华东师大版九年级数学上全册教学设计

22.1.二次根式(1)

教学内容：二次根式的概念及其运用

教学目标：1、理解二次根式的概念，并利用右(a20)的意义解答具体题目.

2、提出问题，根据问题给上1概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键：1.重点：形如右(a>0)的式子叫做二次根式的概念；

2.难点与关键：利月“右(a20)”解决具体问题.

教学过程：一、回顾

当a是正数时，及表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.

当a是零时，&等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.

当a是负数时，JZ没有意义.

二、概括：&(a20)表示非负数a的算术平方根，也就是说，、后(a20)是一个非负数，它的平方

等于a.即有：(1)后20(a20)；(2)(Vtz)2=a(a>0).

形如(a20)的式子叫做二次根式.

注意：在二次根式右中，字母a必须满足a20,即被开方数必须是非负数.

三、例题讲解

例题：x是怎样的实数时，二次根式JT7有意义？

分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数.

解：被开方数x-120,即x21.

所以，当x21时，二次根式4^1有意义.

思考：行等于什么？

我们不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3,……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：

概括：当a20时，JU=a；当aVO时，/了=-a.

这是二次根式的又一重要性质.如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”

出来，从而达到化简的目的.例如：

\I4X2=J(2X)2=2X(X20)；y[x^=yj(x2)2=X2.

四、练习：X取什么实数时，下列各式有意义.

(।)J3-4.E：(2)J3x-2；(3)J(x-3)2；(4)J3x-4+j4-3x

五、拓展

例：当X是多少时，j2x+3+—L在实数范围内有意义?

A+1

分析：要使J2X+3+」一在实数范围内有意义,必须同时满足j2x+3中的20和」一中的x+iwo.

X+lX+1

[2x+3>0

解：依题意，得《

[x+1工（）

3

由①得：X》-一

2

由②得：xW-1

3_______1

当x2-2且xW-l时，V2X+3+——在实数范围内有意义.

2X+1

例：（1）已知y=VT7+V7”+5,求上的值.（答案:2）

y

⑵若疝万+^/^=T=0,求a?00^?004的值.（答案：2）

5

六、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：

I.形如右（a^0）的式子叫做二次根式，“J-”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

七、布置作.业：教材P4：1、2

八、反思及感想：

22.1二次根式(2)

教学内容：1.4a(a20)是一个非负数;2.(y/a)2=a(a^O).

教学目标：I、理解G(a>0)是非负数和(G)2=a(a20),并利用它们进行计算和化简.

2、通过复:习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出右(a20)是一个非负数，用具体数据结合算术平

方根的意义导出(G)2二a(a>0)：最后运用结论严谨解题.

教学重难点关键：1.重点：&(a20)是一个非负数；(6)2=a(a20)及其运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出右(a^O)是一个非负数；•用探究的方法导出(右)2f

(a20).

教学过程：一、复习引入(学生活动)口答

1.什么叫二次根式？

2.当a20时，&叫什么？当a<0时，右有意义吗？

二、探究新知

议一议：(学生分组讨论，提问解答)

\[a(a20)是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

&(a20)是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

(")2_；(y[2)2=；(邪)2_;(y/3)2_;

老师点评：①、a是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，

②、4是一个平方等于4的非负数，因此有(4)2=4.

同理可得：(叵)2=2,(5/9)2=9,(>/3)2=3,(.—)2=—,(.—)2=—,(A/O)2=0,所以：(\[a)2=

V33V22

a(a20)

三、例题讲解

例1计算：1.(、口)2,2.(36)2,3.(E)2,4.(―)2

V2V62

分析：我们可以直接利用(G)2=a(a>0)的结论解题.

解:L(JI)2=|

2.(3>/5)2=32•(逐)2=32•5=45，

4.(五

3・（卜外2-d2i.4

四、巩固练习

计算下列各式的值:

4

(5/18)2(5/0)2(4,()2(3疗)2—(56)

五、应用拓展

例2计算

1.(Jx+1)2(x20),2.(V?)2,3.(」片+2々+1)2,4.(V4x2-12x4-9)2

分析：(1)因为x20,所以x+l>0；

(2)a2>0；

(3)a2+2a+l=(a+1)20；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2・2x-3+32=(2x-3)2>0.

