λ,2),又a+2b与2a-2b共线,所以(1+2λ)×2-4×(2-2λ)=0,解得λ=12【总结升华】向量共线的判定及应用(1)利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解.(2)利用向量共线的坐标表示求解.【即学即练】1.(多选)下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(1,0),e2=(0,1)B.e1=(1,2),e2=(-2,1)C.e1=(-3,4),e2=(35,-4D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)【解析】选AB.对于A,假设存在实数λ使得e1=λe2,即(1,0)=λ(0,1),即1=λ则e1=(1,0),e2=(0,1)不共线,所以可以作为基底.对于B,假设存在实数λ使得e1=λe2,即(1,2)=λ(-2,1),即1=-则e1=(1,2),e2=(-2,1)不共线,所以可以作为基底.对于C,e1=-5e2,所以e1=(-3,4),e2=(35,-45对于D,e1=-2e2,所以e1=(2,6),e2=(-1,-3)共线,所以不可以作为基底.2.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=__________.

【解析】由已知a+b=(1,m-1),c=(-1,2),由(a+b)∥c,得1×2-(m-1)×(-1)=m+1=0,所以m=-1.答案:-1角度2三点共线的证明【典例3】(教材提升·例8)已知A(1,-3),B(8,12),C(9,1),求证:A,B,C三点共线【证明】=(8-1,12+3)=(7,72),=(9-1,1+3)=(8,4),因为7×4-72所以∥,且,有公共点A,所以A,B,C三点共线.【总结升华】三点共线的证明与应用(1)由点的坐标得到相应向量的坐标;(2)根据坐标关系判断向量是否共线;(3)结合是否有公共点,判断三点是否共线.【即学即练】(2024·吉林高一检测)设=(1,-2),=(3,4),=(t,1),若A,B,C三点能构成三角形,求实数t应满足的条件.【解析】由已知=-=(2,6)≠0,=-=(t-1,3),若A,B,C三点共线,由向量共线定理可知,存在唯一的λ∈R,使得=λ.所以(t-1,3)=λ(2,6)=(2λ,6λ),即t-解得λ=12,t=2所以当t≠2时,A,B,C三点能构成三角形.【补偿训练】设A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当x为何值时,与共线且方向相同,此时A,B,C,D能否在同一直线上?【解析】因为=(x,1),=(4,x),与共线,则x2=4,x=±2.又因为,同向,所以x=2.此时=(-3,2),与不共线.所以A,B,C,D不在同一直线上.类型三向量坐标运算的综合应用(数学运算)角度1定比分点问题【典例4】(教材提升·例9)(2024·莆田高一检测)已知两点A(3,-4)和B(-9,2),在直线AB上存在一点P,使||=13||,那么点P的坐标为______________.

【解析】设点P的坐标为(x,y),由||=13||,可得=13或=-13,①=13,则有(x-3,y+4)=13(-12,6),所以x-3=-4,y+4=2,解得x=-1,y=-2,此时P(-1,-2);②=-13,则有(x-3,y+4)=-13(-12,6),所以x-3=4,y+4=-2,解得x=7,y=-6,此时P(7,-6),综上,点P的坐标为(-1,-2)或(7,-6).答案:(-1,-2)或(7,-6)【总结升华】向量中的定比分点问题方法:将向量模的比例关系转化为向量数乘关系,再代入坐标计算.【即学即练】(2024·运城高一检测)已知M(-2,5),N(10,-1),点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M,则点P的坐标为__________.

