北师大版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含详细答案解析）

北师大版初中数学八年级下册期中测试卷

考试范围：一二三章；考试时间：120分钟；分数：120分

学校:姓名：___________班级：考号：

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，在平面直角坐标系xoy中，4（0,2）,8（0,6）,动点。在y=%上.若以小B、C三点为顶点的三角形

是等腰三角形，则点C的个数是（）

J八,

-y=y

/[OX

A.2B.3C.4D.5

2.如图，在△48C中，Z.ACB=90°,Z.CAB=30°,AC=6/3,。为A8上一F

&

动点（不与点力重合），△力£0为等边三角形，过。点作0E的垂线,/为垂线上

任意一点，G为E尸的中点，则线段BG长的最小值是（）

A.2/3

B.6CA

C.3/3

D.9

3.如图，直线，1：、=X+3与直线。：y=ar+b相交于点4。九,4）,则关于刀的不

等式无+34QX+b的解集是（）

A.x>4

B.x<4

C.x>l

D.x<1

4.已知关于％的不等式弓;：113有且只有3个整数解，则。的取值范围是()

A.a>-1B.-1<a<0C.-1<a<0D.a<0

5.如图，矩形048c的顶点。为坐标原点，AC=4,对角线0B在第一象限的角平分线上.若矩形从图示位

置开始绕点。，以每秒45。的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点G的坐标为

A.(2,0)B.(0,2)C.(72,/2)D.(-/2,-72)

6.如图，在中，AB=AC,0,E是斜i力BCk两点,HzD/lE=45°,将△/1OC绕点｛顿时针旋转

90c后，得到△八小氏连接EF.则下列结论不正确的是()

A.LEAF=45°B.△£8"为等腰直角三角形

C.AE平分D.BE+CD>ED

7.等腰三角形的一个角是50。，则它的底角是()

A.50。B.50。或65°C.80。或50。D.65°

8.如图，在中，AB=AC,^BAC=36°,80是N/1BC的平分线，交力。于点0,E是48的中点，连接

EC并延长，交8c的延长线于点尸，连接力巴下列结论：&EF1.AB；②△403为等腰三角形；③DB二

DF；④△4CF为等腰三角形.其中错误的有

()

A

B

C

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是()

A.-1<a<0B.-1<a<0C.-1<a<0D.-1<a<0

10.已知一次函数y1=kx+b与丫2=%+a的图象如图所示，则下列结论：①k<0;②Q>0;③关于X的

方程kr+b=x+a的解为％=3;@x>3时，为<y?•正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

11.中国“一十四节气”已被利入联合国教科文组织人类非物质文化读产代表作名录，如图四幅作品分别

“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

B.

12.对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平

移，如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5).已知点力的坐标为(2,0),点Q是直线i上的一点，点4关于

点Q的对称点为点8,点B关于直线Z的对称点为点C,若点B由点4经n次斜平移后得到，且点C的坐标为

(8,6),则的面积是

C.16D.18

第II卷(非选择题)

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13.如图，在AABC中，已知"=90。，AC=BC=4,。是48的中点，点E、尸分别在力C、8C边上运动(点

E不与点A、C重合)，旦保持力£=。凡连接DE、DF.EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：①/D/E

是等腰直角三角形；②四边形CEDF的面积是定值；③AE+BF>EF；④dD/E面积的最小值为2.其中正

确的结论有___________

14.在中，LA=90°,BC=4,有一个内角为60。，P是直线48上不同于点4B的一点，且

乙4cp=30。，则P8的长为.

15.若不等式组的最大正整数解是3,则a的取值范围是____.

16.如图，在△ABC中，/-ACB=90°,4C=BC,点P是△48。内的一点，且P8=1,PC=2,PA=3,

则，BPC=___

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤”

17.(本小题8分)

(1)问题解决：如图，在四边形/1BC0中，^BAD=a,/-BCD=180°-a,8。平分

①如图1,若a=90。，根据教材中一个重要性质直接可得AD=CO,这个性质是______；

②在图2中，求证4D=CD；

(2)拓展探究：根据(1)的解题经验，请解决如下问题：如图3,在等腰△A8C中，LBAC=100%BD平分

Z-ABC,求证30+40=8C.