所以上面的4题都可以运用（右）2=a（a20）的重要结论解题.

解：(1)因为x20,所以x+l>0,•Vx+T)2=x+l

(2)Va2>0.C)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2,义,:(a+l)2^0,

/.a2+2a+lX),:.J/+2a+1=a?+2a+1

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2・2x・3+32=(2x-3)2,又「(2x-3)2>0

・・・4X2-12X+920,，(74x2-12x4-9)2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

六、归纳小结：本节课应掌握：

1.\[a(a30)是一个非负数：2.(\[a)2=a(a=?0);反之:a=(G)2(a^O).

七、布置作业:教材P4：3、4

八、反思及感想：

22.1二次根式(3)

教学内容J/=a(a2O)

教学目标：1、理解J/=a(a^O)并利用它进行计算和化简.

2、通过具体数据的解答，探究J/=a(a20),并利用这个结论解决具体问题.

教学重难点关键：1.重点：V7=a(a^O).

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a20时，册=a才成立.

教学过程：一、复习引入：(老师口述并板收上两节课的重要内容)

1.形如右(a20)的式子叫做二次根式；

2.&(a^O)是一个非负数；

3.(，?)2=a(a?=0).

那么，我们猜想当a20时，而=21是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知：(学生活动)填空：

V?=______；Vo.oi2=______；J

(io)2=-----!

肾=________：>=________：•炉一•

(老师点评)：根据算术平方根的意义,我们可以得到：

V?=2；Vo.oi2=0.01；J(--)2=—一舟二；后=0一国=>

V1010V33V77

因此，一般地：[V^~=a(a20)|

三、例题讲解：

例1化简：(1)>/9(：2)Ji)?(3)V25(4)J(-

分析：因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,

所以都可运用=a(a20)•去化简.

解：(1)如=居=3(2)[(-4*="=4

(3)后二行二5(4)J(-3>=疗=3

四、巩固练习:(见小黑板)

五、应用拓展

例2填空：当a20时，=_____；当a<0时，，了二—，•并艰据这一性质回答下列问题.

(1)若必=a,则a可以是什么数？(2)若以=-a,则a可以是什么数？

(3)J/>a,则a可以是什么数？

分析：•・•行=a(a20),・••要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()2”中的数

是正数，因为，当aWO时，x[a^=\](-a)2>那么-a2。.

(1)根据结论求条件：(2)根据第二个填空的分析，逆向思想：(3)根据(1)、(2)可知J/=|a|，而|a|

要大于a,只有什么时候才能保证呢？a<0.

解：(1)因为行=a,所以GO：(2)因为后二-a,所以aWO；

(3)因为当a20时=a,要使J^>a,即使a>a所以a不存在：当a<0时，\[a^=-a,要使即使-a>a,

a<0综上，a<0

例3当x>2,化简J(x—2)2・J(]_2x)2.

六、归纳小结：本课掌握：(a20)及运用，同时理解当a<()时，J/=-a的应用拓展.

七、布置作业:1.先化简再求值：当a=9时，求a+Jl-2a+-的值,甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+J(1—ci)?=a+(l-a)=1；乙的解答为：原式=a+-a)?=a+(a-1)=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.

2.若|1995-a|+7^-2000=a,求a-19952的值.(提示：注意根式有意义的隐含条件)

3.若-3WxW2时，试化简|x-2|+J(x+3『+&-1(比+25。

八、反思及感想：

22.2二次根式的乘除(1)

教学内容：\fa-yfb=\[ab(a2(),b20),反之\/茄二6•、历(a>0,b20)及其运用.

教学目标：1、理解G•扬=而(a20,b20),而=&-4b(a20,b20),并利用它们进行计算和化简

2、由具体数据，发现规律，导出6­4b=4^b(a》0,b^O)并运用它进行计算；•利用逆向思维，得

出寂=&-y/b(a>0,b20)并运用它进行解题和化简.

