高考数学重难点培优全攻略(新高考专用)微重点11圆锥曲线中二级结论的应用(3大考点+强化训练)(原卷版+解析)

微重点11圆锥曲线中二级结论的应用（3大考点+强化训练）圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．知识导图考点分类讲解考点一焦点弦问题1．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l过左焦点F1与椭圆(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AF1F2＝α，e为椭圆的离心率，p为椭圆的焦点到对应准线的距离，则p＝eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c).(1)椭圆焦半径公式：|AF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).(3)焦点三角形的面积公式：P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝b2·taneq\f(θ,2).2．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，直线l过左焦点F1与双曲线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AF1F2＝α，e为双曲线离心率，p为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p＝c－eq\f(a2,c)＝eq\f(b2,c).图1图2(1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|＝eq\f(ep,e·cosα＋1)，|BF1|＝eq\f(ep,e·cosα－1)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|AF1|)－\f(1,|BF1|)))＝eq\f(2,ep).(2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).若直线与双曲线交于两支，则|AB|＝||AF1|－|BF1||＝eq\f(2ep,e2·cos2α－1).(3)焦点三角形的面积公式：P为双曲线上异于实轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).3.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AFx＝α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离．(1)抛物线焦半径公式：|AF|＝eq\f(ep,1－e·cosα)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)＝eq\f(p,1＋cosα)，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,ep)＝eq\f(2,p).(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α)＝eq\f(2p,sin2α).4．焦点弦定理已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为α，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，则曲线的离心率满足等式|ecosα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,λ＋1))).易错提醒(1)要注意公式中α的含义．(2)公式中的加减符号易混淆．(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样．【例1】（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，，两点在上，，，则直线斜率的最小值和最大值分别是（

）A．， B．，2 C．， D．，2【变式1】（22-23高三上·四川广安·阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（

）A． B．C． D．【变式2】（2024·江苏·一模）已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（

）A． B．C． D．面积的最小值为16【变式3】已知双曲线x2－y2＝2，点F1，F2为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为()A．2B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)考点二等角的性质1．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，过长轴上任意一点N(t,0)的弦的端点A，B与对应的点Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,t)，0))的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠OGA＝∠OGB(如图1)．图1图2图32．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t,0)的弦的端点A，B与对应点Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,t)，0))的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA＝∠NGB(如图2)．3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线对称轴上任意一点N(a,0)的一条弦的端点A，B与对应点G(－a,0)的连线所成角被对称轴平分，即∠OGA＝∠OGB(如图3)．规律方法根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据．【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点．(1)求椭圆方程；(2)求面积的最大值，并求此时直线的方程；(3)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．【变式1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．(1)求双曲线E的方程；(2)是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【变式2】（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线的方程；(2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，求证：；(3)是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由．【变式3】椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为2eq\r(6).(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA＝∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考点三切线、切点弦方程1．已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.2．若点P(x0，y0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P(x0，y0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程是椭圆中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.规律方法运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果．【例3】（2024·湖北·二模）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．

(1)若直线与轴的交点为，求证：；(2)过点作的垂线与直线交于点，求证：．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知点是抛物线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的最小值为．【变式2】(2023·锦州模拟)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)))，且离心率为eq\f(\r(6),3).F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：x＝3上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF.(1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；(2)记△AFM，△BFM的面积分别为S1和S2，当|S1－S2|取最大值时，求直线AB的方程．【变式3】过点Q(－1，－1)作已知直线l：y＝eq\f(1,4)x＋1的平行线，交双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1于点M，N.(1)证明：Q是线段MN的中点；(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相交于同一点；(3)设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线PA，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上．强化训练一、单选题1．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（2022·河南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（

）A． B． C． D．4．（2023·河南·二模）已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论：①C的离心率为2；

②C的焦点弦最短为6；③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2024·全国·一模）新材料是现代高新技术的基础和先导，亦是提升传统产业技术能级的关键．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两相交线）的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（

）附：椭圆上一点处的切线方程为．A． B．C． D．和的大小关系无法确定6．（23-24高二上·北京东城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（23-24高三下·重庆·开学考试）设为抛物线的焦点，为上一点且在第一象限，在点处的切线交轴于，交轴于，若，则直线的斜率为（

）A．－2 B． C． D．8．（2024·四川南充·二模）已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（

）个．①②③若点与点关于轴对称，则的面积为④当时，内切圆的面积为A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题1．（2024·河南·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（

）A．的渐近线方程为 B．C．直线的斜率为 D．的坐标为或2．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）已知椭圆与双曲线共焦点，设它们在第一象限的交点为，且，则（

）A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的离心率为C．双曲线的渐近线方程为 D．双曲线在点处切线的斜率为3．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知，是曲线上不同的两点，为坐标原点，则（

