中职高考数学一轮复习讲练测7.1 平面向量的概念及线性运算（讲）（原卷版）

7.1平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的(或称模).eq\o(AB,\s\up6(→))的模记作eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))．(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的．(3)单位向量：长度等于的向量叫做单位向量.eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))是一个与a同向的．－eq\f(a,|a|)是一个与a的单位向量．(4)平行向量：方向或的向量叫做平行向量．平行向量又叫，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量．(5)相等向量：长度且方向的向量叫做相等向量．(6)相反向量：长度且方向的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用表示；用表示；用表示．2．向量的加法和减法(1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为以第二个向量b的终点B为的向量eq\o(OB,\s\up6(→))就是a与b的(如图1)．推广：eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An-1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).图1图2②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的就是a与b的和(如图2)．在图2中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a＋b＝(交换律)；(a＋b)＋c＝(结合律)；a＋0＝＝a.(2)向量的减法已知向量a，b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：①eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λa))＝；②当λ>0时，λa与a的方向；当λ<0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝.(2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝；②(λ＋μ)a＝；③λ(a＋b)＝.4．两个向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得．考点一向量的基本概念【例题】（1）下列说法正确的是（

）A．单位向量均相等 B．单位向量C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则（2）若，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（

）A．B．C． D．（3）下面命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则（4）数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（

）A．0 B．1 C．2 D．3（5）下列命题中正确的是（

）A．若、都是单位向量，则＝B．若=，则A、B、C、D四点构成平行四边形C．若∥，且∥，则∥D．与是两平行向量【变式】（1）下列说法正确的是（

）A．若向量与共线且与不为零向量，则存在实数，使得B．零向量是没有方向的向量C．任意两个单位向量的方向相同D．同向的两个向量可以比较大小（2）如图，四边形中，，则相等的向量是（

）A．与 B．与 C．与 D．与（3）下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量C．相等向量的起点必定相同 D．若，，则（4）已知向量，且，则向量的方向（

）A．与向量的方向相同 B．与向量的方向相反C．与向量的方向相同 D．不确定（5）在平行四边形ABCD中，，则必有（

）A．四边形ABCD是矩形 B．＝或＝C．＝ D．四边形ABCD是正方形考点二向量的线性运算【例题】（1）在四边形中，若，则（

）A．四边形是矩形 B．四边形是菱形C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形（2）如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．（3）的化简结果为（

）A． B． C． D．（4）在矩形中，，则向量的长度等于（

）A．4 B． C．3 D．2（5）已知，若M、P、Q三点共线，则（

）A．1 B．2 C．4 D．－1（6）若点是线段上靠近的三等分点，则___________.【变式】（1）四边形ABCD满足＝，且||＝||，则四边形是(填四边形的形状).（2）在中，为的中点，则（

）A． B． C． D．（3）向量（

）A． B． C． D．（4）正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么（

）A．B．C．D．（5）设向量，不平行，向量与平行，则实数（

）A． B． C．2 D．﹣2（6）已知向量，不共线，且平面向量，，若，则.【方法总结】1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：(1)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记“起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b