高考数学重难点培优全攻略(新高考专用)微重点10　离心率的范围问题(3大考点+强化训练)(原卷版+解析)

微重点10离心率的范围问题（3大考点+强化训练）圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点分类讲解考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．【例1】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A，B，弦AB的中点为M且.若过原点O与点M的直线的斜率不小于，则双曲线E的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3】(2023·亳州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为__________．考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．【例2】（2024·陕西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线：，椭圆与抛物线相交于不同的两点，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点P，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线，且椭圆与抛物线相交于两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围为()A．(1,1＋eq\r(2)) B．(1,1＋eq\r(3))C．(1,1＋eq\r(2)] D．(1,1＋eq\r(3)]考点三利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．【例3】(2023·无锡模拟)已知点P在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若d1d2≤eq\f(1,2)|OP|2恒成立，则C的离心率的最大值为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)【变式1】（2022高三上·河南·专题练习）已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24高三上·广东·阶段练习）过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，点为坐标原点，若，又直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3】（2023·陕西西安·模拟预测）已知两动点，在椭圆：上，动点P在直线上，若恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．强化训练一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023·贵州黔东南·一模）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（2023·四川攀枝花·三模）已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北·模拟预测）已知双曲线，，过点可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中，是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题1．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（

）A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（

）A．离心率的取值范围为B．的最小值为4C．不存在点，使得D．当时，以点为中点的椭圆的弦的斜率为13．（2023·广东汕头·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（

