高考数学高考中的分段函数（六大题型）（解析版）

特训15高考中的分段函数（六大题型）1.根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时，应根据分段函数各段的定义域分类讨论，结合各段的函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域．2．分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．3．分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．目录：01分段函数02求参数范围03解不等式04零点、方程根等问题05导数与分段函数06分段函数的综合辨析01分段函数1．函数的值域为.【答案】【分析】分和两种情况，结合幂函数以及指数函数单调性求值域.【解析】解：当时，单调递减，所以函数的值域为，当时，单调递增，所以函数的值域为，综上所述，函数的值域为.故答案为：2．已知函数为奇函数，则等于（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出值即可.【解析】依题意，当时，，则，而当时，，因此，则，，当时，，则，又，于是，，所以，所以.故选：C3．定义在上的函数满足，则，.【答案】1【分析】由分段函数的性质知，从而得到函数的周期为6，再计算相关值即可.【解析】因为，所以，则，故，即函数的周期，则，.故答案为：1；.02求参数范围4．若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数函数性质判断上的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围.【解析】当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，则在上单调递增，且，当时，在上单调递增，满足题设；当时，在上单调递增，此时只需，即；综上，.故选：A5．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】两段函数都要增，在1附近也要增，列不等式组求解即可.【解析】是R上的增函数，则要满足：，解得.故选：B.6．已知，在R上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件，当时，得到，由题知在上恒成立，利用基本不等式，得到，从而有，再根据题设有，即可求解.【解析】因为，当时，，，所以时，，即在区间1,+∞上单调递增，当时，，所以，由题知在−∞,1上恒成立，即在−∞,1又，当且仅当，即时取等号，所以，又由，得到，所以，故选：A.7．函数在R上单调，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解.【解析】由题意，函数在上单调递增，当时，，依题需使恒成立，则；当时，由在上递增，需使在上恒成立，则，即；又由在上递增，可得，解得.综上可得，的取值范围是.故选：C.8．已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解.【解析】当时，则，且，所以，若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，若，则在内单调递减，可得，不合题意；若，则在内单调递增，可得，则，解得；综上所述：实数a的取值范围是.故选：B.9．已知分段函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过分段函数的单调性，结合区间，转化求解的取值范围即可.【解析】分段函数的图象如下：

函数的单调增区间为：，，所以分段函数在区间上单调递增，则或，解得：或，故选：D10．已知函数在区间内单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，需在上单调递增，且，利用二次函数的性质分类讨论可求的取值范围.【解析】易知当时，单调递增，由题意，需在上单调递增，且，即．若，则，解得；若，则，满足题意；若，则恒成立．综上，的取值范围是．故选：A.11．已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.【解析】对任意，当时都有成立，所以函数在上是增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.03解不等式12．已知函数若，则实数a的取值范围是【答案】【分析】作出函数y=fx的图象，从而得y=fx在R上单调递增，令，可得上在R上单调递增，将问题转化为，即可得答案.【解析】因为当时，，,当时，，,又，综上，为R上的奇函数，当时，，由二次函数的性质可知此时函数在上单调递增，又因为为R上的奇函数，所以函数y=fx在R作出函数y=fx令，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，则上在R上单调递增，且，则将原不等式转化为，解得,所以a的取值范围是0,+∞故答案为：0,+∞13．已知且，则满足不等式的x的取值范围是．【答案】【分析】先利用导数研究的单调性，从而得出的单调性，再构造判定其单调性，解不等式即可.【解析】易知，则时，，单调递增，而，所以在上单调递增，且，故有在R上单调递增，由复合函数单调性知在R上单调递减，令，则Fx在R上单调递增，又，故．故答案为：.14．已知函数，若，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】先根据对数函数和一次函数的单调性判断分段函数的单调性，然后根据函数单调性解不等式即可求解.【解析】因为当x∈0,2时，是单调递增函数，此时fx当x∈2,+∞时，fx

所以是定义在0,+∞上的单调递增函数，所以若fa+1−f2a−1则a+1≥2a−1>0，解得.故答案为：04零点、方程根等问题15．已知，则方程实数根的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由方程先求出或或，再解方程即可．【解析】解：①当时，，解得，，或，或，故或；②若，则，或，或，若，则或，则或或；若，则或，则（舍去）或或，综上所述，方程实数根的个数是7，故选：C．16．已函数则函数的零点个数为.【答案】6【分析】根据函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，在同一坐标系下画出与的图象，由此求出结果．【解析】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，当时，，所以，所以当时，是周期为4的函数；当时，；所以的图象如图所示，在同一坐标系下画出的图象，因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点．故答案为：6．