18.(本小题8分)

如图，BC1CA,BC=CA,DC1CE,DC=CE,直线8D与AE交于点凡交AC于点G,连接C£

(1)求证：BCD；

(2)求证：BF1AE；

(3)请判断NCFE与乙。48的大小关系并说明理由.

19.(本小题8分)

若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范

围的“湘一代数式”.例如：关于K的代数式/，当一1WXW1时，代数式/在％=±1时有最大值，最大值

为1；在％=0时有最小值，最小值为0,此时最值1,0均在一1WxWl这个范围内，则称代数式M是一1三

的“湘一代数式”.

(1)若关于％的代数式|万，当1WXW3时，取得的最大值为______,最小值为______,所以代数式

|x|______(填“是”或“不是”)1£x£3的“湘一代数式”.

(2)若关于“的代数式「为一1是一24工42的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值.

(3)若关于x的代数式|%-2|是mW%44的“湘一代数式”，求m的取值范围.

20.(本小题8分)

为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3600元若每个篮球80

元，每个足球50元，求篮球最多可购买多少个？

21.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系,Oy中，点4(2,0),8(5,0),6(4,2).

(1)画出△A8C关于点。的中心对称图形，点4、B、C的对应点分别是0、E、F：

八y

OA

（2）若y轴上存在一点M,使得△MD尸的周长最小，求点M的坐标.

22.（本小题8分）

在等腰中，AB=AC,Z.BAC=90°

⑴如图1,D,E是等腰RMABC斜边BC上两动点，且NZX4E=45。，将△ABE绕点4逆时针旋转90。后，得

到连接。尸

①求证：△AED也△AFZ）；

②当8E=3,CE=7时，求DE的长;

（2）如图2,点。是等腰ABC斜边8c所在直线上的一动点，连接AD,以点A为直角顶点作等腰R£△

ADE,当80=3,8c=9时，求DE的长.

图2备用图

23.（本小题8分）

如图，Zk/BC中，4。为484c的平分线，4。的垂直平分线Er交BC的延长线于点儿连接力凡

求证：乙B=Z.CAF.

24.（本小题8分）

某汽车专卖店销售47?两种型号的新能源汽车.卜周售出1辆4型车和3辆/?型车.销售额为96万元：本周已

售2辆A型车和1辆8型车，销售额为62万元.

(1)求每辆A型车和B型车的售价各多少万元？

(2)甲公司拟向该店购买48两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，

则有哪几种购车方案？

25.(本小题8分)

【问题发现】

(1)如图①，是等边三角形，点E分别是8C,48边上一点，且8。=2,BE=1,点尸在线段4E

上运动，以PO为边向右作等边△PDF.

图①

①求证：0E_L4B

②过点产作FG_LBC于点G,连接请判断FG的长度是否为定直，若是，请求出该定值，若不是，请说

明理由.

【类比探究】

(2)如图②，长方形ABCD中，AB=4,BC=5,E为BC上一点,且BE=1,尸为边上的一个动点，连

接E凡将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，当点尸从点8运动到点力时，请求出点G运动的路程.

图②

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，线段垂直平分线的性质，作出图形，利用数形结合的思

想求解更形象直观.根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得A8的垂直平分线与直线y=

”的交点为点C,再求出48的长，以点A为圆心，以力B的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C,求出

点B到直线y=》的距离可知以点B为圆心，以718的长为半径画弧，与直线没有交点，据此求解即可.

【解答】

解：如图，AB的垂直平分线与直线y=%相交于点G，

•••力(0,2),8(0,6),

•••AB=6—2=4,

以点A为圆心，以A8的长为半径面弧，与直线y=%的交点为Cz，Q，

vGB=6,

・••点8到直线y=x的距离为6x苧=3/2，

•••3\<2>4.

.•・以点B为圆心，以力8的长为半径画弧，与直线y=x没有交点,

所以，点C的个数是1+2=3.

故选从

2.【答案】B

【解析】解：如图，连接DG,AG,设4G交DE于点H,

vDE1DF,G为"的中点,

DG-GE,

.•.点G在线段DE的垂直平分线上，

•••△4ED为等边三角形，

:.AD=AE,

.•.点A在线段DE的垂直平分线上，

••・4G为线段。E的垂直平分线，

AAG1DE,Z.DAG=^DAE=30°,

.••点G在射线AH上，当8GJ.4H时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足,

vZ.ACB=90°,Z.CAB=30°,

:,tACB二乙AG'B,/.CAB=ABAG\

则在△B4C和AB/IG'中，

(Z.ACB=乙AG'B

\z-CAB=ABAG^

UB=AB

•^BAC^^BAGXAAS).