）A．最大时， B．的最小值为2C．椭圆的离心率等于 D．的取值范围为三、填空题1．（22-23高三上·福建泉州·期中）抛物线的焦点，点，以点，为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.2．（2023·广东·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为.3．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线，直线和相互平行，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点，直线和交于点（异于坐标原点）.若直线的斜率为3，直线是坐标原点的斜率，则双曲线的离心率的取值范围为.四、解答题1．（21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点P在双曲线的右支上（点P不在x轴上），且.(1)用a表示；(2)若是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.2．（2023·上海奉贤·三模）已知双曲线T：离心率为e，圆O：．(1)若e=2，双曲线T的右焦点为，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有，求离心率e的取值范围．3．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）设双曲线的右焦点为F，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于A，B两点.(1)若，求的离心率的取值范围；(2)若恒为锐角，求的实轴长的取值范围.4．（2023·上海徐汇·一模）已知双曲线的离心率为．(1)若，且双曲线经过点，求双曲线的方程；(2)若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值；(3)设圆，．若动直线与圆相切，且与双曲线交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围．5．（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）已知坐标平面上左、右焦点为，的双曲线和圆．(1)若的实轴恰为的一条直径，求的方程；(2)若的一条渐近线为，且与恰有两个公共点，求a的值；(3)设，若存在上的点，使得直线与恰有一个公共点，求的离心率的取值范围．微重点10离心率的范围问题（3大考点+强化训练）圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点分类讲解考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．【例1】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.【详解】点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，令半焦距为c，由及，得，显然，当且仅当点共线，且在线段上时取等号，因此，即，又，则，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：A【变式1】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围．【详解】，是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，则，即，代入得，当且仅当时取等号，即，又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，解得，所以双曲线离心率e的取值范围是.故选：C．【变式2】（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A，B，弦AB的中点为M且.若过原点O与点M的直线的斜率不小于，则双曲线E的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：连接，，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二：连接，，可得，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出，列出不等式，即可得到结果.【详解】方法一：如图，设双曲线E的半焦距为c，连接，，因为，所以.设，由双曲线的定义，得，，所以，，，所以，即.设，则，所以，解得.又，所以，解得，所以，即，所以.故选：B.方法二：如图，设双曲线E的半焦距为c，连接，，因为，所以.设，由双曲线的定义，得，，所以.设直线l的方程为，，.由，消去x并整理，得.，因为直线l与双曲线E的两支相交，所以，即.由，得.结合，化简得①.由，两式相减，得，即②，②代入①化简，得，所以，即，所以.故选：B.【变式3】(2023·亳州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为__________．【答案】(eq\r(2)，2)【解析】双曲线C与直线y＝x有交点，则eq\f(b,a)>1，eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)>1，解得e＝eq\f(c,a)>eq\r(2)，双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则P点在双曲线右支上，设PF1与y轴交于点Q，由对称性得|QF1|＝|QF2|，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，所以∠PF2Q＝∠PF2F1－∠QF2F1＝2∠PF1F2＝∠PQF2，所以|PQ|＝|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，由|QF1|>|OF1|得2a>c，所以e＝eq\f(c,a)<2，又在△PF1F2中，∠PF1F2＋∠PF2F1＝4∠PF1F2<180°，∠PF1F2<45°，所以eq\f(c,2a)＝cos∠PF1F2>eq\f(\r(2),2)，即e＝eq\f(c,a)>eq\r(2)，综上，eq\r(2)<e<2.考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．【例2】（2024·陕西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线：，椭圆与抛物线相交于不同的两点，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到的取值范围，从而得到关于的齐次不等式，解之即可得解.【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点关于轴对称，四边形是等腰梯形，易知四边形的外接圆就是的外接圆，设四边形的外接圆半径为.在中，由正弦定理，知，记椭圆的上顶点为，坐标原点为，易知，又，则，，，即为锐角，，又又，，则，所以，则，即，则椭圆的离心率的取值范围是，故选：A.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点P，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用椭圆的性质及平面向量数量积的坐标表示构造齐次式计算即可.【详解】解：如图所示，是与的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，则，∵向量的夹角为钝角时，，又，两边除以得，解得或；又∵，∴．故选：D．【变式2】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线，且椭圆与抛物线相交于两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由椭圆和抛物线的对称性可知两点关于轴对称，设出两点坐标，代入条件计算，将结果与椭圆联立可求解点纵坐标，结合点在椭圆上纵坐标的范围即可求出离心率的范围.【详解】解：设，则，因为，，由，得：，即，点在椭圆上，所以满足，代入上式可得：，即，即，因为点在椭圆上，所以，解得：，即，解得：.故选：B【变式3】已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围为()A．(1,1＋eq\r(2)) B．(1,1＋eq\r(3))C．(1,1＋eq\r(2)] D．(1,1＋eq\r(3)]【答案】A【解析】若点P是双曲线的顶点，eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)无意义，故点P不是双曲线的顶点，在△PF1F2中，由正弦定理得eq\f(|PF1|,sin∠PF2F1)＝eq\f(|PF2|,sin∠PF1F2)，又eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，∴eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(c,a)，即|PF1|＝eq\f(c,a)·|PF2|，∴P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，∴eq\f(c,a)|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝eq\f(2a2,c－a)，由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a，∴eq\f(2a2,c－a)>c－a，即c2－2ac－a2<0，∴e2－2e－1<0，解得－eq\r(2)＋1<e<eq\r(2)＋1，又e>1，∴双曲线离心率的取值范围是(1,1＋eq\r(2))．考点三利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．【例3】(2023·无锡模拟)已知点P在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若d1d2≤eq\f(1,2)|OP|2恒成立，则C的离心率的最大值为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)【答案】A【解析】双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，设双曲线上的点P(x0，y0)，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，即b2xeq\o\al(2,0)－a2yeq\o\al(2,0)＝a2b2，则P(x0，y0)到两条渐近线bx±ay＝0的距离分别为d1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(bx0＋ay0)),\r(a2＋b2))，d2＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(bx0－ay0)),\r(a2＋b2))，所以d1d2＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,0)－a2y\o\al(2,0))),a2＋b2)＝eq\f(a2b2,a2＋b2)，又|OP|2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝a2＋eq\f(a2,b2)yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b2)＋1))yeq\o\al(2,0)，y0∈R，所以|OP|2≥a2，因为d1d2≤eq\f(1,2)|OP|2恒成立，所以eq\f(a2b2,a2＋b2)≤eq\f(1,2)a2，整理得b2≤a2，即eq\f(b2,a2)≤1，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))≤eq\r(2)，则C的离心率的最大值为eq\r(2).【变式1】（2022高三上·河南·专题练习）已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于的齐次不等式，从而得解.【详解】联立方程，消去，整理得，则，设的横坐标分别为，则，，所以，由，得，整理得，即，即，又，则，故，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：C．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．【变式2】（23-24高三上·广东·阶段练习）过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，点为坐标原点，若，又直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合题意以及双曲线的有关知识，找到之间的不等关系，整理计算即可.【详解】如图，可知中，，因为，由正弦定理可知，即，所以，得．又因为直线与双曲线无公共点，则，即，结合，所以，所以．综上：，故选：A．【变式3】（2023·陕西西安·模拟预测）已知两动点，在椭圆：上，动点P在直线上，若恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由椭圆性质和图像得出椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆，由条件可知直线与圆相离,从而可得出的范围,进而求出离心率的范围.【详解】若从圆上一点引椭圆的两条切线一定互相垂直.证明如下：设椭圆的切线方程为，过圆上一点的切线为，，即(1)又在圆上,，即(i)当时,(1)式为,由根与系数关系知,故两条切线互相垂直.(ii)当时,,此时两条切线显然互相重直.故圆上一点引椭圆的两条切线一定互相垂直.所以椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆.若恒为锐角,则直线与圆相离故,又,.故选:C.