17．已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若，将问题转化为曲线与直线的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得，，，结合对勾函数的性质求范围即可．【解析】令，则或，令，则或，由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为．作出的草图如下，令，不妨设，则，，，为曲线与直线的交点横坐标，由图知：，且，则，由对勾函数可知在上递减，故，故.故选：C18．已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据的性质画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数y=fx与有4个交点，数形结合即可求解.【解析】当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称作出函数图象：

因为函数仅有4个零点，所以函数y=fx与有4个交点，根据图象可知：，即实数的取值范围是.故选：A.19．已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得范围.【解析】作出的函数图象如图所示：表示点与点所在直线的斜率，可得曲线上只有一个点（x为整数）和点所在直线的斜率小于0，而点在动直线上运动，由，，，，且为整数，可得当时，至少有点两个点满足，不满足题意；当时，只有点满足，满足题意；当时，只有点满足，满足题意；当时，至少有两个点满足，不满足题意；综上所述，由a为整数，可得a的取值集合为.故选：A.20．已知，若互不相等且，且，则的范围是．【答案】【分析】画出函数的大致图象，根据图象知，，且，，再建立的函数并结合对勾函数求出范围.【解析】函数在，上单调递减，在上单调递增，，画出的图象，如图，因为，由，得，，，由，得，即，由，得，于是，由对勾函数性质知，在上递增，则，所以的范围是．故答案为：21．设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，()，则的取值范围是．【答案】【分析】画出的图象，得到，，并解得，因为的两根为和，所以，，故，换元后求出取值范围.【解析】画出函数的图象，如下图：因为关于x的方程恰有3个不同的实数根()，则，，，所以或（舍去），又，即的两根为和，所以，，，，，令，则，因为，所以，即，，当时，取得最小值，最小值为，又或3时，，所以．故答案为：【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.05导数与分段函数22．设，满足，则．【答案】2【分析】根据式子结构，构造同构的形式，定义函数，判断出在R上单调递增且为奇函数，即可得到，即可求出结果.【解析】可化为，记，函数定义域为R.因为，所以在R上单调递增.又，所以为奇函数.所以由可得，所以.故答案为：2.23．若函数的图象存在垂直于轴的切线，又，且有，则的最小值为.【答案】3【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义可得有解，由此求出的最小值，再由分段求出的值即可得解.【解析】依题意，函数的定义域为，求导得，由函数的图象存在垂直于轴的切线，则存在，使得成立，因此，当且仅当，即时取等号，又，即，则，所以的最小值为3.故答案为：306分段函数的综合辨析24．已知函数，给出下列四个结论：①对任意实数，函数总存在零点；②存在实数，使得函数恒大于0；③对任意实数，函数一定存在最小值；④存在实数，使得函数在上始终单调递减.其中所有正确结论的序号是.【答案】①④【分析】根据二次函数以及对数函数的性质即可求解零点，结合函数图象即可求解①，根据时，当时，，以及时，由于，即可判断②，根据，结合二次函数的性质即可求解③，根据时，对数函数的性质即可判断④.【解析】令，则或，令，则，且和的图象分别如下所示：当时，的零点有和，当时，的零点有，故①正确，对于②,当时，当时，，不满足题意，当时，由于，不满足恒大于0；故不存在实数，使得函数恒大于0，②错误，对于③,当时，的图象如下所示：此时不存在最小值；故③错误对于④，当，图象如下：函数在上始终单调递减.故④正确故答案为：①④25．已知函数，．给出下列四个结论：①存在m，使得没有最值；②不存在m，使得有单调减区间；③当时，函数只有两个零点；④当时，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】对于①，取画出函数图象可以判断；对于②，当时，函数在单调递减；对于③，当时，画出函数图象，判断其与有多少个交点即可；对于④，当时画出函数图像，数形结合求解范围即可.【解析】对于①，取时，图象如图所示：

此时函数不存在最值，故①正确；对于②，当时，的图象大致如下：

函数在上单调递减，故②错误；对于③，当时，图象如图所示：

此函数y=f(x)的图象与只有两个交点，所以函数只有两个零点，故③正确；对于④，当时，图象如图所示：

因为,不妨设,则有,又因为关于对称，所以,所以,故④正确.故答案为：①③④26．已知函数，给出下列四个结论.①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为②关于x的方程有个不同的解③对于实数，不等式恒成立④当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】分区间讨论去掉绝对值号，作出函数图象，数形结合可判断①，特殊化取可判断②，由数形结合判断③，借助图象归纳规律可判断④.【解析】当时，；当时，；当，则，；当，则，；当，则，；当，则，；依次类推，作出函数的图像：对于①，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m，l的斜率之间，又，，，故①正确；对于②，当时，有3个交点，与不符合，故②错误；对于③，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故③正确；对于④，当时，由图象可知：所求图象为高为的三角形，所以函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故④正确；故答案为：①③④【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.27．已知函数若关于的方程有个不等的实根，且，则下列结论正确的是（