教学重难点关键

I重点：4a・\[h=y[ab(a20,b20),\/ab=\[a•\[h(a>0,b20)及它们的运用.

2、难点：发现规律，导出6•4b=y[ab(a20,b20).

3、关键：要讲清dab(a<O,b<O)=y/-cix-\[b,如J(—2)x(—3)=，—(—2)x—(—3)

或J(—2)x(—=x石.

教学过程：一、设疑自探一一解疑合探

自探.(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.填空：(1)〃义囱=,74^9=__；(2)V?6X725=_____,V16x25=.

(3)7100x736=,7100x36=.

参考上面的结果，用“>、<或="填空.

74X79____74^9,Mx后_____716x25,义底7100x36

2.利用计算器计算填空

(1)V2XV3_____瓜,(2)72X75______M，

⑶出X瓜______而，(4)______而,

⑸V7XV10屈.

(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.

老师点评：(I)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的

数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.

一般地，对二次根式的乘法规定为

•巫(a20,b20)

反过来：[=G•亚(a2(),b20)

合探1.计算：(1)&XJ7,(2)Jx的,(3)y/9XV27,⑷产X几

分析：直接利用&-4h=4^b（a^O,b20）计算即可.

合探2化简(I)79x16,(2)716x81,(3),81x100,(4)y)9x2y2,(5)南

分析：利用疝=&-y[h（a20,b^O）直接化简即可.

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下!

三、应用拓展：判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（I）&T）x（-9）=CXQ

X5/25=4XX725=4XV25=4y[{2=8\/3

四、巩固练习（1）计算（生练，师评）①Jidx次②3瓜X2V10

（2）化简：回；如；＞/24;庖；J12-

五、归纳小结（师生共同归纳）

本节课掌握：(1)\[a•=4cib=(a20,b20),>[ab=4a•\[b(a20,b20)及运用.

六、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

I.直角三角形两条直角边的长分别为厉cm和JIEcm,•那么此直角三角形斜边长是（）

A.3。2cmB.3v3cmC.9cmD.27cm

2.化简a的结果是().A.4^aB.4aC.-\TaD.-Ja

3.等式Jx+1・Jx-1=-1成立的条件是()

A.x》lB.x2-lC.-IWXWID.xel或xW-1

4.下列各等式成立的是().

A.4\6X2逐=8石；B.5A/3X4A/2=20A/5；C.473X3\/2=7>/5；D.50X40=20限

(二)、填空题：

I.VI014=.

2.自由落体的公式为S=；gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2）,若物体下落的高度为720m,则下落的时间是

（三）、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程.

同理可得：4得三号日

通过上述探究你能猜测出…后二一<a>0），并验证你的结论.

七、反思及感想：

22.2二次根式的乘除（2）

教学内容：受身心。，八反过来肾系心。,回）及利用它们进行计算和化简.

教学目标;1、理解，^二叵（a20,b>0）和叵=，7（a20,b>0）及利用它们进行运算.

2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它

们进行计算和化简.

教学重难点关键

1.重点：理解丑=叵（a20,b>0）,叵=①（a20,b>0）及用它们进行计算和化简.

4bVV4b

2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.

教学过程；一、设疑自探一一解疑合探

自探.（学生活动）请同学们完成下列各题：

1.填空（1）也'是二；氏=___:叵;_____；

V16736V36

(3)"='忌:：(4)>/36=

规律:7^_/36.

VsT-vs7

2.利用计算器计算填空:

(3)V2=___,(4)红=

(1)V3=,(2)>/2=

7/473星78

规律：正一回；叵一区;匹—叵;/Zo

74V473V3V5V578V8

每组推荐一名学生上台阐述运算结果.（老师点评），根据大家的练习和回答,

我们进行合探：

二次根式的除法规定：

一般地，对二次根式的除法规定：

坐■二、口（a20,b>0\

反过来—(a>0,b>0)

b〃

下面我们利用这个规定来计算和化简•些题目.

