2024-2025学年云南省红河州、文山州高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省红河州、文山州高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1}，B={y|y=2|x|,x∈A}，则A∩B=A.⌀ B.{0} C.{1} D.{0,1}2.已知sinα=12，则cos2α的值为(

)A.−32 B.−12 3.已知i为虚数单位，复数z满足|z−i|=|z|，则z的虚部为(

)A.12i B.12 C.−4.双曲线x212−y24A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等5.设直线3x+y+2=0与圆C：(x−4)2+(y+2)2=16相交于AA.8 B.43 C.46.已知圆M：x2+2x+y2+4y+4=0与圆N：x2−6x+yA.x+2y+5=0 B.x−2y−5=0 C.2x+y+5=0 D.2x−y−5=07.对三维空间中不共线的三点A，B，C和任一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数组(x,y,z)，使OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1.现已知A，B，C，D四点共面，O为空间中任意一点，且满足CD=3OC−xOAA.43 B.1 C.23 8.中国古代雕刻艺术中“鬼工球”工艺精妙绝伦，其层层嵌套的结构展现了极高的技艺水准.在现代数学与雕刻艺术的融合探索中，有雕刻师以棱长为6的正方体玉石为材料进行创意雕刻.在正方体内部雕琢出一个可以任意转动的球，在该球内部又套雕出一个正四面体(所有棱长均相等的三棱锥).假设雕刻过程不计各层厚度与材料损失，那么最内层正四面体的棱长最长为(

)A.26 B.4 C.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面直角坐标系中三个点A(−1,1),B(1,1),C(0,1−3)，点D为线段AB的中点，则下列结论正确的是A.△ABC是锐角三角形

B.CA在CB上的投影向量为(12,32)

C.CD⋅10.已知幂函数f(x)=(2m−13)xA.m=23

B.f(x)的定义域为R

C.f(x)为非奇非偶函数

D.不等式f(2x−1)>f(x)11.已知点F1(−1,0)，F2(1,0)，动点P到F1的距离和它到直线l：x=−4的距离的比是常数12，记P点的轨迹为曲线C.直线y=2x与曲线C交于AA.曲线C的方程为：x24+y23=1

B.曲线C上存在点P，使得∠F1PF2=90°

C.|AB|=1336

D.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆锥底面圆的半径为r，母线长为2r，其侧面展开图的面积为2π，则该圆锥的高为______．13.已知双曲线x24−y2=1与直线l：y=kx+1有唯一的公共点.14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)的部分图象如图所示.若x∈[0,7π6]时，方程f(x)−a=0恰好有三个实根x1，x2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织了高二年级的1000名学生参加奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求该样本的第75百分位数；

(2)该校计划从参加本次奥运知识能力测试成绩优秀(80分及以上)的学生中，采用按成绩等比例分层随机抽样的方法，从中抽取6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学进行交流，求这2名同学分数在[80,90)，[90,100]各一人的概率．16.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b−ccosA=2acosBcosC，b=5,c=2．

(1)求角B和a；

(2)在BC17.(本小题12分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AB=AD=AA1=2，∠BAD=60°，∠A1AD=∠A1AB，O为BD的中点，A18.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnxx在区间(0,e]上为增函数，在区间[e,+∞)上为减函数．

(1)求f(x)在(0,+∞)上的最大值；

(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；

(3)将eπ219.(本小题12分)

已知直线y=−4与y=2关于抛物线C：x2=2py(p>0)的准线对称，C的焦点为F．

(1)求C的方程；

(2)若斜率为12的直线l与C交于A，B两点，且|AF|+|BF|=3，求直线l的方程；

(3)M，N为C上两点，且FM⋅FN=0，求△FMN参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.B

6.D

7.A

8.A

9.ABD

10.AB

11.AD

12.313.12(答案不唯一，±12，14.5π315.解：(1)根据题意可得前几组的频率依次为0.05，0.15，0.2，0.3，0.2，

所以第75百分位数在(80,90)内，且为80+0.75−0.05−0.15−0.2−0.30.02=82.5；

(2)因为[80,90)与[90,100]的频率之比为0.2：0.1=4：2，

所以应在成绩为[80,90)的学生中抽取4人，记为a，b，c，d；

在成绩为[90,100]的学生中抽取2人，记为A，B；

再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学的样本空间有如下：

Ω={(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,d)，(b,A)，(b,B)，(c,d)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(A,B)}，共15种；

其中在[80,90)，[90,100]各一人的有：

{(a,A)，(a,B)，(b,A)，(b,B)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)}，共8种；

所以这2名同学分数在[80,90)，[90,100]各一人的概率为16.(1)由b−ccosA=2acosBcosC，根据正弦定理得sinB−sinCcosA=2sinAcosBcosC，

因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，所以sinAcosC=2sinAcosBcosC，

根据c<b，可知C为锐角，cosC>0，结合sinA>0，化简得cosB=22，

因为B∈(0,π)，所以B=π4．

根据余弦定理b2=a2+c2−2accosB，可得5=2+a2−2×2a×22，

整理得a2−2a−3=0解得a=3(a=−1舍去)，所以a=3．

(2)在△ABC中，由正弦定理bsinB=csinC，可得sinC=csinB17.(1)证明：连接A1B，A1D，

因为AB=AD=AA1=2，且∠BAD=60°，所以△ABD为正三角形，

因为O为BD的中点，所以AO⊥BD，且AO=3,A1O=1,AA1=2，

所以AA12=AO2+A1O2，则AO⊥A1O，

又∠A1AD=∠A1AB，所以△A1AD≌△A1AB，所以A1D=A1B，所以A1O⊥BD，

又AO∩BD=O，AO，BD⊂平面ABCD，

所以A1O⊥平面ABCD；

(2)解：由(1)可知A1O⊥平面ABCD，AO⊥BD，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(3,0,0),B(0,1,0),A1(0,0,1),C(−3,0,0),D(0,−1,0)18.解：(1)函数f(x)在区间(0,e)上为增函数，在区间(e,+∞)上为减函数，

故函数的最大值为f(e)=1e．

(2)当0<2m≤e，即0<m≤e2时，f(x)在[m,2m]上单调递增，

故f(x)max=f(2m)=ln(2m)2m；

当m≥e时，f(x)在[m,2m]上单调递减，故f(x)max=f(m)=lnmm；

当m<e<2m，即e2<m<e时，f(x)在[m,e)上单调递增，在[e,2m]上单调递减，

所以f(x)max=f(e)=1e．

综上，0<m≤e2时，f(x)max=ln(2m)2m；m≥e时，f(x)max=lnmm；e219.解：(1)易知抛物线C的准线方程为y=−p2，

因为y=−4与y=2到y=−p2的距离相等，

即2+p2=4−p2，

解得p=2．

则抛物线C的方程为x2=4y；

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2).

因为|AF|+|BF|=3，

由抛物线的定义得y1+y2+p=3，

所以y1+y2=1．

设直线l：y=12x+m，

联立y=12x+mx2