《数字滤波器设计的理论基础》8100字

数字滤波器设计的理论基础综述目录TOC\o"1-2"\h\u22950数字滤波器设计的理论基础综述 129001.1IIR数字滤波器基本理论 160681.2IIR数字滤波器的幅频特性与相频特性 227273如果T=1，则HejωT可以表示为 3137271.3IIR数字滤波器的设计方法 3182581.4IIR数字滤波器的实现结构 4164571.4.1直接型 4303051.4.2级联型 6121791.4.3并联型 7302731.5IIR数字滤波器间接法中模拟滤波器设计所需的滤波器模型 8320911.5.1巴特沃斯滤波器 92051.5.2切比雪夫Ⅰ型滤波器 10280671.5.3切比雪夫Ⅱ型滤波器 11156951.5.4椭圆滤波器 12227051.6基于四种模拟滤波器模型设计IIR滤波器的变换方法 13165241.6.1脉冲响应不变法 1339411.6.2双线性变换法 15128801.6.3匹配Z变换法 161.1IIR数字滤波器基本理论根据数字信号处理理论，滤波器的系统函数是关于Z的有理函数，所以可以写成如下形式：Hz其中未知数z是Z变换的变量z，分子分母的权重全为实数。设IIR数字滤波器的以X(z)为采样信号,Y(z)为输出信号,有：Yz=X再假设滤波器的采样周期为T，对2-2式进行z逆变换可以得到：ykT=−式2-3中，当k<0时令x(kT)=y(kT)=0。对采样周期进行标准化（即令T=1），则在t=kT处，将X(kT)、Y(kT)相应地表示成x(t)、y(t)。所以式2-3可以改写成：yt通常情况下，采样周期一般是不确定的，所以我们总是采用公式2-4，反之，则采用2-3。在时域中，可以改写为：z−1对式2-4进行化简，得：yt分析公式2-1，如果令分母的多项式其中一个（或以上）的系数不为0，则称这种存在分母多项式系数不为零的滤波器为递归型滤波器。以递归型滤波器为主的数字滤波器，它的系统结构中一定含有反馈回路，优点在于运算速度很快。如果分母多项式的所有系数都是0，那么数字滤波器的系统中便不存在反馈回路，我们称这种相应的滤波器为非递归滤波器。总结下来，系统内部无反馈回路决定了非递归滤波器的系统总是稳定的，因为它的极点总是处于零点处。由于数字滤波器一般采用线性时不变系统，故可以利用有限精度的算法来实现。在实际的设计中，工程师总是在频域中通过幅频响应和相频响应特性来确定它们的各种设计指标。最后，根据滤波器脉冲响应的长度不同，将其分为两类：一、无限长单位脉冲响应数字滤波器（FIR）；二、有限长单位脉冲响应数字滤波器(IIR)。IIR滤波器的选择性比FIR滤波器要更好，这是因为IIR滤波器的系统函数的极点可以出现在单位圆内的任意位置。因此IIR滤波器所占用的存储单元少，大大降低了资源的消耗，提高了效率。但是IIR滤波器的高效率却是建立在非线性的基础上。如果一个滤波器的选择性越好，那么它的相位非线性就越严重。在这方面，FIR滤波器虽然选择性很差，但它却拥有理想的线性相位。因此IIR滤波器多应用于相位要求不严格的情况下。因为IIR滤波器需要的阶数更少，需要的内存更少，计算过程简洁明了。1.2IIR数字滤波器的幅频特性与相频特性令输入信号的采样周期为T，z=jωT,则H(z)可改写成：HejωT其中HejωT代表IIR数字滤波器的幅频响应特性，∠此外，He如果T=1，则HejωT可以表示为He由于ejω是周期为2π的函数，则由函数的周期性，可以只在0≤ω≤2π或综上所述，对于IIR数字滤波器，在讨论它的特性时只需考虑0≤ω对于幅频特性，它在0~π内分为通带，过渡带和阻带三个区间，通带是指信号中通过滤波器后基本保持无衰减的频率范围，阻带是指输入信号中被滤波器滤除的无用频率范围。