合探1.计算：（1）半⑷华

6

分析：上面4小题利用（a20,b>0）便可直接得出答案.

二、应用拓展

已知但三=且三，且X为偶数，求（1+X）g一5X+4的值.

Vx—6^/7^6Vx2-l

分析:式子和可只有a2。b>0时才能成立.

因此得到9-x20且x-6>（）,即6<xW9,又因为x为偶数，所以x=8.

三、归纳小结（师生共同归纳）

本节课要掌握%"自3。,2。）和店=够(a20,b>0)及其运用.

四、作业：（写在小黑板上）

（一）、选择题：

1.计算用+1+您的结果是（）.

A.26；B.2：C.V2D.石

777

2.阅读下列运算过程:1=6=正,2275275数学上将这种把分母的根号去掉的过程

飞―75x6一号x/545^455

称作“分母有理化”，那么，化简金2的结果是（）.

A.2B.6C.-V6D.几

3

（二）、填空题1.分母有理化:⑴1=;（2）_!_=;（3）Vio=.

3>/2V1224

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J五+的最后结果是

五、反思及感想:

22.2二次根式的乘除⑶

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.

教学目标：1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检险最后结果是否满足最简二

次根式的要求.

重难点关键：1.重点：最简二次根式的运用.

2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.

教学过程

一、设疑自探一一解疑合探

自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

计算（1）正，（2）3>/2,（3）

x/5x/27y/2a

老师点评：x/3=t372=N/6,_V8_=2V^

\/55V273y/2aa

自探2.观察上面计算题的最后结耒，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1.被开

方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.）

我便把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

合探I.把下面的二次根式化为最简二次根式：（1）3梧；Q）薪了；（3）

合探2.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6crn,

求AB的长.

峻J6.5(cm)

AB=>/2.52+62=+36=

V42

因此AB的长为6.5cm.

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最筒二次根式:

1_1x(72-1)=五-1二⑶

亚+1(V2+1)(72-1)-2-1'

I_lx（V3-V2）_^-V2_r-/-

及7T（G+向-扬一下丁'

同理可得：।二4-6……

>/4+>/3

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

（!+1+1+.]）（.2002+1）的值.

Ji+iV3+V26+GV2002+72001

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的.

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.

五、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1.如果有（y>°）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）.

A.3（y>0）B.后（y>0）C.工身（y>0）D.以上都不对

y[yy

2.把（a-l）/】中根号外的（a-l）移入根号内得（）.

A.Cl-1B."J\—ClC.--\D.-y/\-Cl

3.在下列各式中，化简正确的是（）

A.#=3而C.\Ja4b=a2\[bD.Vx3-x2=x\Jx-\

4.化简-的结果是()A.-V2；B.-_3_:C.-x/6；D.-41

x/273V33

(二)、填空题

I.化简Jd+fyZ=.(x20)

2.a"1化简二次根式号后的结果是

（三）、综合提局题

1.已知a为实数，化简：阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解

答过程：

解：\l-cr-a/_J_=a>f—a-a,J_yf—a=(a-l)A/工

a

2.若x、y为实数，且y="-4+J"%'+1,求y.Jx-y的值.

x+2”

六、反思及感想：

22.3二次根式的加减⑴

教学内容：二次根式的加减

教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法.

重难点关键：1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教学过程：

一、设疑自探一一解疑合探

自探(学生活动)：计算下列各式.

(1)2y/2+35/2：(2)2\/s-3+5；(3)y/l+2\/1+3J9x7；(4)3-\/3-2-\/3+

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2血与血表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以

的.(板书)3&+&=30+2后=5&和3&+a=3百+36=66

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并.

合探1.计算：(1)&+加(2)V16X+>/647

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式：第二步，将相同的最简二次根式进行合并.

合探2.计算

（1）3748-9^1+3V12（2）（＞/48+720）+（厄-石）

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下!

三、应用拓展

已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求巨)-(x2/T-5X叵）的值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0,

即x=g,y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最

后代入求值.

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：

（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式：（2）相同的最简二次根式进行合并.

