浙江省金华十校高二上学期期末联考数学试题

金华十校2024—2025学年第一学期期末调研考试高二数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上．2．选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直线的斜率，即得直线的倾斜角.【详解】由，可得直线的斜率为，故直线的倾斜角为.故选：B.2.已知向量，若，则（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求得，再应用向量模长的坐标计算求模长.【详解】由题设，可得，即，所以.故选：C3.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由椭圆方程及焦点所在的位置列不等式求参数范围即可.【详解】由题意，，可得.故选：B4.在等比数列中，，则公比（）A. B. C.3 D.13【答案】C【解析】【分析】由等比数列的项之间的关系得到关于公比的等式，求出.【详解】，∴，故选：C.5.点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【详解】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有，由圆的几何性质可得，又由，所以当时，取得最小值．故选：C.6.已知，则（）A. B. C.1 D.0【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义可得，求得得解.【详解】由，可得，即，又，则，所以.故选：D.7.已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的离心率范围为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得双曲线的渐近线与右顶点，再利用由渐近线的性质得到，从而利用齐次式法求得双曲线的离心率范围，由此得解.【详解】因为的渐近线为，右顶点为，显然直线过双曲线的右顶点，且斜率为，所以由渐近线的性质可得，所以双曲线的离心率为，又，所以，故选：A8.在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合图形，表示出相关向量，再利用四点共面时空间向量的基本定理列方程组求解即可.【详解】由题意可得，因为所以，且，，所以，因为，所以，，所以，因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有，，所以，所以，解得，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用空间向量的基本定理得到下列方程.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知正方体的棱长为1，N为的中点，以下结论正确的是（）A. B.C.平面 D.【答案】AD【解析】【分析】对A，根据空间向量的线性运算求解判断；对B，求出的坐标，利用向量模长公式求解判断；对C，求出向量的坐标，利用向量运算判断和不垂直，得解；对D，求出向量的坐标，利用数量积坐标公式求解判断.【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，对于A，，故A正确；对于B，，，故B错误；对于C，，，由，则和不垂直，所以不垂直平面，故C错误；对于D，，，则，故D正确.故选：AD.10.已知等差数列的前n项和为，各项为正的等比数列的前n项和为，以下结论正确的是（）A.数列为等比数列 B.数列为等比数列C.若为递增数列，则存在最小值 D.存在，使得数列为等差数列【答案】ACD【解析】【分析】由等差数列和等比数列的定义设出，由定义判断A选项；取特殊数列，计算出再由等比数列定义判断B选项，由等差数列的前和的性质判断C选项；由等差数列前项和公式求出，取特殊数列，由等差数列的定义判断D选项.【详解】设等差数列首项为，公差为，∴，，设等比数列首项为，公比为，∴，A选项：数列，即，所以数列为等比数列，A选项正确；B选项：当时，，此时不是常数，∴数列不是等比数列，B选项错误；C选项：若为递增数列，即，则当时，，此时存在最小值；当时，则数列一定存在，使得，此时存在最小值.故C选项正确；D选项：，当时，，此时数列的通项公式，令，则，∴存在，使得数列为等差数列，D选项正确.故选：ACD.11.在平面直角坐标系中，动点P到坐标原点的距离的立方与该点到两坐标轴的距离乘积相等，记点P的轨迹为曲线C，以下结论正确的是（）A.曲线C成中心对称 B.曲线C有且只有两条对称轴C.曲线C围成的区域面积不超过 D.点P到y轴的距离小于【答案】ACD【解析】【分析】由已知得到曲线方程，将代入可得A正确；将代入并结合关于原点对称可得B错误；引入极坐标系，考虑第一象限曲线方程变，可得C正确；引入极坐标系，换元求导分析单调性最值，可得D正确.【详解】设点，由题意可得，即，对于A，将代入上式，可得，即，所以曲线C成中心对称，故A正确；对于B，将代入，可得，即，所以轴为其对称轴，又曲线C成中心对称，所以与也为其对称轴，所以曲线最少有三个对称轴，故B错误；对于C，引入极坐标系，，考虑第一象限曲线方程变为，即，所以曲线C围成的区域面积在半径不超过的圆内，面积为，故C正确；，所以曲线C围成的区域面积不超过，故C正确；对于D，引入极坐标系，，考虑第一象限曲线方程变为，即，所以点P到y轴的距离为，令，所以，所以，令，所以当时，，为递增函数；当时，，为递减函数；所以，故D正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是能引入极坐标系，结合三角函数求出面积；D选项关键引入极坐标系利用导数分析.