高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第六章　6.3　6.3.1　平面向量基本定理含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第六章6.36.3.1平面向量基本定理含答案6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理【学习目标】1.通过具体情境操作向量的分解,发现并证明平面向量基本定理.2.理解基底的含义,并能用基底表示平面向量.3.理解平面向量基本定理的含义,并能解决有关综合问题.【素养达成】直观想象数学抽象、数学运算逻辑推理、数学运算平面向量基本定理1.定义:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.2.基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.【教材挖掘】(P26)观察=(1-t)+t,你有什么发现?提示:,的系数和为1.一般地,A,B,P三点共线的充要条件是:存在唯一实数λ,μ满足=λ+μ,且λ+μ=1.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一个基底.(√)(2)零向量可以作基底中的向量.(×)提示:零向量与任意向量共线,故不能作基底中的向量.(3)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.(×)提示:基底的选择是不唯一的.(4)已知a,b是一组不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则x1=x2,y1=y2.(√)提示:平面向量的基本定理可知x1=x2,y1=y2.类型一关于基底概念的理解(数学抽象)【典例1】已知e1,e2是不共线的非零向量,则下列四组向量可以作为一个基底的是()A.a=0,b=e1+e2B.a=3e1+3e2,b=e1+e2C.a=e1-2e2,b=e1+e2D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2【解析】选C.对于A:零向量与任意向量均共线,所以这两个向量不可以作为基底;对于B:因为a=3e1+3e2,b=e1+e2,所以a=3b,所以这两个向量不可以作为基底;对于C:设a=λb,即e1-2e2=λ(e1+e2),则1=λ对于D:设a=e1-2e2,b=2e1-4e2,所以a=12b,所以这两个向量不可以作为基底【总结升华】关于基底概念的理解(1)关键:判断两个向量能否构成基底,主要看两个向量是否满足不共线,利用向量共线定理可以确定;(2)注意:平面内的一个基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示.【即学即练】(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,则下列向量可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是()A.与 B.与C.与 D.与【解析】选AC.与不共线;=-,则与共线;与不共线;=-,则与共线.【补偿训练】若向量a与b是平面上的两个不平行向量,下列向量不能作为一个基底的是()A.-a与a+bB.a+b与2a+bC.2a-5b与-4a+10bD.2a+b与a+2b【解析】选C.对于A,假设存在实数λ,使a+b=λ(-a),则1=-λ1=0,方程组无解,即不存在实数λ,使a+b=λ(-a),即-a与a对于B,假设存在实数λ,使a+b=λ(2a+b),则1=2λ1=λ,方程组无解,即不存在实数λ,使a+b=λ(2a+b),即a+b与2a对于C,假设存在实数λ,使2a-5b=λ(-4a+10b),则2=-4λ-5=10λ,解得λ=-12,即2a对于D,假设存在实数λ,使2a+b=λ(a+2b),则2=λ1=2λ,方程组无解,即不存在实数λ,使2a+b=λ(a+2b),即2a+b与a+2类型二用基底表示向量(直观想象)【典例2】如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M,E在BC上,且BE∶EC=1∶2,直线DE与AB的延长线交于点F,记=a,=b.(1)试用a,b表示,;(2)试用a,b表示.【解析】(1)平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M,=12=12(+)=12(--)=-12a-12b,=12=12(-)=12a-12b.(2)点E在BC上,且BE∶EC=1∶2,BE∥AD,则△BEF∽△ADF,于是BFAF=BEAD=BEBC=13,即BF=32=32a,所以=-=32a-b.【总结升华】用基底表示向量的方法(1)利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则,对要表示的向量分解,直到转化为基底表示;(2)对于较为复杂的关系,如含有未知的位置关系的点,可以利用共线设出向量的线性比例关系,用基底表示后求系数.【即学即练】(2024·保定高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,AE和BD相交于点F.记=a,=b,则()A.=-23a-13b B.=23a+1C.=-13a-23b D.=13a+2【解析】选A.在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AE和BD相交于点F,所以△ABF∽△EDF,又点E是CD的中点,所以DFBF=DEAB=所以=13=13(-),所以=+=-+13(-)=-23-13=-23a-13【补偿训练】如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=23.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为______.