五、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1.以下二次根式：①灰；②疔；③「；④J万中，与相是同类二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①36+3=6百；②,g=l；③0+#=&=20；④反=20,其中错误的有

7飞

（）.A.3个B.2个C.1个D.0个

（二）、填空题

1.在曲、三扇r|反、后、2m、3阮、・2般中，与宿是同类二次根式的有.

2.计算:一次根式5折-3〃・76+9扬的最后结果是

（三入综合提高题

1.已知逐-2.236,求（厢-旧）-（星+1后）的值.（结果精确到0.01）

2.先化简，再求值.

+灵）-（4x+[36xy）,其中x=3，y=27.

六、反思及感想:

22.3二次根式的加减⑵

教学内容：利用二次根式化简的数学思想解应用题.

教学目标：运用二次根式、化简解应用题.

重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.

教学过程：

一、设疑自探一一解疑合探

上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二

次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固.

自探1.如图所示的RtZ\ABC中，ZB=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/♦秒的速度向

点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后apEQ的面

积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x秒后APeQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,•根据三角形面积公式就

可以求出x的值.

解：设x后△PBQ的面积为35平方犀米.则有PB=x,BQ=2x

依题意，得：一x・2x=35X2=35X=>/35

2

所以后秒后APeQ的面积为35平方厘米.

PQ=y]PB2+BQ2=Vx2+4A2==75x35=5V7

答：735秒后APeQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5近厘米.

自探2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?

解：由勾股定理.得AR=JS+AD2="2+2?=而=2石

BC=dBEf+Clf=V22+l2=旧

所需钢材长度为AB+BC+AC+BD=2石+逐+5+2=36+7g3X2.24+7=13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.）

三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

四、应用拓展

若最简根式3“划4a+3勿宁根式1+&/是同类二次根式,求明b的值.

注：（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式五庐万不

是最简二次根式，因此把一「+6从化简成|b|-ha-b+6,才由同类二次根式的定义得3a-・b=・2,

2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2a根+61化为最简二次根式:

V2ab2-+6b2=y]h2（2a+6）=|b|•y/2a-b+6

由题意得[4a+3O=2a-Z?+6/.f+4Z?=6/.a=l,b=l

\3a—b=2[3a—b=2,

五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.

六、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为（）.

A.5>/2B.>/5OC.26D.以上都不对

2.小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉

上了一根木条，木条的长应为（）米.

A.BVIOOB.71300C.I0V13D.5氏

（二）、填空题

I.某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是l600m2,•鱼塘的宽是m.

2.已知等腰直角三角形的直角边的边长为近，•那么这个等腰直角三角形的周长是.

(三)、综合提高题

1.若最简二次根式2，3病一2与“44/一1()是同类二次根式,求m、n的值.

3

2.同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b?=(a±b)2,你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式,

那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方，如3=(石)2,

5=(6)2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：

(>/2-1)2=(yf2)2-2•1,^2+12=2-20+1=3-2^2

反之，3-2夜=2-2&+l=(V2-I)2：,3-2亚=(72-1)273-272=72-1

求：(1)\)3+2近；(2)"+26；(3)你会算,4—J/吗?

(4)若y]a±2亚土J~ii,则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由.

六、反思及感想：

22.3二次根式的加减(3)

教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；

乘法公式的应用.

教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应川.

2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.

重难点关键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

教学过程

一、设疑自探一一解疑合探

自探1.(学生活动)：请同学们完成下列各题：

1.计算：(1)(2x+y)・zx(2)(2x2y+3xyD4-xy

2.计算：(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有3)•单项式X单项式；(2)单项式X多项式；(3)

多项式+单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用.

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？­仍成立.

整式运算中的x、y、z是一-种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，

整式中的运算规律也适用于二次根式.

自探2.计算：(1)(指+人)XW(2)(4#-3&)+2&

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律.

自探3.计算：(1)(5/5+6)(3-75)(2)(V10+V7)(x/lO-V?)

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展：已知二二2二2-土士，其中a、b是实数，且a+bWO,

ab

化简—K+1—+1+,并求值.

