2024-2025学年宁夏回族自治区石嘴山市高一上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年宁夏回族自治区石嘴山市高一上学期第一次月考数学检测试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分，共2页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线与平行，则（）A. B.0 C.1 D.22.已知点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.3.圆关于点对称圆的标准方程为（）A. B.C. D.4.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（）A.m<1 B.m>1C.m< D.<m<15.过点的直线的斜率为，则（）A.10 B. C. D.1806.已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（）A. B.C.或 D.或7.已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（）A.13 B.11 C.9 D.88.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ΔABC的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项中，正确的有（）A.直线和的交点坐标为B.直线和的交点坐标为C.直线和没有交点D.直线和两两相交10.如图，直线，，斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.11.下列结论正确的是（）A.已知点Px,y在圆：上，则的最大值是B.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为C.已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相交D.若圆：x−42+y−42=r2r>0)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为________13.直线关于直线对称的直线方程是______.14.已知实数满足，，，则的最大值为___________.四、解答题:本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆，直线l过点．（1）若直线l斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长；（2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程．16已知圆过点，圆.（1）求圆的方程；（2）判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长.17.如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．（1）求该圆弧所在圆方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）18.已知一条动直线，（1）求直线恒过的定点的坐标；（2）若直线不经过第二象限，求m的取值范围；（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.19.已知圆和点，直线．（1）点A在圆Q上运动，且A为线段的中点，求点N的轨迹曲线T的方程；（2）点P是直线l上的动点，过P作（1）中曲线T的两条切线、，切点为B，C，求直线所过定点D的坐标；（3）设E为（1）中曲线T上任意一点，过点E向圆Q引一条切线，切点为F．试探究：x轴上是否存在定点G（异于点Q），使得为定值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．2024-2025学年宁夏回族自治区石嘴山市高一上学期第一次月考数学检测试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分，共2页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线与平行，则（）A. B.0 C.1 D.2【正确答案】D【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解.【详解】直线与平行，且的斜率为2，它们在轴上的截距不相等，且直线的斜率也为2，即.故选：D2.已知点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据两点间斜率公式求解即可；【详解】解析：，又因为所以，故选：B.3.圆关于点对称的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程.【详解】由题意可得圆的标准方程为，所以圆心为，半径为，因为点关于点的对称点为，所以所求对称圆的标准方程为，故选：D4.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（）A.m<1 B.m>1C.m< D.<m<1【正确答案】A【分析】根据二元二次曲线表示圆，化标准形式即可求解.【详解】方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，标准形式，表示圆的条件是，解得．故选：A5.过点的直线的斜率为，则（）A.10 B. C. D.180【正确答案】B【分析】由斜率公式求得，再根据两点之间距离公式计算即可．【详解】由题意得，，解得，所以，所以，故选：B．6.已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（）A. B.C.或 D.或【正确答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围.【详解】因为斜率，且，其中时直线无斜率，当时，得；当时，得；故选：C.7.已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（）A.13 B.11 C.9 D.8【正确答案】D【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1，可知，所以，故求的最小值，转化为求的最小值，设关于直线的对称点为，设坐标为，则，解得，故，因为，可得，当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.8.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ΔABC的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为A. B. C. D.【正确答案】A【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0①AB的中点为（1，2），AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8