【解析】由题可知=3,设P(x,y),则=(12,-6),=(x+2,y-5),3=(3x+6,3y-15),所以3x+6=123y-15=答案:(2,3)【补偿训练】如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D是边AB的中点,G是CD上的一点,且CGGD=2,求点G的坐标【解析】因为D是AB的中点,所以点D的坐标为(x1+x因为CGGD=2,所以=2,设G点坐标为(x,y),由定比分点坐标公式可得x=x3+2×xy=y3+2×y则点G的坐标为(x1+x2角度2求直线的交点坐标【典例5】如图,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=14,=12,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.【解析】因为=14=14(0,5)=(0,54所以C(0,54)因为=12=12(4,3)=(2,32所以D(2,32)设M(x,y),则=(x,y-5),因为∥,=(2,-72),所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.又=(x,y-54),=(4,74),∥,所以74x-4(y-54)=0,即7x-16y=-20联立①②解得x=127,y故点M的坐标为(127,2)【总结升华】求直线交点坐标(1)设交点坐标;(2)根据交点所在位置构造关于交点的共线向量;(3)列方程组求交点坐标.【即学即练】如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD的交点P的坐标为__________.

【解析】设P(x,y),则=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).由B,P,D三点共线可得=λ=(5λ,4λ).又因为=-=(5λ-4,4λ),由与共线得,(5λ-4)×6+12λ=0.解得λ=47,所以=(x-1,y)=(207,167),所以x=277,y=167,所以点P的坐标为(27答案:(277,166.3.5平面向量数量积的坐标表示第1课时平面向量数量积的坐标表示(1)【学习目标】1.理解平面向量数量积的坐标表示.2.会进行平面向量数量积的坐标运算.3.能用平面向量数量积的坐标运算解决向量的模、夹角、垂直问题.【素养达成】数学抽象数学运算逻辑推理一、平面向量数量积的坐标表示条件向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)坐标表示a·b=x1x2+y1y2文字叙述两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和二、平面向量性质的坐标表示1.模长公式:若a=(x,y),则|a|=x2若a=且A(x1,y1),B(x2,y2),则a=(x2-x1,y2-y1),则|a|=(x2.垂直的充要条件:设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.3.夹角公式:设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cosθ=a·b|【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1y2-x2y1=0.(×)提示:a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(2)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角.(×)提示:当θ=0时,cosθ>0.(3)若a=(x,y),则|a|=x2+y提示:根据向量模长的坐标表示可知正确.(4)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°.(×)提示:当x1y2-x2y1=0时,a∥b,向量a与b的夹角为0°或180°.类型一向量数量积的坐标运算(数学运算)【典例1】(1)(教材提升·例11)已知向量a=(1,3),b=(-2,-1),则(a+b)·(2a-b)=()A.10 B.18 C.(-7,8) D.(-4,14)【解析】选A.因为向量a=(1,3),b=(-2,-1),所以(a+b)·(2a-b)=(-1,2)·(4,7)=-1×4+2×7=10.(2)(2024·焦作高一检测)在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,BD⊥DC,点M为线段CD的中点,则·=______________.

【分析】建立平面直角坐标系,利用坐标运算求向量的数量积.答案:15【解析】由BD⊥DC,以D为原点,DC所在直线为x轴,DB所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,已知AD=2AB=2,则BD=AD2-AB2=4-1=3,有M12,0,B(0,3),A(-1,3),=-32,3,=-12,3,·=34+3=【总结升华】平面向量数量积运算的方法(1)将各向量用坐标表示,直接计算;(2)利用运算律将原式展开,再根据已知条件计算;(3)对于以图形为背景的数量积问题,首先需要根据图形建立恰当的坐标系.【即学即练】(2024·邢台高一检测)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=2,AD=1,点E在边AB上,且·=3,则BE=()A.1 B.2 C.12 D.【解析】选C.由题意,以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则C(2,0),D(1,2),设E(0,x),则=(-2,x),=(-1,2),则·=2+2x=3,解得x=12,即BE=12.类型二向量模的坐标运算(数学运算)【典例2】(1)(2024·天津高一检测)已知向量b=(-3,1),则与b方向相反的单位向量是__________.

答案:31010,-10【解析】向量b=(-3,1),则与b方向相反的单位向量是-b|b|=-110(-3,1)=310(2)(2024·大连高一检测)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),则|a+b|=__________;向量a在向量b上的投影向量的坐标是__________.