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知抛物线的准线方程为，则_________【答案】2【解析】【分析】由抛物线的准线方程可直接求解.【详解】由抛物线，得准线方程为，由题意，，得．故答案为：2．13.已知数列满足，且，该数列前20项和________．【答案】1078【解析】【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列的.【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，，∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列，∴，∴.故答案为：1078.14.已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为________．【答案】【解析】【分析】求得平面的一个法向量为，再根据和向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由，设平面的法向量为，则，取，可得，即，点P到平面ABC的距离等于，所以，即得，且，所以，所以，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．15.已知点和圆．（1）过点作直线AC的平行线l，求直线l的方程；（2）过点A的直线与圆C交于P，Q两点，若，求直线PQ的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据已知及斜率两点式可得，结合及点斜式写出直线方程；（2）由题设圆心C到直线PQ的距离为1，讨论斜率的存在性求出对应直线PQ的方程.【小问1详解】圆，圆心，故，又，则，即直线方程为；【小问2详解】∵，所以圆心C到直线PQ的距离为，当斜率存在时，设直线PQ的方程为，则，∴，直线方程为，当斜率不存在时，，圆心到直线的距离为1显然成立，综上，符合条件的直线PQ方程为或.16.已知函数（1）若，求；（2）若，函数在处的切线方程为，求的值；（3）若，求曲线与曲线的共同的切线方程．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）对函数求导，代入自变量求值即可；（2）对函数求导，根据导数的几何意义可得，并写出切线方程，结合已知得，即可得结果；（3）导数的几何意义求切线方程，再由直线与圆相切及点线距离公式求公切点横坐标，即可得切线方程.小问1详解】由题设，则，所以；【小问2详解】由，则，故，所以切线方程为，结合已知得，∴；【小问3详解】若，则，则在处的切线方程为，又与圆相切，则，则，所以公切线方程为.17.如图，把矩形纸片ABCD沿BM折成直二面角，其中，M为AD的中点．（1）若点Q为线段的中点，求证：∥平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）借助平行四边形性质，结合线面平行的判定即可解题；（2）方法一，借助辅助线找出线面角，结合三角函数知识解题；方法二，建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和平面法向量，结合向量夹角余弦值公式计算即可.【小问1详解】证明：取的中点记为点E，由于矩形ABCD中，，且点Q为线段的中点，则，则四边形EMDQ为平行四边形，则，∵平面平面，∴平面【小问2详解】方法一：取BC中点N，连AN交BM于点O，连CM，则四边形ABNM为正方形，且，∴，则二面角的平面角为，∴平面ABCD，又平面ABCD，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴平面，则为直线与平面所成线面角，又，∴．则直线与平面所成线面角的正弦值为，方法二：取BC中点N，连AN交BM于点O，则四边形ABNM为正方形，且，∴，则二面角的平面角为，∴平面ABCD，以O为坐标原点，以OB，ON，所在直线为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系则，则，设平面的法向量，则，令，则，且，则，则直线与平面所成线面角的正弦值为.18.已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点分别为，下上顶点分别为．（1）若为直角三角形，的面积为，求椭圆方程．（2）过右焦点的直线交椭圆C于P，Q两点（P，Q分别在第一、四象限），连接并延长交椭圆C于点N；①若，求椭圆的离心率e．②在（1）条件下，求四边形面积的取值范围．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根据题意，列出的方程求解；（2）①设，根据椭圆定义结合可得，又由，运算求得答案；②设直线为与椭圆方程联立，可得，由点P，Q分别在第一、四象限可得，求得，四边形面积为，可得，换元令，利用函数单调性求得答案.【小问1详解】由于为直角三角形，且的面积为，则，所以椭圆方程为.【小问2详解】①如图，设，则，由于，则，则，所以，则，又，得到，解得.②设直线为或（舍去），设点，将直线与椭圆方程联立，，可得，则，记四边形面积为，又因为点P，Q分别在第一、四象限，则，即，解得，则，令，则，由于，则当，S单调递减，∴.【点睛】关键点点睛：本题第二问的②解题的关键是将四边形面积表示为，可得，并根据条件求得，利用函数单调性求解.19.有穷数列的项数为，若满足对任意都有，称为数列的过渡值．（1）若求数列的所有过渡值；（2）已知，若数列存在过渡值，求的取值范围；（3）若对任意，都有，且数列的过渡值有t个，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由通项公式写出所有项，根据过渡值的定义求出所有过渡值；（2）根据题设，使且，有，在，且