）A．当时， B．当时，的取值范围为C．当时， D．当时，的取值范围为【答案】C【分析】令，求出方程的两根，数形结合可判断A选项；根据零点个数得出关于的不等式组，求出的范围，可判断BD选项；利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项.【解析】令，则，，A.当时，，，由有解，有4解，故，A错；B.当时，则方程、各有一解，当时，，当且仅当时，等号成立，由图可得，解得，B错；C.当时，如下图所示：由图象可知，点、关于直线对称，则，由图可知，，，由可得，所以，，则，因此，，C对；D.当时，有两种情况：或，从而可得的范围为，D错.故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.一、单选题1．（2017·山西吕梁·一模）已知函数，则的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】考虑和两种情况，根据二次函数性质结合均值不等式计算得到答案.【解析】当时，；当时，，当时等号成立.故函数值域为.故选：B.【点睛】本题考查了函数值域，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．（2018·江西南昌·一模）设函数，若是f(x)的最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，求得的范围；再求得的单调性，讨论，时函数在的最小值，即可得到所求范围．【解析】解：函数，若，可得，由是的最小值，由于可得在单调递增，在单调递减，若，，则在处取得最小值，不符题意；若，，则在处取得最小值，且，解得，综上可得的范围是，．故选：．【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．3．（2019·福建龙岩·三模）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断函数单调性和对称性，根据对称性和单调性得出和距离对称轴的远近关系，列不等式求出解集．【解析】解：函数，画出函数的图象知，关于对称，且在，上是单调减函数；，且恒成立，，即，当时，不等式化为：，即，解得，即；当时，不等式化为：，即，解得或，即或；综上，时，实数的取值范围是，，．故选：．【点睛】本题考查了函数对称性、单调性的判断与应用，以及分类讨论绝对值不等式和一元二次不等式的解法，属于中档题．4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案.【解析】的值域为，且，当时，则，为增函数，，而时，为增函数，此时，，不符题意；当时，则，为减函数，，而时，为减函数，此时，，因为的值域为，当且仅当时，满足题意，此时，，则，整理得，，解得；综上，时满足题意.故选：A5．（2020·浙江绍兴·二模）已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】画出函数图像，讨论，，三种情况，根据图像得到或，解得答案.【解析】如图所示，画出函数图像，当时，，即，故，即，即；当时，易知不满足；当时，，即，故，即.综上所述：或.故选：B.【点睛】本题考查了函数不等式的整数解问题，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力，画出图像是解题的关键.6．（2023·山西·模拟预测）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解.【解析】由题意可知所以，，，而无解.故选：C.7．（2017·河北衡水·一模）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】求出在，上的值域，利用的性质得出在，上的值域，再求出在，上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围【解析】解：当时，，可得在，上单调递减，在上单调递增，在，上的值域为，，在上的值域为，，在上的值域为，，，，在上的值域为，，当时，为增函数，在，上的值域为，，，解得；当时，为减函数，在，上的值域为，，，解得；当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，的范围是或．故选：．【点睛】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．8．（2020·江苏无锡·模拟预测）已知函数，其中表示不超过x的最大整数.设，定义函数，则下列说法正确的有（

）个.①的定义域为；②设，，则；③；④，则M中至少含有8个元素.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先对分两段和化简，再对各项分析判断正误：对①，由，分段解不等式，求得函数的定义域，判断正误；对②，由题中的对应法则，求出集合，判断正误；对③，计算得到其周期性，计算得到，判断正误；对④，综合①②③的分析，判断正误.【解析】当时，；当时，，则对①，有，则或，得，即定义域为，故①正确；对②，当时，成立；当时，成立；当时，成立，所以故②项正确。对③，，，，一般地即有故③错误；对④，由①可知,所以则所以，由②知,对恒有所以则，由③知，对恒有所以综上所述,，所以中至少含有8个元素，故④正确。故选：C.【点睛】本题考查了函数的概念及性质的应用，考查了新定义函数的理解与应用，考查了学生分析理解能力，逻辑推理能力，难度较大.二、多选题9．（23-24高一上·云南昆明·期中）函数，则下列结论正确的是（