强化训练一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到，设，结合双曲线的定义得到，则，构造函数，利用导数法求解.【详解】解：因为，，∴，又，∴．设，则，，∴，∴，则，∴．∴，则，设，则，∴在上单调递增，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．2．（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得，所以.在中，，由余弦定理可得，整理可得，，两边同时除以可得，.又，，所以有，所以，.因为，所以，所以，所以，，，所以，.则，故.故选：C.3．（2023·贵州黔东南·一模）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设点为的中点，根据为的重心，求得，由直线与的右支交于两点，得到，求得，再由时，证得四点共线不满足题意，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】由题意，双曲线的右焦点为，且，设点为的中点，因为为的重心，所以，即，解得，即，因为直线与的右支交于两点，则满足，整理得，解得或（舍去），当离心率为时，即时，可得，此时，设，可得，又由，两式相减可得，即直线的斜率为，又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意，综上可得，双曲线的离心率的取值范围为.故选：A.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.4．（2023·四川攀枝花·三模）已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率即可求解.【详解】依题意，可得，则，又因为直线l垂直平分线段，所以，因为直线l与C存在公共点，所以，即，则，即，解得，所以双曲线C的离心率的取值范围是.故选：B5．（2023·湖北·模拟预测）已知双曲线，，过点可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为，由已知易知，若在双曲线内部（如位置），显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；若在双曲线与渐近线之间（如位置），过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满足题意；故P只能在双曲线的渐近线上方，此时过P可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线平行的直线，该两条直线均与左支无交点；同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线平行的直线符合要求；即，故，故选：B6．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中，是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由结合椭圆的定义可求出，再由可求出离心率的范围.【详解】因为，因为，所以，所以，，因为，所以，所以，所以，解得，因为，所以，所以离心率的范围，故选：D.7．（2023·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出双曲线的解析式，根据与的内心求出的关系式和点的横坐标，设出直线的倾斜角，得到的表达式，即可求出的取值范围【详解】由题意，在中，根据焦点到渐近线的距可得，离心率为2，∴，解得：，∴∴双曲线的方程为.

记的内切圆在边，，上的切点分别为，则，横坐标相等，，，由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得，同理内心的横坐标也为，故轴.设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点），在中，，由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，∴，即，∴的范围是.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质、三角恒等变换，考查推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想，以及角度的取值范围，具有极强的综合性.8．（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围.【详解】设，，由椭圆的定义可得，，可设，可得，即有，①由，可得，即为，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，则时，取得最小值；或4时，取得最大值.即有，得.故选：C【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式；②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多选题1．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（

）A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为【答案】AC【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围.【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误；对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确；对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．故选：AC.2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（

）A．离心率的取值范围为B．的最小值为4C．不存在点，使得D．当时，以点为中点的椭圆的弦的斜率为1【答案】AC【分析】根据点在椭圆内部求b的范围，然后可得离心率范围，可判断A；利用椭圆定义和基本不等式判断B；当点Q为短轴端点时最大，然后利用余弦定理判断的最大值，然后可判断C；利用点差法求解即可判断D.【详解】因为点在椭圆内部，所以，得，因为，所以，A正确；因为点在椭圆上，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，有最大值4，B错误；由椭圆性质可知，当点Q为短轴端点时最大，此时，，因为，所以，即的最大值为锐角，故不存在点，使得，C正确；当时，有，得，所以，易知，当点为弦中点时斜率存在，记直线斜率为k，与椭圆的交点为，则，由点差法得，又，所以，即，D错误.故选：AC3．（2023·广东汕头·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（