答案:532,-12【解析】由题意,a+b=(-1,2),所以|a+b|=(-1)2+22=5,向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθb|b|=a·b【总结升华】向量模的坐标运算(1)方法:求向量a=(x,y)的模一般转化为求模的平方,充分利用|a|2=a2=x2+y2;(2)注意:结果要开方.【即学即练】(2024·天津高一检测)已知点A(1,2),B(2,5),C(3,2),D(4,3),则向量在上的投影向量坐标为________,投影向量的模为__________.

答案:(2,2)22【解析】由题意可得:=(1,3),=(1,1),则·=1×1+3×1=4,||=12+12=2,向量在上的投影向量为(||cos<,>)=||×==2=(2,2),故向量在上的投影向量坐标为(2,2);投影向量的模为22+22=22.类型三向量垂直的应用(数学运算、逻辑推理)角度1利用向量垂直求参数【典例3】(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1【解析】选D.由题意得a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.【总结升华】利用向量垂直求参数的方法(1)将向量用坐标表示;(2)利用数量积等于0列方程求解.【即学即练】(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选D.因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x(x-4)=0,解得x=2.角度2利用向量垂直判断几何图形的形状【典例4】(教材提升·例10)已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形【解析】选A.由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以·=2×8+(-4)×4=0,即⊥.所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.【总结升华】利用向量的垂直判断几何图形形状的步骤(1)根据已知点的坐标作出几何图形;(2)结合图形特征直观判断图形的形状;(3)利用向量的数量积证明所作的判断.【补偿训练】1.证明:以A(1,2),B(3,6),C(0,5),D(-1,3)为顶点的四边形是直角梯形.【证明】由题意得=(2,4),=(-2,1),=(1,2),则=2,得AB∥DC且AB=2DC,则四边形ABCD为梯形.因为·=-2×2+1×4=0,所以AB⊥AD.故以A(1,2),B(3,6),C(0,5),D(-1,3)为顶点的四边形是直角梯形.2.(2024·连云港高一检测)已知直角梯形ABCD的三个顶点分别为A(-1,0),B(1,2),C(4,1),且AB∥DC.(1)求顶点D的坐标;(2)若E为线段BC上靠近点C的三等分点,F为线段AB的中点,求|3-2|.【解析】(1)设D(x,y),因为A(-1,0),B(1,2),C(4,1),则=(2,2),=(3,-1),=(4-x,1-y),=(x+1,y),在直角梯形ABCD中,AB∥DC,且·=(-2,-2)·(3,-1)=-4<0,所以A,D为直角,则,即2(解得x=1,y=-2,所以顶点D的坐标为(1,-2);(2)因为E为线段BC上靠近点C的三等分点,则=3,设E(a,b),则(3,-1)=3(4-a,1-b),所以a=3,b=43,所以E3,43,又因为F为线段AB的中点,则F(0,1),所以=2,103,=(-1,3),则3-2=32,103-2(-1,3)=(8,4),所以|3-2|=82+42=4类型四向量的夹角问题(数学运算、逻辑推理)角度1向量夹角的计算【典例5】(2024·武汉高一检测)若向量a=(1,k),b=(2,-1),且|a+2b|=|a-2b|,则a+b与b的夹角为__________.

【分析】由|a+2b|=|a-2b|可得a·b=0,即可得k=2,利用向量夹角的坐标表示即可求出夹角为π4答案:π【解析】将|a+2b|=|a-2b|两边平方可得a·b=0,又a·b=2-k=0,解得k=2;所以a+b=(3,1),又b=(2,-1),则a+b与b的夹角的余弦值为cosθ=3×2-132+1则a+b与b的夹角为π4【总结升华】求向量夹角的关注点(1)方法:代入向量夹角的坐标公式cosθ=a·b|(2)注意:向量夹角θ的取值范围是[0,π].【补偿训练】1.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(-3,-4),B(5,-12),则cos∠OAB=()A.3365 B.-3365 C.210 D【解析】选D.由题设=(3,4),=(8,-8),所以cos∠OAB==24-325×822.(2024·沈阳高一检测)平面内给定三个向量,a=(1,1