因为在实际中系统实现条件有限制，所以在通带到阻带中有一个过渡带。过渡带的幅频特性应该尽量平滑地从通带下降到阻带。这个区域也被称为过渡区。对于相频特性，因为是通过降低阶数来提高效率的，使得IIR数字滤波器的相位非线性比FIR更加严重。虽然通过FIR滤波器我们可以轻易获得理想的线性相位，但是IIR数字滤波器也可以通过相位均衡器等方法获得接近线性的相位。因此在实际设计过程中，为了获得低阶数下的高效率，仍可采用IIR数字滤波器。但是对滤波器的相位线性要求严格或者高阶滤波器的设计，还是采取FIR滤波器更为科学。1.3IIR数字滤波器的设计方法目前，主流的IIR设计方法分为两种：直接设计法以及间接设计法[6]。直接设计法是直接在时域或频域中设计滤波器。这种设计方法的核心在于先确定最优准则，比如最小均方误差准则或绝对误差准则等；其次便是基于最优准则计算出使系统误差最小的滤波器系统函数。间接设计法是借助模拟滤波器的设计方法进行设计的。第一步确定是确定IIR滤波器的性能指标；第二步是将数字滤波器相应的设计指标转换为模拟滤波器指标；第三步由模拟滤波器设计方法设计出所采用的的四种原型模拟滤波器之一；第四步通过模数转换方法得到需要的IIR滤波器。如今模拟滤波器的设计方法已较为成熟，而且借助MATLAB的FDATool工具箱，我们可以简便快速的设计IIR滤波器并且对设计好的滤波器性能进行仿真检验。所以本文主要研究间接设计法设计IIR数字滤波器。设计数字滤波器一般分三步：基于实际产品的设计要求，按照一定的规则将给出的数字滤波器指标转换成模拟滤波器的指标；确定一个因果稳定的离散型线性时不变系统，用其系统函数去近似设计所需的理想滤波器性能指标。根据实际要求即可以选择IIR系统函数也可以选择FIR系统函数。数字滤波器的实现，主要工作还包括：选择合适的实现结构，确定运算和系数存储所需的字长，选用合适的通用计算机及相应的软件或专用的硬件平台实现这一系统。1.4IIR数字滤波器的实现结构由于IIR数字滤波器的传输函数可以表示为：H根据滤波器传输函数表达式的不同形式，我们可以得出以下三种不同的实现结构[6]：直接型，级联型和并联型。1.4.1直接型直接型又可分为直接Ⅰ型和直接Ⅱ型。由于数字信号处理系统本质上是离散时间系统，所以既可用差分方程来描述，也可用系统函数来表述，即yn或：Hz对于直接Ⅰ型来说，y[n]是两部分表达式的求和并相加：第一部分的和i=0Mb综上所述，这组成了一个反馈网络。下图1.1给出了当M=N时的结构框图：图2-1直接Ⅰ型结构框图对于直接Ⅱ型，我们可以将式2-8改写为以下形式（当M=N时）：Hz再令：H1z=Y(z)可得：Yz=改写为时域表示方法，则分别为：yn=通过上述推导，可以画出不同于图1.1所示系统的另一种形式的直接型结构框图，如图1.2所示，这种结构也被称作直接Ⅱ型。当M≠N，对于直接Ⅱ型结构，一个N阶滤波器最少需要max(M,N)个延时单元。由于是从M,N中取最大值作为设计滤波器所需的延时单元，故比直接Ⅰ型所需的延时单元要少，同时也是所有实现结构中所需延时器最少的一种结构。我们称这样具有最少延时器数目的系统结构为规范性结构。但直接Ⅱ型结构中的加法器和乘法器的数目与直接Ⅰ型相同，而且直接Ⅱ型结构中仍然存在反馈单元。图2-2直接Ⅱ型结构框图1.4.2级联型将式2-9的分子，分母分别进行因式分解，改写成零极点因子表达的形式：Hz=式中，A是常数。由于系统函数H(z)的系数ai和bi都是实数，故零点ciHz式2-12中，M=M1+2M2，N=N1+2N2，gi为实零点，pi为实极点，Hz由式子2-13我们发现：任意的高阶系统均可以由一阶或者二阶系统级联构成。