）A．最大时， B．的最小值为2C．椭圆的离心率等于 D．的取值范围为【答案】ABD【分析】对于A，根据当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，再根据，代入进而即可求解；对于B，根据，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于C，运用角平分线定理即可求解；对于D，由正弦定理可得，再又结合A可得，从而得到，再根据题意得到，进而即可求解．【详解】对于A，设，，则，且，所以，则当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，又，所以当最大时，，即，故A正确；对于B，过点作，垂足为点G，又点为外接圆的圆心，即为三条边的中垂线的交点，则点G为的中点，由，又，同理，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B正确；对于C，由内切圆的圆心为，则，分别是，的角平分线，则由角平分线定理可得，即，故C错误；对于D，设，，，由正弦定理可得，即，则，即，因为，又结合A有，所以，即，所以，又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，所以，即，所以，故，故D正确．故选：ABD．

【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．三、填空题1．（22-23高三上·福建泉州·期中）抛物线的焦点，点，以点，为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.【答案】【分析】焦点，根据椭圆定义得到，设椭圆和抛物线的交点为，根据抛物线性质得到，得到离心率的最大值.【详解】抛物线的焦点，根据题意，.设椭圆和抛物线的交点为，到抛物线准线的距离为，离心率最大，即最小，，当与准线垂直时等号成立，此时.故答案为：2．（2023·广东·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为.【答案】【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，可知直线的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即，设，则，根据可知，在中，由余弦定理可知，即，则，故故答案为：3．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线，直线和相互平行，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点，直线和交于点（异于坐标原点）.若直线的斜率为3，直线是坐标原点的斜率，则双曲线的离心率的取值范围为.【答案】【分析】首先，故，其次由题意由点差法得①，同理②，由三点共线，所以，代入得，结合离心率公式即可得解.【详解】由题意，，故，设的中点的中点，则，两式相减，得，化简得，所以，所以①，同理②，因为，所以三点共线，所以，将①②代入得，即，因为，所以，所以，所以双曲线的离心率为.所以双曲线的离心率的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到①，同理②，结合三点共线以及离心率公式即可顺利得解.四、解答题1．（21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点P在双曲线的右支上（点P不在x轴上），且.(1)用a表示；(2)若是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用双曲线的定义结合条件求得；（2）由余弦定理得到，利用是钝角，则，解得离心率e的取值范围.【详解】（1）因为点P在双曲线的右支上，所以，又，联立解得.（2）在中，由余弦定理得，因为，所以，所以.2．（2023·上海奉贤·三模）已知双曲线T：离心率为e，圆O：．(1)若e=2，双曲线T的右焦点为，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有，求离心率e的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据离心率和右焦点即可求出答案.（2）根据对称性分析，，则，代入曲线方程即可求得结果.（3）根据已知，利用圆心到直线距离为，得出，再由，可得，然后联立，得出，，上式联立化简可得，进而利用关系，得出的范围.【详解】（1）因，双曲线T的右焦点为，则，，，，则双曲线方程为.（2）如图所示，

因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则，，则，代入双曲线方程，可得，令，则，解得，即.（3）由题知，作图如下，

因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且，则圆心到直线距离为，化简得，①又，设，则，即，则，②联立得，则，，③联立①②③，得，则，又，则，则，即离心率e的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线和圆的位置关系，训练“点差法”的应用，计算量较大，属于中档题.3．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）设双曲线的右焦点为F，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于A，B两点.(1)若，求的离心率的取值范围；(2)若恒为锐角，求的实轴长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可；（2）设直线l的方程，与双曲线方程联立，以双曲线的实半轴长a和m表示A，B两点坐标，根据恒为锐角，转化为，代入坐标计算，由关于m的不等式恒成立，求得a的取值范围.【详解】（1）因为，所以，因为