:.BG'=BC,

在RM/WC中，4G48=30。，AC=6/3»

二AB=2BC,

-AB2=BC2+AC2,

•••RBC?=BC2+(6/孙，

解得：BC=6,

：•BG'=6.

故选:B.

连接。G,AG,设4G交DE于点H,先判定AG为线段OE的垂直平分线，从而可判定△B4cg△

BAGf(AAS),然后由全等三角形的性质可得答案.

本题考查了含30。的直角三角形，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并

明确相关性质及定理是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：,.•y=x+3经过点/(皿4),

:.7H+3=4,

解得：m=1,

••/(1,4),

•,・关于％的不等式％+3<ax+b的解集是x<1,

故选：0.

首先利用待定系数法求出4点坐标.然后根据图象写出不等式的解集即可.

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息-

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是

解此题的关键.先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案.

【解答】

解：••,解不等式％—Q>0得：x>a,

解不等式3x+4V13得：XV3,

・•.不等式组的解集为a<x<3,

•••关于"的不等式组低一：上°1&有且只有3个整数解，

-1<a<0,

故选B.

5.【答案】C

【脩析】【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点G的变化特

点，利用数形结合的思想解答.每秒旋转45。，8次一个循环，2024+8=253,第2024秒时，矩形的对角

线交点G与原位置的点G的坐标相同，由此可得到点G的坐标.

【详解】解：•••四边形04BC是矩形，AC=4,

AC=0B=4,AG=CG,OG=BG,

OG=2,

•・,每秒旋转45。,360°+45°=8,

•••8次一个循环，

•••2024+8=253,

.••点G与原位置的点G的坐标相同，

.••原位置的点G在第一象限的角平分线上，设G(%x),

•••x2+x2=4(x>0),

解得：x=

.••点G的坐标为

故选：C.

6.【答案】R

【解析】解：•••△/I。。绕点力顺时针旋转90。后，得到△//氏

:.bADC沿bAFB,Z.FAD=90°,AD=AF,BF=CD,

vZ.DAE=45°,

.'.£EAF=90O-^DAE=45°,所以A正确，不符合题意；

:*LDAE=Z.EAF,

二/5平分/。4兄所以C正确，不符合题意；

(AD=AF

l^DAE=Z.FAE,

(AE=AE

：.^AED^^AEF{SAS),

AED=EF,

•••BE+BF>EF,

BE+CD>ED,

所以。正确，不符合题意；

在而△4BC中，AB=AC,

/.ABC=乙4cB=45°,

•••△AD3AAFB,

£ACD=Z.ABF=45°,

v£ABb'+LABE=Z.ACD+乙ABC=90°,

••.△E8F为直角三角形，

但是BE、CD不一定相等，所以BE、不一定相等，所以B不正确，符合题意.

故选:B.

由已知乙DAE=45。和旋转的性质可•判断4项，进一步可判断C项；利用SAS可证明△力EF,可得

ED=EF,根据三角形三边关系和等量代换即可判断。选项，容易证明aEBF是直角三角形，但是BE、CD

不一定相等，所以BE、不一定相等，由此可判断B项，于是可得答案.

本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，注意旋转前后的对应关系是

解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：当底角为50。时，则底角为50。,

当顶角为50。时，由三角形内角和定理可求得底角为：65°,

所以底角为50。或65。，

故选:B.

分这个角为底角和顶角两种情况讨论即可.

本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关铤.

8.【答案】A

【解析】•••/IB=AC,4BAC=36°,•••/A8C=72°.又•••8。是/ABC的平分线，Z-ABD=36°.•••乙BAD=

/.AD=BD,即△/DB是等腰三角形，故②正确；又E是42的中点，・•.OEJ.71B,即FE_L/乩

故①正确；•.,尸E148,4E=BE,.•.尸E垂直平分力B,•••4F=B凡.••乙84尸=乙48凡又•••415。=

乙BAD,匕FAD=乙FBD=36°.又•••Z-ACB=72°,:.Z.AFC=Z-ACB-^CAF=36°,:.^CAF=2AFC=

36%AAC=CF,即△4CF为等腰三角形，故④正确.