此时假设实数的零点和极点已经成对组合出现，并把单实根因子看成是二阶因子的特例，即二次项系数α2i，Hz式中，L>=(N+1)/2,且为最小整数；Hiz=图2-3级联型的二阶基本节图2-4级联型结构级联型的优势在于它的每一个基本节都只和滤波器的一对零点、极点有关，所以对系数β1i，同理，调整系数α1i，所以这种结构非常利于准确的表达滤波器的零极点，也十分方便调整滤波器的频响特性。注意，H(z)的前后级的级联顺序是可以变换的，而且零极点因子的搭配也可以任意组合，因此一个系统的级联结构并不唯一。在实际中，考虑到量化效应，不同组合、不同次序的级联型结构产生的量化误差是不同的，所以还存在最优化的问题。1.4.3并联型如果将2-9的式子进行部分分式展开，可以得到：Hz在式2-15中，N=N1+2N2，di∗是di的共轭复数，由于系统函数H(z)的系数ai和bi都是实数，所以gi，Ai，Bi，所以，当我们用式2-15来表示系统时，系统可解释为各个子系统的并联，也即是并联型结构。若M=N，我们可以将式2-15改写为：Hz每一个一阶或者二阶的子系统都可以由直接Ⅱ型结构实现，如下图所示，也可以将式2-16中的实根部分两两合并，形成二阶形式，构成二阶基本节，则系统就可全部由二阶形式并联而成。图2-5并联型结构图2-6并联型的二阶子系统并联结构的优点是效率高，运算速度快，而且也可以单独调整极点；缺点是不能控制零点。此外，并联型各个基本节的误差是相互独立，互不干扰的。1.5IIR数字滤波器间接法中模拟滤波器设计所需的滤波器模型由1.3节提到的间接设计法可知，完成IIR数字滤波器的设计第一步就是要设计好与之相匹配的原型模拟滤波器。而一个物理上可实现的实际滤波器，它的频响特性只能用逼近函数去近似理想滤波器的频响特性。因此设计原型模拟滤波器，其关键所在是要找到一种逼近函数来逼近理想滤波器的频响特性。根据所需要的逼近函数的不同，我们有以下四种滤波器模型的选择[9]。1.5.1巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器又被称作最大平坦滤波器，它的幅频特性表达式具有如下形式：|H巴特沃斯滤波器具有最大平坦特性，即滤波器的幅度响应在通带和阻带内呈最大限度平坦，没有波纹，且下降缓慢。由表达式所绘出的幅频特性曲线如图所示：图2-7巴特沃斯滤波器幅频响应图我们一般取Ω=Ωc的点，即|HajΩ|=1/所以巴特沃斯滤波器的频响特性实际是由其阶数n所决定。当n增大时滤波器的幅频特性曲线变得更陡峭。尽管由式2-17决定了在Ω=Ωc处的幅频特性总是1/2以上的特点决定了巴特沃斯滤波器的幅频特性更接近于理想的矩形频响特性（阶数越高越接近）。另一个特点就是其相频特性近似线性相位，线性特性良好。所以，巴特沃斯滤波器适用于高阶滤波器。1.5.2切比雪夫Ⅰ型滤波器由于巴特沃斯滤波器的幅频特性函数在通带和阻带内都是和频率有关的单调函数。所以，巴特沃斯滤波器的阶数一般很高。为了降低阶数，我们可以采取将精确度均匀地分布在整个通带或者阻带内，也可以同时分布在两者内的等波纹函数来设计。切比雪夫滤波器的幅频响应特性便满足这种等波纹特性。切比雪夫滤波器也分为两类，如果其幅频特性不仅在通带内是等波纹的，而且在阻带内是单调的全极点滤波器，便称为切比雪夫Ⅰ型滤波器。该滤波器的幅频特性为：Ha其中，ε是与通带波纹有关的参数，Ωp则是通带的边界频率，而TTn切比雪夫多项式可以用下式的递推方程产生：Tn+1其中T0x=1当|x|≤1时，Tn对所有n来说，Tn多项式Tnx的所有根都在区间-1注意，根据n的奇偶性的不同，切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频特性也会有所差别。