山西省晋中市2024-2025学年高二上学期1月期末调研测试数学试卷（解析版）

第1页/共1页晋中市2025年1月高二年级期末调研测试试卷数学考生注意：1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将直线方程化成斜截式，求出其斜率，再求直线的倾斜角.【详解】由，可得，故直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因，故.故选：D.2.2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪速度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的实际意义，对求导再代入求解即可.【详解】由题意，，故当时，该运动员的滑雪速度为.故选：B3.“”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据方程表示椭圆可得出的取值范围，再根据范围大小可得结果.【详解】若方程表示椭圆，则需满足，解得，显然是的真子集，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B4.在三棱柱中，，，，为平行四边形对角线的交点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的加减运算法则计算可得结果.【详解】如下图所示：易知.故选：C5.设等比数列满足，，则公比（）A.8 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】借助等比数列性质计算即可得.【详解】由题意可得，即.故选：D.6.在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求点到直线的距离即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，以为坐标原点，以、、分别为、、轴空间直角坐标系，，，，设点到直线的距离为，所以，，根据点到直线距离公式有：，所以.故选：C7.已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为f′x，若函数的图象如图所示，则（）A.的单调递减区间是B.的单调递增区间是−1,1，C.当时，有极值D.当时，f′【答案】A【解析】【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误.【详解】根据图象可知当时，，可得；当时，，可得；当时，，可得，且；对于AB，易知时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误；对于C，易知当时，，当时，，即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误；对于D，因为时，，可得，因此，即D错误.故选：A8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行关系利用对称性并结合双曲线定义，利用勾股定理构造方程可解得，可得其离心率.【详解】连接，延长与双曲线交于点，连接，如下图所示：由，根据对称性可知，又，所以四边形为矩形；由可设，则;由双曲线定义可知，所以，所以；又，所以；因为，在中，，且，所以，解得；即，所以；在中，，即，解得，即.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平行关系利用对称性，由双曲线定义和勾股定理计算得出的关系式，即可求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中，点，，，则（）A.B.异面直线与所成的角为C.点关于轴的对称点为D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】ACD【解析】【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用空间中点的对称性可判断C选项；利用空间向量法可判断BD选项.详解】对于A选项，，，所以，A对；对于B选项，，所以异面直线与所成的角余弦值为，故异面直线与所成的角不是，B错；对于C选项，点关于轴的对称点为，C对；对于D选项，易知平面为坐标平面，则平面的一个法向量为，所以，则直线与平面所成角正弦值为，D对.故选：ACD.10.若函数在上具有单调性，则函数可以是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】由题意可得或在上恒成立，逐个选项计算并判断即可得.【详解】，若函数在上具有单调性，由恒成立，则或在上恒成立，对A：，不满足题意，故A错误；对B：恒成立，故B正确；对C：，由，，不符，故C错误；对D：，由，故恒成立，故D正确.故选：BD.11.设是数列的前项和，则下列说法正确的是（）A.若是等差数列，且，则B.若是等差数列，则是与的等差中项C.若是等比数列，则是与的等比中项D.若是等比数列，且，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A由得即可判断，对于B等差数列的前项和为，所以数列为等差数列即可判断，对于C当公比时即可判断，对于D由即可得公比，计算建立方程即可求解.【详解】对于A：设数列的公差为，由有：，因为，所以，故A正确；对于B：因为是等差数列，是数列的前项和，所以，，所以数列为等差数列，，所以是与的等差中项，故B正确；对于C：若是等比数列，当公比时，，所以不是与的等比中项，故C错误；对于D：因为是等比数列，且，所以公比为，所以，解得，故D正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若曲线在点处的切线与直线垂直，则_____.【答案】【解析】【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解.【详解】因为，所以，所以，所以，直线的斜率为，因为，所以，故答案为：.13.已知直线与抛物线（）交于、两点，且，于点，点的坐标为，则______．【答案】【解析】【分析】由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程，由知，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数关系代入计算求出值.【详解】，，，，则直线的方程为：，即，设，联立，消去得：，，，，.故答案为：.14.已知数列的前项和为，若，且，则_____.【答案】4【解析】【分析】由题意利用递推关系式确定数列为隔项等差数列，然后结合的值可得的值.【详解】由题意可得：，，两式作差可得：①，进一步有：②，由①—②有：，故数列的偶数项为等差数列，且公差为2，据此可得：，即：，故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果；（2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果.【小问1详解】圆的圆心为，由圆心在直线上可得，即圆心；易知圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得；所以圆的方程为；【小问2详解】当切线斜率不存在时，过点的直线方程为，显然到的距离等于3，符合题意；当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为，则圆心到的距离为，解得；此时切线方程为，即；综上可知，切线的方程为或.16.如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，分别为棱，的中点，点在棱上，且满足，，.（1）判断，，，四点是否共面，若是，请用和表示，否则，请说明理由；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）,,,四点共面；（2）【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，只需要验证，，之间的关系即可判断四点是否共面；（2）分别求出两个平面的法向量，平面的夹角即为两个法向量所在直线的夹角.【小问1详解】由已知，底面是矩形，且底面，可得，，两两垂直，可以为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系：各点坐标如下：，，，，，由坐标计算可知，.故，，，四点共面，且.【小问2详解】由（1）中建立坐标系过程，易知平面，，另设平面的一个法向量为，可得，代入坐标得，令可得，则，设平面与平面的夹角为，.17.已知数列的前项和为，且满足，.（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助与的关系结合等比数列定义计算即可得；（2）借助错位相减法计算即可得.【小问1详解】当时，，则，即，当时，，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列，即；【小问2详解】，则，，则，故，故.18.已知函数.（1）若，且函数y=fx有极值2，求的值；（2）若，且不等式在0,+∞上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）代入求导，得出其单调性并求得极值表达式解方程可得的值；（2）分离参数，构造函数并求得的最大值，可求出实数的取值范围.【小问1详解】若，则，所以；当时，，因此在单调递减，当或时，，因此在，单调递增；即在处取得极大值，在处取得极小值；若函数的极大值为2，即，此时；若函数的极小值为2，即，此时；综上可得，或；小问2详解】若，则，所以不等式为在上恒成立，即在上恒成立，令，则；当时，，因此在单调递增，当时，，因此在单调递减；因此在处取得极大值，也是最大值，即，即满足题意，所以实数的取值范围为.19.在直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，它们的斜率之积为，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若斜率为且不经过原点直线与交于，两点，线段的中点为，直线的斜率记为，求的值；（3）在（2）的条件下，点为上一点，且不与的顶点重合，点关于轴的对称点为，若直线与关于直线对称，求证：，，三点共线.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用斜率的坐标公式列式化简即得.（2）根据给定条件，利用点差法列式，结合斜率的坐标公式求得答案.（3）设点及直线的斜率，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，结合（2）证得的斜率相等即可.