【解析】以OC为对角线,作平行四边形OECF(图略),且OA,OB分别在这个平行四边形的两邻边OE,OF上.因为∠COF=∠EOF-∠EOC=120°-30°=90°,所以在Rt△COF中,||=23,∠OCF=30°.所以CF=OCcos∠OCF=23cos30又||=||=1,所以=4,=2.所以=+=4+2,由平面向量基本定理,可得λ=4,μ=2.所以λ+μ=6.答案:6类型三平面向量基本定理的应用(逻辑推理)【典例3】(2024·西安高一检测)已知在△ABC中,点M是BC边上靠近点B的四等分点,点N为AB中点,设AM与CN相交于点P.(1)请用,表示向量;(2)设和的夹角为θ,若cosθ=14,且||=2||,求证:⊥.【解析】(1)=+=+14=+14(-)=34+14.(2)=-=12-,·=12-·=12-·=12-||·||cosθ=12-||·2||·14=12-12=0,所以⊥.【总结升华】关于向量法证明几何问题(1)选择基底的原则一是不共线;二是已知模和夹角,以方便表示出相关向量后运算、证明;(2)利用向量共线可以证明线段平行,向量数量积为0可以证明线段垂直,利用模的运算可以证明线段相等等问题.【即学即练】如图,正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,F是BC的中点,求证:DE⊥AF.【证明】因为·=(+12)·(+12)=12-12+14·+·,而AD⊥AB,AD=AB,所以·=0,所以⊥,即DE⊥AF.【补偿训练】(2024·大理高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,F,G是AD,BC的三等分点(AF=23AD,BG=23BC).设=a,=b.(1)用a,b表示,;(2)如果|a|=43|b|,用向量的方法证明:EF⊥【解析】(1)根据题意,点E是AB的中点,F,G是AD,BC的三等分点,且AF=23AD,BG=23=-=23-12=23b-12a,=+=12+23=12+23=12a+23b;(2)根据题意,若|a|=43|b则·=23b-12a·23b+12a=49|b|2-14|a|2=0,则⊥,所以EF⊥EG.6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示【学习目标】1.借助平面直角坐标系,理解平面向量的正交分解及坐标表示.2.掌握两个向量加减运算的坐标表示.【素养达成】数学抽象、直观想象数学运算一、平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量.2.基底:设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.3.向量的坐标:向量a=xi+yj,有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).4.特殊向量:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).二、平面向量加、减运算的坐标表示1.两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有项目符号表示加法a+b=(x1+x2,y1+y2)减法a-b=(x1-x2,y1-y2)2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.例如,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果a=xi+yj,那么向量a的坐标为(x,y),即a=(x,y).(×)提示:i,j不一定是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量.(2)向量的坐标与向量终点的坐标一致.(×)提示:向量的起点为原点时,向量的坐标与向量终点的坐标一致;否则不一致.(3)平面上一个向量对应平面上唯一的坐标.(√)(4)设i=(1,0),j=(0,1),向量a=2i-3j,则向量a的坐标为(2,-3).(√)类型一平面向量的坐标表示(直观想象)【典例1】(1)(教材提升·例3)如图所示,e1,e2为单位正交基底,则向量a,A.(3,4),(2,-2) B.(2,3),(-2,-3)C.(2,3),(2,-2) D.(3,4),(-2,-3)【解析】选C.根据平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2,所以a=(2,3),b=(2,-2).(2)在直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.【解析】设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则a1=|a|cos45°=2×22=2,a2=|a|sin45°=2×22=b1=|b|cos120°=3×(-12)=-3b2=|b|sin120°=3×32=3c1=|c|cos(-30°)=4×32=23c2=|c|sin(-30°)=4×(-12因此a=(2,2),b=(-32,332),c=(2【总结升华】求向量坐标的方法(1)定义法:根据平面向量坐标的定义得a=xi+yj=(x,y),其中i,j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量.(2)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.(3)求差法:先求出这个向量的起点、终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标.提醒:向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.【即学即练】1.已知O为坐标原点,点A在第二象限,||=2,∠xOA=120°,则向量的坐标为________.

【解析】由∠xOA=120°可得∠yOA=30°,由于||=2,所以A(-1,3),故=(-1,3).答案:(-1,3)2.如果将=(32,12),绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是()A.(-12,32) B.(32,-12) C.(-1,3) D.(-【解析】选D.向量与x轴正向夹角的正切值tanα=33,则α=30°.绕原点O逆时针旋转120°得到,OB与x轴正向夹角为120°+30°=150°,可见OB与OA相对y轴对称.因此B点的坐标为(-32,12).类型二平面向量加、减运算的坐标表示(数学运算)【典例2】(1)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,则a+b与a-b的坐标分别为__________,__________.

【解析】因为i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,所以a=3i+4j=(3,4),b=-i+j=(-1,1),所以a+b=(2,5),a-b=(4,3).答案:(2,5)(4,3)(2)已知2024个向量的和为零向量,且其中一个向量的坐标为(8,15),则其余2023个向量的和的坐标为__________.

【解析】设其余2023个向量的和的坐标为(x,y),则(x,y)+(8,15)=(0,0),解得(x,y)=(-8,-15),所以其余2023个向量的和的坐标为(-8,-15).答案:(-8,-15)【总结升华】平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.【即学即练】1.已知=(2,-1),=(-4,1),求的坐标.【解析】=-=(-4,1)-(2,-1)=(-6,2).2.在▱ABCD中,AC为一条对角线.若=(2,4),=(1,3),求的坐标.【解析】因为=(1,3),=(2,4),所以==-=(-1,-1),所以=-=(-3,-5).类型三平面向量坐标运算的应用(逻辑推理、数学运算)角度1求参数的值(范围)【典例3】已知点A(λ,3),B(5,2λ)(λ∈R),C(4,5).若=+,试求λ为何值时,(1)点P在第一、三象限角平分线上;(2)点P在第一象限内.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则=(x,y)-(λ,3)=(x-λ,y-3),又因为=(5,2λ)-(λ,3)=(5-λ,2λ-3),=(4,5)-(λ,3)=(4-λ,2),所以=+=(5-λ,2λ-3)+(4-λ,2)=(9-2λ,2λ-1),所以x-λ若P在第一、三象限角平分线上,则9-λ=2λ+2,解得λ=73(2)由(1)知,x若P在第一象限内,则9所以-1<λ<9.【总结升华】向量坐标运算中求参数值(范围)的步骤(1)表示出向量或者点的坐标;(2)利用点或者坐标的性质构造方程或者不等式.【即学即练】(2023·苏州高一检测)已知向量=(m,5),=(4,n),=(7,6),则m+n的值为()A.6 B.8 C.10 D.12【解析】选B.因为=(m,5),=(4,n),则=(7,6)=-=(4-m,n-5),所以4-m=7n-5=6,即m=-3,n角度2求点的坐标【典例4】(易错·对对碰)(1)已知▱ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求顶点D的坐标.(2)已知一个平行四边形的三个顶点坐标为A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求此平行四边形顶点D的坐标.【解析】(1)设点D的坐标为(x,y),因为=,所以(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y),所以1-x所以顶点D的坐标为(0,-1).(2)设点D的坐标为(x,y),当平行四边形为ABCD时,=,所以(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(