9.【答案】A

【解析】解：产二lv*

解①得“<1，

解②得%>a-1,

则不等式组的解集是a-1<X<1.

又•.•不等式组有两个整数解，

.•.整数解是0,-1.

-2<a-1<-1,

解得：—1<cz<0.

故选：A.

首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有两个整数解即可确定整数解，从而得到关于a

的不等式，求得a的范围.

本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大

小中间找，大大小小解不了.

1().【答案】C

【解析】【分析】

本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力，一次函数、=kx+b的图象有四种情况：①

当A>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当々>0,bV0,函数y=kr+b的

图象经过第一、三、四象限；③当k<0,b>0时，函数y=丘+匕的图象经过第一、二、四象限；④当

k<0,b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限.根据为=kx+b和为=x+a的图象口「

知：kVO,a<0,所以当3时，相应的工的值，图象均低于丫2的图象.

【解答】

解：根据图示及数据可知：

①k<0正确；

@a<0,原来的说法错误；

③方程kv+b=x+a的解是4=3,正确；

④当x>3时,<%正确.

故正确的个数是3.

故选：C.

11.【答案】0

【解析】解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；

8选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意：

C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；

0选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；

故选：D.

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可.

本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折

叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转180度后能与它自

身重合，这个图形叫做中心对称图形.

12.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查几何变换问题，关键是根据中心对称和轴对称的性质和直角三角形的判定分析，同时根据待定系

数法得出直线的解析式.

连接CQ,根据中心对称和轴对称的性质和直角三角形的判定得到=90。，延长8C交x轴于点E,过C

点作C914E于点儿根据待定系数法得出直线BE的解析式进而解答即可.

【解答】

解：连接CQ，如图：

由中心对称可知，AQ=BQ,

由轴对称可知：BQ=CQ,

:.AQ=CQ=BQ,

Z.QAC=Z.ACQ,Z.QBC=Z.QCB,

vZ.QAC4-Z.ACQ+乙QBC+乙QCB=180°,

:.乙ACQ+Z.QCB=90%

:.Z.ACB=90°,

•••△48。是直角三角形，

延长BC交x轴于点E,过C点作CFlAE于点凡如图,

♦.T(2,0),C(8,6),

:.AF=CF=6,

.•.△4CF是等腰直角三角形，

vZ.ACE=90°,

AZ.AEC=45。,

••.E点坐标为(14,0),

设直线BE的解析式为y=kx+b,

•：C,E点在直线上，

可得:CXU解得d

•••y=-%+14,

•••，点8由点A经几次斜平移得到，

.•.点8(〃+2,2n).由2n=一九一2+14,

解得：n=4,

:.8(6,8),

•••△ABC的面积=S“BE-SMCE=1X12X8-1X12X6=12.

故选A.

13.【答案】①②③④

【解析】【分析】

此题主要考查了三角形的面积，全等三角形的判定与性质以及笔腰三角形的判定性质、直角三角形判定及

性质等知识.添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.

①作常规辅助线连接C。，由S4s定理可证△口?/和△4DE全等，从而可证乙EOF=90。，0七=0凡所以4

O/E是等腰直角三角形；

②白。)结论可知四边形CEDF的面积=S&CDE+S^CDF=SACDE+S^ADE=SAADC，结合已知^C8C是空腰上£

角三角形，可得SuDc=gSf8c=4,即可得到②正确，

③根据已知4E=CF,AC=BC,易得CE=BF,结合三角形三边关系可知CE+CF>E凡然后等量代换

即可证明③正确；

④由题可知当DE14C时aDEF面积最小，由面积公式求得DE=2,计算即可证明④正确.