）A． B．的值域为C．是偶函数 D．，【答案】AC【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.【解析】，，，A正确；，则的值域为，B错误；时，，，，所以，时，，，，，所以为偶函数，C正确；时，取，此时，，则，D错误.故选：AC10．（2023·河北·一模）已知符号函数，偶函数满足，当时，，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用函数的周期性及给定函数，求出函数的值域，再结合符号函数逐项判断作答.【解析】当时，，而是偶函数，则当，，因此当时，，其取值集合为，又，即是周期为2的函数，于是函数的值域为，的部分图象，如图，

当时，，A错误；，B错误；当时，，C正确；当时，取，则，此时，D错误.故选：ABD11．（2023·广东韶关·模拟预测）已知是周期为4的奇函数，且当时，.设，则（

）A．函数是奇函数也是周期函数B．函数的最大值为1C．函数在区间上单调递减D．函数的图象有对称中心也有对称轴【答案】BCD【分析】根据判断判断奇函数，判断周期性，求出在的解析式，根据图象平移写出在上解析式并判断奇偶性，进而可得解析式，结合周期性判断B、C，最后利用、判断D.【解析】由，令，则，故；令，则，故；所以，综上，一个周期内，由，而，故不是奇函数，但周期为4，A错；所以，是将图象右移一个单位，故在一个周期图象如下：

由图象平移知：，且为偶函数，所以，故的最大值为1，B对；由周期性知：在上单调性同区间，即单调递减，C对；由，由，注意：根据周期性有、，综上，关于中心对称、关于轴对称，D对.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用奇函数、周期性判断的奇偶性、周期性，再应用奇偶性求解析式，结合图象写出解析式，最后求出在一个周期内的解析式关键.12．（2024·广东佛山·模拟预测）函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是，已知，．下列四个判断中，正确的有（

）A．当时，的值只有0或B．当时，函数既有对称轴又有对称中心C．对于给定的正整数，存在，使得成立D．当时，对于给定的正整数，不存在且，使得成立【答案】BC【分析】A选项，，当时，，，求出的值域为，进而得到，A错误；B选项，由于为平移得到，故的最小正周期也为，故只需研究即可，当时，，，推出关于轴对称，结合为奇函数，得到关于对称，同理可得也满足要求，B正确；C选项，推出的图象关于点对称，的图象关于直线对称，故，分为偶数和为奇数两种情况，得到C正确；D选项，先得到函数的图象关于轴对称，在C选项基础上，得到时，，此时，D错误.【解析】选项A，当时，，，当时，，当时，，故时，的值域为，又为奇函数，故当时，的值域为，故，为平移得到，故的最小正周期也为，故函数的最小正周期为，故函数值域为，故A错误；B选项，由于为平移得到，故的最小正周期也为，故只需研究即可，当时，，，当时，，此时，当时，，此时，故，由于为连续函数，故，故的图象在上关于直线对称，又为奇函数，最小正周期为，结合图象可知，在图象在R上关于直线对称，所以，令，则，将用替换，有，故，所以关于轴对称，又为奇函数，故，所以，又，故，故，故关于对称，所以既有对称轴，又有对称中心，当时，同理可得既有对称轴，又有对称中心，B正确；C选项，取，则，由于为奇函数，故，又的最小正周期为，故，即，即，故的图象关于点对称，由B选项知，的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，所以，，所以，当为偶数时，，所以，当为奇数时，，所以，C正确；D选项，由于，所以成立，，故，即，故在上，又的图象关于直线对称，且最小正周期为，故函数的图象关于轴对称，所以，而成立，所以，故存在成立，D错误.故选：BC【点睛】结论点睛：函数的对称性：若，则函数关于中心对称，若，则函数关于对称，三、填空题13．（2024·浙江·一模）若函数是R上的偶函数，则．【答案】1【分析】根据函数是上的偶函数，利用特殊值可得答案.【解析】若函数是上的偶函数，则有，即，解得，当时，此时，，当时，，，当时，，，所以函数是上的偶函数，符合题意，则.故答案为：1.14．（2021·北京海淀·模拟预测）已知①当时，的值域为；②若，则x的取值范围为．【答案】或【分析】根据二次函数性质可求解值域；解不等式即可求x的取值范围.【解析】①当时,,时，，时，，对称轴为，所以，所以，所以函数的值域为或.②时，无解，因为，时，恒成立，所以x的取值范围为.故答案为:或；.15．（2020·天津·二模）已知，若对任意，不等式恒成立，则非零实数的取值范围是.【答案】.【分析】由分段函数得，将不等式恒成立问题转化为对任意，，不等式恒成立，由的单调性得到，运用参数分离，以及函数的单调性，求出的范围．【解析】，，对任意，，不等式恒成立，即对任意，，不等式恒成立，在上是增函数，，即，又，，当时，取最小值，，解得，又，即，故，故答案为：，．【点睛】本题考查分段函数及应用、不等式的解法及恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意