江苏省淮安市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省淮安市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】或，所以．故选：D.2.已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设幂函数的解析式为：，因其图象经过点，则得，解得，于是，则该函数的定义域为，关于原点对称，因，故函数为偶函数，图象关于y轴对称.故选：B.3.已知α的终边经过点，且，则＝（）A. B.C. D.2【答案】A【解析】因为α的终边经过点，且，所以，再由，解得，由正切函数定义得：，故选：A.4.已知扇形OAB的周长为8cm，圆心角，则该扇形中弦长（）A.2cm B.4cmC.2sin1cm D.4sin1cm【答案】D【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，由已知得，解得，则弦长（cm）．故选：D.5.如果是实数，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，不妨设，则.而当时，可能，此时，而.综上所述“”是“”的充分不必要条件.6.已知关于x的一元二次方程的两根为sinα，cosα，则m的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】关于x的一元二次方程的两根为，可得m，又由韦达定理可得所以解得即m．故选：C.7.已知函数，，若，则的最小值为（）A.9 B. C.3 D.【答案】B【解析】由题设，又，得，整理得，且，则，u所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选：B.8.已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，作出函数的图象，如图所示：关于x的方程至少有两个不等的实根，即关于x的方程至少有两个不同的交点，所以，当时，令，解得，当时，令，解得，所以，解得．故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】A中，因为，可得，所以，所以A正确；B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确；C中，，因为，，而，所以，即，所以C正确；D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确．故选：AC.10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（）A.点P所满足的函数表达式为B.点P第一次到达最高点需用时5秒C.P再次接触水面需用时10秒D.当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米【答案】BC【解析】函数中，所以，时，，解得，因为，所以，所以，A错误；令得，则，解得，所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．故选：BC.11.已知函数，下列说法正确的有（）A.函数为奇函数B.函数的周期为πC.函数在区间上为增函数D.当时，函数的图象恒在直线的下方【答案】ACD【解析】对于A，函数的定义域为R，有，则为奇函数，故A正确；对于B，因，故π不是函数的周期，故B错误；对于C，因，当时，为增函数且，由复合函数的单调性知，也是增函数，故在上递增，，又由为奇函数，则在区间上为增函数，故C正确；对于D，，当时，由函数与的图象（如图）可知：，因，则有恒成立，故，即函数的图象恒在直线的下方，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12._______．【答案】【解析】故答案为：.13.已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则_________．【答案】【解析】因函数为奇函数，，函数关于x＝1对称，则有，则有，变形可得，则有，即4是函数的一个周期，则，又由当时，，则，则.故答案为：.14.已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为_______．【答案】【解析】对，均有或，令，解得，故当时需要，易得二次函数的对称轴为，故需确保且右边根，,解得，，解得，综上，①；再分析存在当时，，故存在，，故左边根，解得②，综合①②取交集，可得，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，．（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（1）集合，当时，，所以.（2）由“”是“”的充分不必要条件，得集合B是A的真子集，而，则或，解得或，所以实数a的取值范围是.16.已知第三象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为为第三象限角，且，所以，解得（正值舍去），所以；（2）17.已知函数的图象过点.（1）求实数的值；（2）证明：函数为偶函数；（3）求关于的不等式的解集．（1）解：函数的图象过点，所以，即，，则，则，所以；（2）证明：函数，故为偶函数；（3）解：不等式可化为，即，解得，所以，故不等式的解集为．18.如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为．（1）求函数的解析式；（2）设在上的两个零点为，求的值；（3）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在[0,b]（）上至少有10个零点，求最小正整数b．解：（1）因为，得到，所以的一条对称轴为，此时，则，从而解得，又，且，得．从而；（2）由题意得，令，得到，因为，，所以，解得，从而；（3）根据图象平移得，令，则或，由在[0,b]（）上至少有10个零点，易知，则，所以，又b为正整数，故最小正整数b为10．19.已知函数，．（1）若方程有4解，求a的取值范围；（2）对恒成立，求a的取值范围；（3）对，恒成立，求λ的取值范围．解：（1）令，且函数最小值，则在上存在两个不等的实数解，所以且，解得，即