【解答】

解：①连接CD,

图1

•・•△48。是等腰直角三角形，。是4B中点，

:.乙DCB=Z-ACD=45°,上力==45°,CD=AD=DB,CDLAB,

在么ADE与△CD尸中，

AE=CF

/.A=LFCD=45°,

AD=CD

CDF(SAS),

ED=DF,乙CDF=乙EDA,

"DE+Z-EDC=90°,

Z.EDC+乙CDF=4EDF=90°,

.•.△DPE是等腰直角三角形，

:.①正确;

②挣接CD,

图2

由①的结论△ADE^^CDF(SAS),

二四边形CED尸的面积=SMDE+S&CDF=S&CDE+^AADE=S&ADC，

♦・•△ABC是等腰直角三角形，。是MB的中点，

CD1AB,AD=BD=^AB,

•••S&ADC=SABDC=3诋=|X；心BC=Ux4x4=4,

.•加边形CED尸的面积=4,是定值，

②正确；

(3)vAE=CF，AC=BC,

'.AC-AE=BC-CF,

即CE=BF,

在ACEF中，

•••CE+CF>EF,

*'.AE+BF>EF,

.•.③正确；

④•.•当。E的长度最小时，ADEF的面积最小，此时。E_L4C,

•••△4C。的面积为4,即gxACxZ)E=4,解得DE=2,

S^EFDExDF=2,

・•.④正确.

故答案为①②③④.

14.【答案】4,程或学

【解析】【分析】

此题考查了含30。直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，利用了转化及分类讨论的数

学思想，熟练掌握性质及定理是解本颖的关键，分两种情况考虑：当448C=60。时，当4KB=60。时，

分别求出尸8的长即可.注意分情况讨论

【解答】

解：分两种情况考虑：

当NABC=60。时，如图所示：

•••Z.CAB=90°,

」BCA=30°,

vZ.PCA=30°,

4PCB=LPCA+Z.ACB=60°,

vLABC=60°,

.•.△PC8为等边三角形，

vBC=4,

APB=4：

当乙4cB=60。时,如图所示:

V/.PCA=30°,^.ACB=60°,

；.4PCB=90°,

又•.乙B=90°-Z,ACB=30°,BC=4,

AC=\BC=2,AB=BC2-CA2=20，

VZ.PCA=30°,乙CAP=90°,

设/IP=x,则PC=2AP=2x,

由勾股定理，得4/=/+4,

解得％=等，

...2V3/-x8\r3

•••PnDB=APn+ABD=-r-+2nV3=—：

(it)当P在A的右边时，

•••"CA=30°,Z-ACB=60°,

:.乙BCP=30°,

同(i)可得，4C=2,AB=?G4P=享，

则8P=AB-AP=2/3一弟=手，

综上，BP的长分别为4,竽或苧.

故答案为4,苧或苧.

15.【答案】6<a<8

【解析】解：解不等式工+1>0,得不>-1,

解不等式2x-av0,得x<ga,

由题意，得一1vxv

•••不等式组的最大正整数解是3,

3<<4,

解得6<QW8.

故答案是6VQW8.

首先求出不等式组的解集，利用含a的式子表示，然后根据最大正整数解是3得到关于a的不等式，从而求

出。的范围.

本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，正确确定的范围，是解决本题的关

键.解不等式时要用到不等式的基本性质.

16.【答案】135

【蟀析】解：如图，将绕点C旋转，使。力与G5重合，即与△8EC全等，

.•.△PCE为等腰直角三角形，.•.4CPE=45。，PE2=PC2+CE2=8,

22222

XvPB=1,BE=9t：.PE+PB=BE,则NBPE=90。，

乙BPC=135°

故答案为：135.

17.【答案】解：（1）①角平分线上的点到角的两边的距离相等,

②证明：如图2中，作OEJ.BA于E,DF1BCTF.

图2

•：BD平分乙EBF,DE1BE,DFLBF,

•••DE=DF,

v/.BAD+ZC=180°,Z.BAD+LEAD=180°,

Z.EAD=Z.C，

LEAD=乙FCD

LDEA=Z.DFC

DE=DF

：^DEA^ADFC(AAS)

...AD=CD.

(2)如图，在BC时截取BK=BD,连接DK,

vAB=AC,Z-A=100°,

£ABC=ZC=40°,

vBD平分乙48C,

1

•••Z.DBK=^Z-ABC=20。，

vBD=BK,

：.Z.BKD=Z.BDK=80°,即乙4+4BK。=80。，由(1)的结论得40=OK,

•:乙BKD=LC+cKDC,

:.Z.KDC=ZC=40°,

DK=CK,

:.AD=DK=CK,

：.BD+AD=BK+CK=BC.