VX-I-1+yJXVX4-1-yJX

分析：由于（（J7=T-五）=i,因此对代数式的化简，可先珞分母有理化,再通过解含有字母系

数的一元一次方程得到X的值，代入化简得结果即可.

原式二(Jx+1-4)2+(x/7+T+4)2

解:

(V-V+14-x/x)(Vx+T-A/X)(VX+1-'ZrXVx+l+\fx)

(Vx+1->/x)-+(Jx+1+>/x)~

=(x+1)+x-2"x(x+l)+x+2Jx(x+1)=4x+2

(x+l)-x(x+l)-x

■:----=2------h(x-h)=2ah-a(x-a)hx-h2=2ah-ax+a2

ab

:.(a+b)x=a2+2ab+b2(a+b)x=(a+b)2Va+b^O/.x=a+b

，原式=4x+2=4(a+b)+2

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.

五、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

I.（。24-3\[\5+2^2—）X>/2的值是（）.

A.±0V3-3>/30B.3而-2且C.2>/30-273D.丝,6而

3333

2.计算（6十五-1）（五-J7二T）的值是（）.A.2B.3C.4D.I

（二）、填空题

1.（-_£+正）2的计算结果（用最简根式表示）是.

22

2.（l-2x/3）（1+26）-（273-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是.

3.若x=>/2-1,贝ljX2+2X+1=.

4.已知a=3+2yf2,b=3-2-72,贝！Ja2b-ab2=.

（三）、综合提高题

I.化简0+6

VTo4-VM+VL5+>/TF

2.当x=——时，求工+1+7；：+x-x+1—中：+大的佰(结果用最简二次根式表示)

V2-1x+1-\x2+xx+\+yJx2+x

六、反思及感想：

23.1一元二次方程

教学目标：

1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式+〃式+。=°(〃W0)2、在分析、揭示

实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数最关

系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。

重点难点：

1.一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数二

2.理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

教学过程：

一做一做：

1.问题一绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为9(X)平方米的一块长方形绿地，并且长比宽

多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程

x(x+10)=900

整理可得x2+lOx-900=0.(1)

2.问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解：设这两年的年平均增长率为x,我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1+x)万册；

同样，明年年底的图书数又是今年年底的(l+x)倍，即5(1+x)(l+x)=5(l+x)2万册.可列得方程

5(1+x)2=7.2,

整理可得5X2+I0X-2.2=0.(2)

3.思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元

一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

(学生分组讨论，然后各组交流)共同特点：(I)都是整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的最高

次数是2

二、一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程).通常可写成

如下的一般形式：

ax2+bx+c=O(a,b、c是已知数，aWO)。其中。/叫做二次项，。叫做二次项系数；叫做一次项，〃叫做一次项

系数，。叫做常数项。.

三、例题讲解与练习巩固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

――2_]_

(।)3x+2=5x-3(2)x2=4(3)x+1(4)广-4=*+2)2

2.例2将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

1)6y2=y2)(x-2)(x+3)=83)(X+3)(3X-4)=(X+2)2

说明：一元二次方程的i般形式a—+法+c=°(。20)具有两个特征：一是方程的右边为0：二是左边的二次

项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3.例3方程(2a—4)X?-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

本题先由同学讨论，再由教师归纳。

解：当〃H2时是一元二次方程；当〃=2,人工0时是一元一次方程；

4.例4已知关于x的一元二次方程(m/)x2+3x-5m+4=0有一根为2,求m。

分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.练习一将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

2,=2-3x2X(X-1)=3(X-5)-40-严-()，+叶=()，+^y-2)

练习二关于X的方程(〃2-3)/+内+〃2=°,在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？

本课小结：

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为々V+云+c=°(4W0),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多

项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。

布置作业：课本第27页习题1、2、3

23.2.2一元二次方程的解法

教学目标：

1、会用直接开平方法解形如“。一Q?二人(aW0,ab20)的方程；

2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。

重点难点：

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。

教学过程：

问：怎样解方程-1)=256的?

让学生说出作业中的解法，教师板书。