浙江省温州市2025届高三下学期学业水平评估数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省温州市2025届高三下学期学业水平评估数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数对应的点为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，所以.故选：C.2.已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误；对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确；对于C，，故共面，不符合要求，故C错误；对于D，，故共面，不符合要求，故D错误；故选：B.3.圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】易知抛物线的准线方程为；圆心到准线的距离为，所以该圆的半径为2；所以圆的方程为.故选：C.4.已知4名学生的期中考试数学成绩分别为98，110，m，120，且上四分位数为118，则（）A.115 B.116 C.117 D.118【答案】B【解析】由题意，上四分位数为98，110，m，120从小到大排列的第3、4位的平均数，当时，上四分位数为不合题意；当时，上四分位数为，解得，满足题意.故选：B.5.已知数列满足，则数列中的最小项为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可知为等差数列，且公差为2，首项为，因此，由于且，故中的最小项为，故选：B6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】由于，故为锐角，故,故故选：B.7.如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成，A，B，C，D为其中的4个格点，在9个格点中依次取不同的两点P，Q，则概率等于的事件是（）A. B.C. D.条件下，【答案】BD【解析】由于向量是有方向和大小的量，所以在9个格点中依次取不同的两点共有个不同的向量，对于A，，由于，故，且方向相同，所以只能在只能在,只有这一种情况，故，A错误，对于B，由于，所以可以为共18种，所以，B正确，对于C，，则，故可以为共4种，所以，C错误，对于D，在条件下，可以为共16种,满足有，故概率为，D正确，故选：BD.8.已知函数与（且）在上都是增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】若，则，从而不是上的增函数，不满足条件；若，则对有，且.所以和都是上的增函数，满足条件.若，则.取，则，从而对有.从而在上递减，不满足条件.综上，的取值范围是.故选：B.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知实数a，b满足，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由可知，，故AB正确；由于，故，C正确；时，故D错误；故选：ABC.10.将下列平面四边形中的沿对角线翻折成，使二面角为直二面角，其中四面体的外接球的半径等于2的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，如图：,解得，故A正确；对于B，底面圆的半径为,而，故B错误；对于C，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，故的中点即为球心，故；故C正确；对于D，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，取中点为，中点为,则,结合二面角为直二面角，是两平面的交线，故平面，平面，故,因此,故的中点即为球心，故，D正确.故选：ACD.11.给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（）A.是“广义等差集合”B.是“广义等差集合”C.若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4D.若P不是“广义等差集合”，若最大值为4，则n可以是13【答案】ABC【解析】对于A,取，则符合“广义等差集合”定义，故A正确，对于B，取故B正确，对于C，当时，，如时，设，由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确，对于D当时，取，这与矛盾，故D错误，故选：ABC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知二项式的展开式：，则___________．【答案】【解析】由题意，，故.故答案为：13.若角的终边逆时针旋转后经过点，则____________．【答案】或0.6【解析】由题意可知，故，故答案为：.14.已知P为椭圆上一点，分别为椭圆的左，右焦点，直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若，则椭圆的离心率等于____________．【答案】或【解析】取的中点为，设，则,由余弦定理可得.，故，又，故，进而可得，因此，故，又，故，因此，故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在处的切线垂直于轴．（1）求实数的值；（2）求函数的极小值．解：（1）由可得，则，由于，故，（2），当或时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极小值为16.为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，抽取了200名高三年级的学生，统计数据，整理得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：性别身高合计低于不低于女m20

男50n

合计

200（1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中m，n的值；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为高三年级学生的性别与身高是否低于有关联？（3）用样本频率估计总体的概率，在全市不低于的学生中随机抽取2人，其中不低于的人数记为，求的期望．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：，解：（1）由图可知：低于170cm的学生有名，则不低于170cm的学生有90名，从而，（2）由题意可得性别身高合计低于不低于女602080男5070120合计11090200故，故认为高三年级学生的性别与身高是否低于有关联.（3）可以取0，1，2，抽中不低于175cm的概率为，故,故17.如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），底面为直角梯形，．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，直线与平面所成的角为．①求的值；②当时，求的最小值．（1）证明：由于平面平面故由于底面为直角梯形，故，过，且与相交于，则，又，故,所以,由于平面，，所以平面，（2）解：①由题意可知，过作的垂线，垂足为,连接,由于平面平面故,平面，故平面，平面，故，故为二面角的平面角，所以从而，②以为原点，以为轴，以过且垂直于平面的直线为轴建系，则，设，从而设平面法向量为，则，令，则，而平面的法向量为，所以即，又，代入上式可得，当且仅当时等号成立，故的最小值为，18.已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的左支交于点，过再作斜率为的直线与C的右支交于点．（1）求双曲线C的方程；（2）用表示点的坐标；（3）求证：数列是等比数列．（1）解：由题意可得，解得，所以双曲线C的方程为：（2）解：过作斜率为的直线方程为，联立其与双曲线方程可得，设,由于在抛物线上，所以则，所以，故（3）证明：设，由于在双曲线上，所以，则，化简可得，，故，所以，,所以，故是等比数列.19.已知函数．（1）当时，判断的奇偶性；（2）当为偶数时，方程有解，求的最小值；（3）若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当时，，则，故为偶函数，（2）当n为偶数时，由于，则的周期为，且关于对称，所以只需要讨论在上的值域，由于