【解析】（1）解：①根据角平分线的性质定理可知力。=CD.

所以这个性质是角平分线上的点到角的两边的距离相等.

故答案为角平分线上的点到角的两边的距离相等.

②见答案.

(2)见答案.

(1)①根据角平分线的性质定理即可解决问题；

②如图|2中，作于E,OFJ.BC于立只要证明△。巴4g即可解决问题；

(2)如图3中，在时截取BK=BO,BT=BA,连接。K.首先证明OK=CK,再证明△087,推

出=Z/l=/.BTD=100°,推出/DTK=ZDKT=80。，推出QT=DK=CK,由此即可解决问

题；

【点睛】

本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

IX.【答案】讦明：(1)vRC1C.A,DC1CE.

:.Z.ACB=Z.DCE=90°,

/.BCD+Z.DCG=Z.ACE+Z.DCG,

即，BCD=/-ACE,

在以BCD与△力CE中，

BC=CA

乙BCD=Z.ACE,

CD=CE

.••△/ICE"BCD(SAS)；

3•:bBCD9bACE,

AZ.CBD=Z.CAE,

vZ.BGC=/-AGF,Z.ACB=90°

Z.AFB=乙ACB=90°,

ABF1AE\

(3)zCFE=^CAB,理由如下：

过C作CH14E于H,CI1BF于I,

■:〉BCD妾XACE,

*',4E=BD,S^^CE=S&BCD，

ACH=CI,

•••CF平分乙BFH,

•••BF1AE,

:.Z.BFH=90°,Z.CFE=45°,

vBC1CA,BC=CA,

.•.△4BC是等腰直角三角形，

•••Z.CAB=45°,

/.CFE=Z.CAB.

【解析】(1)根据垂直的定义得到乙ACB=，DCE=90。，由角的和差得到N8CZ)=2ACE,即可得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得到乙=乙CAE,根据对顶角的性质得到MGC=〃GF,由三角形的内角和

即可得到结论：

过作于，，根据全等三角形的性质得到根据三角形

(3)CC"1/1ECl1BF于I,/IE=BD,SAACE=S^BCD,

的面积公式得到=G,于是得到C/平分乙8户〃，推出△4BC是等腰直角三角形，即可得到结论.

本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，正确

的作出辅助线是解题的关键.

19.【答案】解：

当x=3时，反|取最大值3,

当力=1时，优|取最小值1,

所以代数式优|是1工％W3的“湘一代数式”.

故答案为：3,1,是.

(2)v-2<x<2,

•••0<|x|<2,

.，.2<|x|+2<4,

①当QNO时，％=0时，品一1有最大值为冬一1,

%=2或一2时,号一1有最小值为撩一1，

十/4

?-1<2①

所以可得不等式组(行

『12-2②

由①得：a《6,

由②得：a>-4,

所以：0工。工6,

②Q<0时，％=0时，义一1有最小值为号一1,

%=2或一2时，/一1的有大值为：一1,

|用十L勺

(5—1一2①

所以可得不等式组，片，

由①得：a>-2,

由②得：a<12,

所以：一2工aV0,

综上①②可得一2<a<6,

所以。的最大值为6,最小值为-2.

(3)v|x-2|是mWxW4的“湘一代数式”，

当2WXW4时，忱一2|的最大值是2,最小值是0,

:.7H<0,

当n<x<2时，|x—2|=2一％,

当《=2时，优-2|取最小值0,

当x=m时,氏-2|取最大值2-凹,

.印W0

12—m<4

解得：一2<m<0,

综上：m的取值范围是：一2WznW0.

【解析】【分析】(1)先求解当1WxW3时，|”|的最大值与最小值，再根据定义判断即可；

(2)当一2WXW2时，得2W氏|+244,分。工0,。<0,分别求解口―1在一2WxW2内时的最大值与最

|X|十L

小值，再列不等式组即可得到答案；

(3)当mW%W4时，分2工x工4,mW%W2两种情况分别求解-2|的最大值与最小值，再列不等式(组

)求解即可.

本题考查的是新定义情境下的不等式或不等式组的应用，理解定义列不等式(组)是解题的关键.