下图给出了n=3和n=4时的切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频特性图n=3的幅频特性曲线n=4的幅频特性曲线图2-8切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频特性曲线1.5.3切比雪夫Ⅱ型滤波器第二类切比雪夫滤波器，即切比雪夫Ⅱ型滤波器，由其系统函数所得出的幅频特性如下：Ha根据式2-21可以画出切比雪夫Ⅱ型滤波器的幅频特性响应图。如下图所示：图2-9切比雪夫Ⅱ型滤波器的幅频特性曲线图由曲线图我们可以看出，与Ⅰ型滤波器不同，切比雪夫Ⅱ型滤波器的系统函数不是全极点函数，它既有极点又有零点而且是在阻带内等波纹。以n=4为例（四阶滤波器），其零极点图如下：图2-10切比雪夫Ⅱ型滤波器的零极点图由于切比雪夫Ⅰ型和Ⅱ型在设计过程中，有大量十分繁琐的计算公式，所以通常都是在MATLAB中直接调用信号处理工具箱中的函数进行计算。切比雪夫滤波器的优势在于阶数更少了，更接近理想滤波器的幅频特性曲线，缺点在于通频带内存在幅度波动，而且计算过程较为繁琐，实际设计中存在诸多不便。1.5.4椭圆滤波器如果滤波器的幅频特性在通带和阻带内都等波纹，那么所需要的阶数就是最少的，这样的滤波器被称为椭圆滤波器。对比前面提到的三种滤波器，椭圆滤波器在阶数相同的条件下有着最小的通带和阻带波动且在通带和阻带内波动相同。所以椭圆滤波器的幅频特性曲线最接近理想滤波器。椭圆滤波器是一种零点极点都存在的滤波器，它的滤波器阶数越大，则通带与阻带的起伏次数就越多。它的阶数等于滤波器幅频特性在通带(或阻带中)极大值个数与极小值个数之和。另外，椭圆滤波器的相位非线性失真最严重。其幅频特性为：Hj由上式2-22我们可以总结出椭圆滤波器的特点：椭圆滤波器是零极点共存的滤波器，因此在有限的频率约束下存在系统零点和极点。椭圆滤波器的通带和阻带都具有等波纹特性，因此它的幅频特性最接近理想滤波器，对于同样的性能需求，它所用的阶数最低，且它的过渡带比较窄。下图是椭圆滤波器的幅频特性曲线图：图2-11椭圆滤波器的幅频特性曲线图1.6基于四种模拟滤波器模型设计IIR滤波器的变换方法上节我们了解了四种用于设计IIR滤波器的模拟滤波器，接下来的问题在于如何将模拟滤波器转换为IIR数字滤波器。模数转换的原理，其核心就是把s平面映射到z平面，使得模拟滤波器的系统函数Ha(s)变换为数字滤波器的系统函数H(z)由信号与系统理论，映射关系必须满足两个基本要求：1、H(z)的频响特性与Ha(s)的频响特性高度近似，用数学语言表达就是s平面的虚轴必须映射到z平面的单位圆上。2、因果稳定的系统Ha(s)1.6.1脉冲响应不变法脉冲响应不变法是以滤波器的脉冲响应为基础，用一串数字滤波器的单位脉冲响应序列h[n]来近似模拟滤波器的单位冲击响应ℎa(t),使得h[n]正好等于ℎa脉冲响应不变法的变换原理为：假设Ha(s)和H(z)分别表示ℎa(t)的拉普拉斯变换和h[n]的z变换，Ha(jHe令z=ejΩTHz其中，H(z)=n=0∞z=e并用s=σ+jΩ来代替s，然后按照极坐标的形式将复变量z表示成z=rere因此，s平面上每一条宽为2πT的横带部分，都会重叠地映射到整个z平面上。而横带内s平面的左半部分，也就是jΩ轴左侧部分，会映射到z平面的单位圆内。横带内s平面的右半部分，也就是jΩ轴右侧部分，会映射到z