江苏省常州市溧阳市2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试题（解析版）

第1页/共1页期末调研测试高二数学试题2025.1注意事项：1.请将本试卷答案写在答题卡相应位置上；2.考试时间为120分钟，试卷总分为150分.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算出的值，由此可知准线方程.【详解】因为抛物线，所以，因为准线方程为，所以准线方程为，故选：D.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义直接得出结果.【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，解得.所以该直线的倾斜角为.故选：D3.圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离 C.内切 D.外切【答案】A【解析】【分析】求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，从而可得出结论.【详解】解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则两圆圆心距，因，所以两圆相交.故选：A.4.已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（）A.1 B. C.1或2 D.1或【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用数列前项和的意义，结合等比数列通项列式求解.【详解】在等比数列中，由，，得，则，所以或.故选：D5.在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（）A. B.5 C.10 D.40【答案】D【解析】【分析】根据通项特征即可求解得解.【详解】的通项为令，故，所以含项的二项式系数为，故选：D6.（）A.55 B.120 C.165 D.220【答案】C【解析】【分析】利用组合数的性质计算得解.【详解】.故选：C7.已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（）A.的实轴长为4 B.的两条渐近线夹角大于60°C.到的渐近线的距离为4 D.上的点到点的距离的最小值为2【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的性质直接求解即可.【详解】由双曲线方程为，得，所以，所以实轴长为，故A错误；双曲线的渐近线方程为，因为，所以渐近线的倾斜角大于小于，所以双曲线的两条渐近线夹角大于，故B正确；双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误；双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误.故选：B.8.若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围.【详解】依题意，由消去得：，,，解得，设，则，点，由直线的斜率小于，得，则，椭圆焦点在轴上，，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：C【点睛】关键点点睛：联立方程求出中点坐标，进而判断焦点位置是求解的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了下侧所示的列联表（个别数据暂用字母表示）：数学成绩性别合计男女优秀2770非优秀58110合计180经计算得：，参照下表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828则下列选项正确的为（）A.B.C.可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”D.没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”【答案】ABD【解析】【分析】利用列联表中数据计算判断AB；结合的观测值及临界值表判断CD.【详解】对于AB，由列联表知，，AB正确；对于CD，由知，C错误，D正确.故选：ABD.10.已知是各项均为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等比数列C.数列是公差为1的等差数列 D.数列的前项和不超过【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，求出数列首项公比，再逐项求解判断得解.【详解】等比数列中，，而，则数列单调递减，由，得，又，解得，对于A，，解得，A正确；对于B，，数列不是等比数列，B错误；对于C，，则，，数列是公差为1的等差数列，C正确；对于D，，数列的前项和，，D正确.故选：ACD11.已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，动点形成轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.曲线是中心对称图形B.C.直线斜率的取值范围为D.若，则的面积为【答案】ACD【解析】【分析】根据斜率公式即可求解方程，代入可判定A,根据两点距离公式即可求解B，根据斜率公式即可求解C，根据垂直的坐标关系，求解，，即可求解D.【详解】设，则，化简可得，由于，故，对于A，满足，故曲线是中心对称图形，A正确，对于B,，当且仅当取到等号，由于，故B错误，对于C,，故C正确，对于D，由可得，故，联立与可得，故，故,故D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：根据可得，故，求，.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同选法共有______种．【答案】【解析】【分析】由于两人选修的课程不同，属于排列问题，计算结果即可.【详解】2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，

则有种.

故答案为：.13.在等差数列中，已知，，则________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解.【详解】在等差数列中，由，得，即，解得，而，所以.故答案为：14.如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为________.【答案】3【解析】【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积.【详解】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则，可得，可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支，因为，若，则，可得，即，可得，所以的面积为.故答案为：3.【点睛】关键点点睛：根据题意结合对称性分析可知，则的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支，进而可得面积.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆，，为坐标原点.（1）若在圆内，求实数的取值范围；（2）若直线与圆相切，求实数的值，【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用点与圆的位置关系列式求解.（2）求出直线的方程，利用切线性质，结合点到直线距离公式计算得解.【小问1详解】圆，则，由在圆内，得，解得，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由（1）知，圆的圆心，半径，直线方程为：，即，由直线与圆相切，得，解得，所以实数的值为.16.已知.（1）若，求的值；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）9；（2）.【解析】【分析】（1）利用二项式定理求出，进而列式求出值.（2）利用赋值法求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求出.【小问1详解】依题意，，所以.【小问2详解】当时，，则，，所以数列的前项和.17.某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表.耕种深度81012141618每公顷产量67891113（1）求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强线性相关性；（2）求经验回归方程.参考数据：；参考公式：，，.【答案】（1），有较强的线性相关性，（2）【解析】【分析】（1）根据相关系数的公式即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解.【小问1详解】由题意可知，，故，故有较强的线性相关性，【小问2详解】，故，将代入可得，故回归直线方程为18.已知为数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为.①求数列的通项公式；②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）①；②不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）由可得；（2）①由等差数列可得，进而可得；②根据错位相减法可得，进而可得，由，，得，进而可得.【小问1详解】当时，，得，当时，，得，故为首项为，公比为的等比数列，故.【小问2详解】由题意，得，得.由可得，故，，上面两式相减可得，得，，由题意，，得，得，化简得，得，这与成等差数列相矛盾，故不存在这样的3项.19.已知圆的圆心在轴上，且过，两点，抛物线与圆有且只有一个交点.（1）求圆的标准方程；（2）求的最小值；（3）当取最小值时，过抛物线上的点作圆的两条切线，它们分别交于点，（，均异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.【答案】（1）；（2）1（3）为定值4，证明见解析.【解析】【分析】（1）设，由题意建立关于a的等量关系求出a即可得解；（2）联立圆与抛物线方程，求出交点横坐标，由抛物线与圆有且只有一个交点得关于a的不等式即可求解；（3）设和过点M的圆E的切线方程为，由圆心到切线距离为半径1结合点到直线距离公式整理得方程，进而得两切线斜率满足，接着设，分别由两切线与抛物线联立依次求出和，再由计算即可得证.【小问1详解】由题可设，则，解得，所以圆心，半径，所以圆的标准方程为.【小问2详解】联立或，因为抛物线与圆有