②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项中，正确的有（）A.直线和的交点坐标为B.直线和的交点坐标为C.直线和没有交点D.直线和两两相交【正确答案】BCD【分析】将直线方程化为斜截式，即可判断A和C；联立方程组求解即可判断B；将三条直线化为斜截式，得出斜率，即可判断三条直线的位置关系．【详解】对于A，直线，，两直线重合，故有无数个交点，故A错误；对于B，联立方程组，解得，所以与的交点坐标为，故B正确；对于C，直线，，两直线斜率相等且不重合，故与平行，所以没有交点，故C正确；对于D，直线，，可知直线的斜率分别为，斜率都不相等，故三条直线两两相交，故D正确；故选：BCD．10.如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】AD【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.【详解】由图可得，，故A、D正确.故选：AD.11.下列结论正确的是（）A.已知点Px,y在圆：上，则的最大值是B.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为C.已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相交D.若圆：上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是【正确答案】ACD【分析】根据三角换元可得，，由此可得，再求其最值，判断A；由直线方程可得直线过定点，结合图象，根据斜率与倾斜角关系可求的范围，判断B；由点与圆的位置关系可得，求的圆心到直线的距离，比较其与半径的大小，判断C；求到点距离为的点的轨迹方程，由条件可得改曲线与圆相交，列不等式求的范围，判断D.【详解】对于A，因为点Px,y在圆：上，故可设，，，所以，所以，即点的坐标为时，取最大值，最大值是，A正确；对于B，方程可化为，所以直线过定点，直线的斜率为，因为直线和以，为端点的线段相交，所以或，其中，，所以实数的取值范围为，B错误；对于C：因为是圆外一点，所以，圆的圆心坐标为，半径为，所以圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，C正确；到点的距离为的点的轨迹方程为，因为圆上恰有两点到点的距离为，所以圆与圆相交，又，所以，又，所以，故的取值范围是，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为________【正确答案】和【分析】根据斜率是否为0，分两种情况，结合直线截距式方程即可求解.【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意，当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为，将代入得，解得，故直线方程为，故和13.直线关于直线对称的直线方程是______.【正确答案】【分析】先求得两直线交点坐标，再求得直线上一点，关于直线的对称点为，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为，由方程，令，可得，即直线过点，设点关于直线的对称点为，则满足，解得，即，所以，所以对称直线的方程为，即.故答案为.14.已知实数满足，，，则的最大值为___________.【正确答案】【分析】设，为坐标原点，则，由题意两点在圆上，且三角形为等边三角形，，由的几何意义为两点到直线的距离与之和，记线段的中点分别是，到直线的距离为，根据，且即可得答案.【详解】解：设，为坐标原点，则，由，可得两点在圆上，且，则，所以三角形为等边三角形，，的几何意义为两点到直线的距离与之和，记线段的中点分别是，到直线的距离为，则有，且，所以，所以的最大值为，故答案为.四、解答题:本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知圆，直线l过点．（1）若直线l的斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长；（2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程．【正确答案】（1）（2）或.【分析】（1）由点斜式得方程并化简，直接由圆心到直线的距离结合弦长公式即可求解.（2）分直线斜率是否存在进行讨论，结合直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解.【小问1详解】由题意直线l的斜率为，过点，所以它的方程为，即，圆的圆心坐标、半径分别为，圆心0,1到直线的距离为，所以直线l被圆C所截得的弦长为.【小问2详解】若直线l的斜率不存在，此时它的方程为，圆心0,1到的距离为,即直线l与圆C相切，满足题意；若直线l的斜率存在，此时设它的方程为，若直线l与圆C相切，则圆心0,1到的距离为，解得，所以此时l的方程为，即；综上所述，满足题意的l的方程为或.16.已知圆过点，圆.（1）求圆的方程；（2）判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长.【正确答案】（1）（2）和圆相交，理由见解析，【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解；（2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长.【小问1详解】设圆的一般方程为：，把已知点代入得：，所以圆的方程为：【小问2详解】由（1）得圆的标准方程为.∴，，，∵所以圆和圆相交，设交点为A，B，直线AB方程为即：，所以到直线AB的距离所以.两圆公共弦的长.17.如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．（1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）【正确答案】（1）（2）4辆【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可圆弧所在圆的方程；（2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量.【小问1详解】由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，设该圆的半径为r米，则，解得，故该圆弧所在圆的方程为．【小问2详解】设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则，解得．若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．18.已知一条动直线，（1）求直线恒过的定点的坐标；（2）若直线不经过第二象限，求m的取值范围；（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）（3）或【分析】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可；（2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可.（3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可.【小问1详解】由题意，整理得，所以不管取何值时，直线恒过定点的坐标满足方程组，解得，即【小问2详解】由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时，此时直线是，显然满足题意；当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时，则纵截距小于或等于零