广东省18校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省18校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则以下正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误；对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确；对于C，为集合，是有序数对，故C错误；对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误.故选：B2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由特称命题的否定可得命题“”的否定为.故选：C.3.若函数有一个零点是1，则函数的零点是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可得，可得；可得，令，因此，解得或或；因此函数的零点是.故选：D4.若幂函数在上是单调递增的，则（）A. B.C.在上是单调递增函数 D.是偶函数【答案】C【解析】由题意得且，解得或（舍去），故，A选项，，A错误；B选项，，B错误；C选项，在R上单调递增，故在上是单调递增函数，C正确；D选项，，故不是偶函数，D错误.故选：C5.已知，且是方程的两根，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在区间内，，.已知和是方程的两根，根据韦达定理有，.因为，所以.又因为，所以.则.所以，又，即，解得故选：C.6.已知某扇形的圆心角为，周长为10，设甲：为第二象限角；乙：该扇形的面积为6，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件【答案】D【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，解得或，所以当时，（弧度），其为第二象限角；当时，（弧度），其不是第二象限角，又第二象限角的范围为，所以甲无法推出乙，乙也无法推出甲.故选：D.7.函数的值域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，则，则原函数可化为，因为，所以，当且仅当即时取等号，所以当时，；当时，，所以函数的值域为；故选：C.8.已知一个质点在一个单位圆上按逆时针方向作匀速运动，其在轴上的投影到原点的位移，若初始位移为，随后一段时间内位移开始增加，又质点运动一圈的时间为，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由质点运动一圈时间为可得，由初始位移为可得，因为，所以，因为随后一段时间内位移开始增加，所以，所以即，由余弦函数性质可得，因为，所以，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若是第一象限角，则下面选项中一定为正值的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】因为是第一象限角，所以，则，，所以，不确定，，，故选：ACD10.已知函数的最小正周期为，是奇函数，则（）A.B.的图象关于直线对称C.在上单调递减D.将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象【答案】ABD【解析】由题意可知，解得，又是奇函数，可得，即，又，可得，即可得A正确；对于B，因此可得，当时，可得，取得最小值，因此的图象关于直线对称，即B正确；对于C，当时，，由正弦函数的单调性可得在上不是单调递减的，即C错误；对于D，将的图象向左平移个单位长度后得到，即D正确.故选：ABD11.已知的定义域为，，且，则（）A. B.为偶函数C.的图象关于点中心对称 D.【答案】BCD【解析】对于A，令可得：，结合，所以，A错误；对于B，令，可得，由A可得：，即，偶函数，B正确；对于C，令，可得，可得：，再令，可得，所以，所以的图象关于点中心对称，C正确；对于D:由，可得：结合可得：，所以，周期为2，D正确；故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是上的增函数，则的取值范围是____________．【答案】【解析】根据题意，可得，解得.所以的取值范围是.故答案为：.13.设光线通过一块玻璃，强度损失，如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为___________.（参考数据：）【答案】11【解析】由题意得：，由于，所以有，两边取常用对数得：，因为，所以有，即至少通过这样的玻璃11块.故答案为：11.14.已知函数，若，则的取值范围为___________，若恒成立，则的最大值为___________.【答案】6【解析】函数的定义域为，因为，所以函数是偶函数，当时，令，由于函数在上单调递增，而函数是增函数，所以函数在上单调递增，由于，所以，所以，整理得，解得或，所以的取值范围为；又，当且仅当，即时取等号，所以，不等式可化为，所以恒成立，而，当且仅当，即时取等号，因此，所以的最大值为6.故答案为：；6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.设集合．（1）若，求；（2）若，求的取值范围．解：（1），所以，或，若，，所以.（2）因为，所以，解得.16.计算以下的值：（1）；（2）；（3）化简：已知，求.解：（1）原式.（2）原式.（3）由，得，即，所以.17.已知.（1）将化为的形式，并求出在上的单调递增区间；（2）设，求的值.解：（1），即，当且仅当，即时，单调递增，所以在上的单调递增区间为.（2）因为，所以，因为，即，所以，，所以.18.舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：天数123舆论场指数1248156为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0.（1）请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；（2）运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数；（3）若本次舆情不是严重的，求的最小值.解：（1）③；根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③；（2）将表格数据代入，得，，解得，故函数为，则第4天时的舆论场指数为.（3）若本次舆情不是严重的，则恒成立，原式等于，故两边同时除以，得到，不妨设，故原式等于，整理得，由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可，代入得，解得，故的最小值为.19.已知函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，其中分别为奇函数、偶函数.（1）求在上的最大值；（2）求证：；（3）求证：仅有1个零点，且.（1）证明：由已知得，，，所以，所以，所以在上单调递增，所以在上的值域为，即最大值为.（