北师大版九年级上册数学第三次月考试卷及答案详解

北师大版九年级上册数学第三次月考试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（）A．B．C．D．2．如图，四边形ABCD中，AC=BD，顺次连结四边形各边中点得到的图形是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．以上都不对3．如图,已知双曲线上有一点,过作垂直轴于点,连接,则的面积为A． B． C． D．4．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝B．∠B＝∠DC．∠C＝∠AEDD．＝5．下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．6．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为()A． B． C． D．7．已知点(﹣2，y1)，(﹣1，y2)，(1，y3)都在反比例函数y＝﹣（m为常数，且m≠0）的图象上，则y1，y2与y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y28．如图,在中，点分别在边上,且为边延长线上一点,连接,则图中与相似的三角形有()个A． B． C． D．9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．或B．C．D．或10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．2 B． C．3 D．11．如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（）A．30 B．25 C．22．5 D．2012．如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．二、填空题13．定义新运算：，例如：，则__________．14．如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为_____．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E分别在BC、AC上（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝45°，若△ADE是等腰三角形，则CE＝_____．16．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝____．三、解答题17．解方程：．18．如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D．19．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的长；（2）求S△BOD20．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF与AD、BD、BC分别交于点E、O、F．求证：四边形BFDE是菱形．22．如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，点F在ED上，且∠CBF=∠D．（1）求证：FB2=FE•FA；（2）若BF=3，EF=2，求△ABE与△BEF的面积之比．

23．如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，已知点A（3，4），B（0，﹣2），点C是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2），求△ABC的面积；（3）在点C运动的过程中，是否存在点C，使BC＝AC？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．24．为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：“剪纸”、“沙画”、“葫芦雕刻”、“泥塑”、“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的________，________；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．25．如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．参考答案1．C【详解】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．解：由三视图可得，故选C．2．A【分析】根据三角形中位线定理和四条边都相等的四边形是菱形即可得答案．【详解】如图，E、F、G、H分别是各边的中点，连接EF、FG、GH、HE，∵E、F为CD、AD边中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF=AC，同理：FG=BD，GH=AC，HE=BD，∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故选A.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．3．B【分析】根据已知双曲线上有一点,点纵和横坐标的积是4，的面积是它的二分之一，即为所求.【详解】解：∵双曲线上有一点，设A的坐标为(a,b),∴b=∴ab=4∴的面积==2故选：B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质和三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键.4．D【分析】由两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可判断，由两角分别对应相等的两个三角形相似可判断，两边对应成比例，而夹角不一定相等，可判断从而可得答案．【详解】解：，，所以再添上：，可得：△ABC∽△ADE，故不符合题意；再添上：，可得：△ABC∽△ADE，故不符合题意；再添上：，可得：△ABC∽△ADE，故不符合题意；再添上：，不能判定：△ABC∽△ADE，故符合题意；故选：【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定是解题的关键．5．B【分析】应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可．【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，，，A、三角形三边分别是2，，，与给出的三角形的各边不成比例，故选项不符合；B、三角形三边2，4，，与给出的三角形的各边成比例，故选项符合．C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故选项不符合；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故选项不符合；故选：B．【点睛】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用，难度不大．6．D【分析】先说明ABD=∠ADC=∠CBD，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.【详解】解：∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=(180°-134°)=23°∴=90°-23°=67°故答案为D.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.7．B【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝﹣中﹣m2＜0，∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵﹣2＜0，﹣1＜0，∴点（﹣2，y1），（﹣1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵﹣2＜﹣1，∴0＜y1＜y2．∵1＞0，∴（1，y3）在第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故选：B．【点睛】考查了反比例函数函数图象上点的坐标特点，解题关键是熟记反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．8．D【分析】根据平行四边形和平行线的性质，得出对应的角相等，再结合相似三角形的性质即可得出答案.【详解】∵EF∥CD，ABCD是平行四边形∴EF∥CD∥AB∴∠GDP=∠GAB，∠GPD=∠GBA∴△GDP∽△GAB又EF∥AB∴∠GEQ=∠GAB，∠GQE=∠GBA∴△GEQ∽△GAB又∵ABCD为平行四边形∴AD∥BC∴∠GDP=∠BCP，∠CBP=∠G∴∠BCP=∠GAB又∠GPD=∠BPC∴∠GBA=∠BPC∴△GAB∽△BCP又∠BQF=∠GQE∴∠BQF=∠GBA∴△GAB∽△BFQ综上共有4个三角形与△GAB相似故答案选择D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，此外，还需要掌握平行四边形和平行线的相关知识.9．D【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，

∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．

故选D．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．10．C【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、▱OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．【详解】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则，，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S▱ONMG＝|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S▱ONMG＝4|k|，由于函数图象在第一象限，∴k＞0，则，∴k＝3．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．11．D【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20故本题选择D【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．12．C【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，

∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，

解得k≤且k≠0，

故选：C．【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．13．－8.【分析】先分清式子中－3即为a，4即为b，再按照题目所给的运算法则代入进行计算即可.【详解】解：－3×4+4=－12+4=－8.【点睛】本题考查的是新定义运算，对此类题目，关键之一是弄清题目所给的运算法则，关键之二是分清所求的式子中的数分别对应法则中的哪个量.14．（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据题意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．故答案是：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.15．2﹣或．【分析】当△ABD∽△DCE时，可能是DA＝DE，也可能是ED＝EA，所以要分两种情况求出CE长．【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°．∵∠ADE＝45°，∴∠B＝∠C＝∠ADE．∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，∴∠ADB＝∠DEC．∵∠ADC+∠B+∠BAD＝180，∠DEC+∠C+∠CDE＝180°，∴∠ADC+∠B+∠BAD＝∠DEC+∠C+∠CDE，∴∠EDC＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE∵∠DAE＜∠BAC＝90°，∠ADE＝45°，∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD＝DE．∴△ABD≌△DCE．∴CD＝AB＝．∴BD＝2﹣=CE，当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED＝EA．∵∠ADE＝45°，∴此时有∠DEA＝90°．即△ADE为等腰直角三角形．∴AE＝DE＝AC＝．∴CE=AC＝当AD＝EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，因此CE的长为2﹣或．故答案为2﹣或．【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质.16．【详解】过点D作，则，由相似三角形性质得，，而，则，由于，所以故答案为：12．17．【分析】运用因式分解法求解即可．【详解】解：，则或，解得．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练运用适当的方法求解是解题关键．18．证明见解析.【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定可以判断△ABC≌△DCE，然后根据全等三角形的性质即可证明结论成立．【详解】证明：∵BC∥DE，∴∠BCA＝∠CED，在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE(SAS)，∴∠A＝∠D．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．19．(1)10;(2)18.【分析】（1）根据相似三角形对应边之比相等可得＝＝，再代入BO＝6可得AO长；（2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得＝，进而可得S△BOD．【详解】解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝∴＝∵S△AOC＝50，∴S△BOD＝18．【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方.20．(1)画图见解析；(2)DE=4.【分析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求．（2）根据，可得，即可推出DO=4m．【详解】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．（2）解：由已知可得，，∴，∴OD=4m，∴灯泡的高为4m．【点睛】本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．21．见解析【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD//BC，OB＝OD，易证得△OED≌△OFB，可得DE＝BF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，又由EF⊥BD，即可证得四边形BFDE是菱形．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，EF垂直平分BD∴AD//BC，OB＝OD，∵∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，∴△OED≌△OFB（SAS），∴DE＝BF，又∵ED//BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．【点晴】考查了平行四边形的性质、垂直平分线的性质和菱形的判定等知识点，证明简单的线段相等，一般是通过全等三角形来证明的．22．（1）证明见解析；（2）5：4．【详解】试题分析：（1）要证明FB2=FE•FA，只要证明△FBE∽△FAB即可，根据题目中的条件可以找到两个三角形相似的条件，本题得以解决；（2）根据（1）中的结论可以得到AE的长，然后根据△ABE与△BEF如果底边分别为AE和EF，则底边上的高相等，面积之比就是AE和EF的比值．试题解析：（1）∵AB∥CD，∴∠A=∠D．又∵∠CBF=∠D，∴∠A=∠CBF，∵∠BFE=∠AFB，∴△FBE∽△FAB，∴∴FB2=FE•FA；（2）∵FB2=FE•FA，BF=3，EF=2∴32=2×（2+AE）∴∴，∴△ABE与△BEF的面积之比为5：4．考点：相似三角形的判定与性质．23．（1）y＝；（2）18；（3）不存在，理由见解析【分析】（1）本题利用待定系数法将A点直接代入反比例函数解析式求解k即可．（2）本题需要过A点向y轴做垂线，继而利用BD与AD的线段关系确定点C的坐标，继而利用待定系数法求解直线AB解析式，进而确定点D坐标，最后利用三角形面积公式结合割补法求解三角形面积．（3）本题首先假设点C坐标，利用BC=AC题目已知结合勾股定理列一元二次方程，继而用根的判别式判定是否有解进而确定点C是否存在．【详解】（1）∵反比例函数（x＞0）的图象经过点A(3,4)，∴k＝xy＝3×4＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）作AE⊥y轴于点E，交CD于点F，如下图所示：则BE∥CD，∴，∵点A的坐标为(3,4)，∴EF＝1，FA＝2，∴点F的横坐标为1，∴点C的坐标为(1,12)，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2，则点D的坐标为：(1,0)，即CD＝12，∴．（3）不存在，理由如下：设点C的坐标为(m,)，∵BC＝AC，∴根据勾股定理：，整理得，6m2﹣21m+144＝0，△＝212﹣4×6×144＜0，则此方程无解，∴点C不存在．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合问题，待定系数法求解解析式为基础，当出现线段比例关系时往往需要结合相似知识确定线段长或点的坐标，但辅助线做法则需要根据大量做题以提升题感，勾股定理在几何求解当中极为常见．24．（1）120，12，36；（2）详见解析；（3）625【分析】（1）由A所占的百分比及参加A类活动课的人数可求得总人数，再由总人数及B和D所占的百分比即可求得a和b的值，（2）先求得E类活动课参加的人数，再补全条形统计图即可；（3）先求出抽样调查中喜爱“葫芦雕刻”的学生所占的百分比，即可求得全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．【详解】解：（1），，，故答案为：120，12，36；（2）类别的人数为：（人）补全条形统计图如图所示：（3）类别所占的百分比为：，（人）答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的