2().【答案】解：设购买篮球X个，则购买足球(50-%)个，

由题意，得80%+50(50-％)W3600,

解得x<36余

•.•%为整数，

•••%的最大值为36.

答：篮球最多可购买36个.

【解析】根据购买足球和篮球的资金不超过3600元，可以列关系式：足球单价x足球数量+篮球单价x篮

球数量£3600.

本题考查了一元一次不等式解决实际问题的运用，正确的建立不等关系是解题的关键.

21.【答案】【小问1详解】

♦.♦点4(2,0),8(5,0),C(4,2).aDEF与△4BC关于点。中心对称，

.•.点A、B、C的对应点分别是。、E、F的坐标分别为(-2,0)、(-5,0),(-4,-2),

在平面直角坐标系中描点。、E、F,顺次连结；

MD=MA,

M。尸的周长=DF+DM+MF=DF+AM+FM>DF+AF,

当点M在4F上时最小，△MO尸的周长最小=DF+AF,

点M即为所求.

设直线力尸的解析式为、=kx+山

•.♦力(2,0),F(-4,-2),

(2k+b=0

••l-4/c+b=-2'

解得〈32，

b=--

3

・••直线/F的解析式为y=

2

•••M（0,一

【解析1【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出4B,C的对应点。，E,尸即可.

（2）连接AF交y轴于点M,连接。M,点M即为所求.求出直线AF的解析式，可得结论.

本题考查作图-旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，学会利用轴

对称解决最值问题.

22.【答案】解：（1）①如图1中，

:.AE=AF,Z.BAE=Z.CAF,

vZ.BAC=90°,Z.EAD=45°,

Z.CAD+Z.BAE=Z.CAD+Z-CAF=45°,

AZ.DAE=Z.DAF,

在么4£7)与△A/D中，

AE=AF

Z.DAE=Z.DAF

DA=DA

：.^AED^LAFD(SAS).

②如图1中，设OE=x,WlJCD=7-x.

-AB=AC,NB4c=90°,

LB=/-ACB=45°,

v£ABE=LACF=45",

:"DCF=90°,

-LAED^LAFD{SAS'),

：.DE=DF=x,

在"△DCF中，由勾股定理得：

DF2=CD2+CF2,CF=BE=3,

X2=(7-X)2+32,

29

AX——>

•*-DME=—29.

(2)①当点。在线段8。上时，如图2中，连接8E.

vLBAC==90°,

：•Z.EAB=Z.DAC,

-AE=AD,AB=AC,

在△£718与4O/C中，

(AE=AD

l^EAB=乙DAC

{AB=AC

：.LEAB^LDAC{SAS),

Z.ABE=ZC=AABC=45°,EB=CD=6,

:.乙EBD=90%

DE2=BE2+BD2=62+32=45,

•••DE=3/5.

②当点。在CB的延长线上时，如图3中，连接BE.

同法可证aDBE是直角三角形，EB=CD=12,DB=3,

ADE2=EB2+BD2=144+9=153,

:.DE=3AA17

综上所述，DE的值为36或3厅.

【解析】(1)①想办法证明=由ZX4=D4,AE=AF,即可证明.

②如图1中，设=则CO=7—乂在RtADCF中，由OF?=+c/2,CF=BE=3,推出M=

(7-％¥+32,解方程即可.

(2)分两种情形①当点E在线段上时，如图2中，连接BE.由△EROg△力OC,推出41BE=zC=

Z.ABC=45°,EB=CD=5,推出=90。，推出OK2=992+=52+?2=45,即可解决问

题.

②当点。在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2=153.

本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题佗关键是正确

寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

23.【答案】证明：「E尸垂直平分4D,.♦.力尸=。/，A.ADF=Z.DAF,

V£ADF=乙3十乙BAD，

Z.DAF=乙CA尸+乙CAD,

又•.力。平分乙84C,

:./.BAD=Z.CAD,

AZ.CAF=乙B.

【解析】EF垂直平分AD，则可得4尸=。口进而再转化为角之间的关系，通过角之间的平衡转化，最终

得出结论.

本题考查线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线上

的点到线段的两个端点的距离相等.

24.【答案】解：(1)每辆4型车和B型车的售价分别是％万元、y万元.则

pc+3y=96

\2x+y=62，

解得:忧北

答：每辆力型车的售价为18万元，