）A．的最小值为1B．C．若直线与曲线有公共点，则D．对任意位于轴左侧且不在轴上的点，都存在点，使得曲线在，两点处的切线垂直三、填空题1．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是2．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为.3．（2023·浙江嘉兴·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为.四、解答题1．（2023高三·全国·专题练习）设，为双曲线：的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线C的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，求双曲线的离心率．2．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．3．（2024·福建·模拟预测）在中，，，的平分线交AB于点D，.平面α过直线AB，且与所在的平面垂直.(1)求直线CD与平面所成角的大小；(2)设点，且，记E的轨迹为曲线Γ.（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.4．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；(2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线过定点．微重点11圆锥曲线中二级结论的应用（3大考点+强化训练）圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．知识导图考点分类讲解考点一焦点弦问题1．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l过左焦点F1与椭圆(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AF1F2＝α，e为椭圆的离心率，p为椭圆的焦点到对应准线的距离，则p＝eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c).(1)椭圆焦半径公式：|AF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).(3)焦点三角形的面积公式：P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝b2·taneq\f(θ,2).2．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，直线l过左焦点F1与双曲线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AF1F2＝α，e为双曲线离心率，p为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p＝c－eq\f(a2,c)＝eq\f(b2,c).图1图2(1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|＝eq\f(ep,e·cosα＋1)，|BF1|＝eq\f(ep,e·cosα－1)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|AF1|)－\f(1,|BF1|)))＝eq\f(2,ep).(2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).若直线与双曲线交于两支，则|AB|＝||AF1|－|BF1||＝eq\f(2ep,e2·cos2α－1).(3)焦点三角形的面积公式：P为双曲线上异于实轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).3.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AFx＝α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离．(1)抛物线焦半径公式：|AF|＝eq\f(ep,1－e·cosα)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)＝eq\f(p,1＋cosα)，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,ep)＝eq\f(2,p).(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α)＝eq\f(2p,sin2α).4．焦点弦定理已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为α，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，则曲线的离心率满足等式|ecosα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,λ＋1))).易错提醒(1)要注意公式中α的含义．(2)公式中的加减符号易混淆．(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样．【例1】（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，，两点在上，，，则直线斜率的最小值和最大值分别是（

）A．， B．，2 C．， D．，2【答案】D【分析】利用焦半径公式求得A，B两点坐标，从而得到直线斜率的情况，由此得解.【详解】由题意知，设，，则由，得，得，代入C：，得，所以或；由，得，得，代入C：，得，所以或；所以直线斜率有四种情况，则直线斜率的最小值为，最大值为.故选：D.【变式1】（22-23高三上·四川广安·阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出双曲线左支上的点到的距离最小值，可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程.【详解】双曲线左支上一点为，则，且，则，则，由已知可得，解得，因此，双曲线方程为.故选：B.【变式2】（2024·江苏·一模）已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（

）A． B．C． D．面积的最小值为16【答案】ACD【分析】A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出；B选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到；C选项，求出，，结合焦半径公式求出，C正确；D选项，作出辅助线，结合B选项，得到，表达出，利用基本不等式求出最小值，从而得到面积最小值.【详解】A选项，由题意得，准线方程为，直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立，得，，故，A正确；B选项，，直线的斜率为，故直线的方程为，即，联立，得，故，所以B错误；C选项，由直线的方程，令得，又，所以，故，故，又由焦半径公式得，所以C正确；D选项，不妨设，过B向作垂线交于M，根据B选项知，，故，根据直线的方程，当时，，故，故，故，当且仅当，即时，等号成立，故的面积最小值为16，D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．【变式3】已知双曲线x2－y2＝2，点F1，F2为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为()A．2B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)【答案】D【解析】方法一设θ＝∠F1PF2＝60°，则＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ，而cosθ＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)，且||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1||PF2|＝eq\f(2b2,1－cosθ)，故＝eq\f(b2sinθ,1－cosθ)＝2eq\r(3).方法二双曲线焦点三角形的面积＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝2eq\r(3).考点二等角的性质1．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，过长轴上任意一点N(t,0)的弦的端点A，B与对应的点Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,t)，0))的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠OGA＝∠OGB(如图1)．图1图2图32．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t,0)的弦的端点A，B与对应点Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,t)，0))的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA＝∠NGB(如图2)．3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线对称轴上任意一点N(a,0)的一条弦的端点A，B与对应点G(－a,0)的连线所成角被对称轴平分，即∠OGA＝∠OGB(如图3)．规律方法根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据．【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点．(1)求椭圆方程；(2)求面积的最大值，并求此时直线的方程；(3)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)面积最大值为，直线或(3)存在，【分析】（1）由焦距是4求出，将代入椭圆方程求出，得到答案；（2）根据题意设直线，与椭圆方程联立可得，由，代入运算化简，利用不等式求出面积的最大值；（3）根据题意有，转化为，由第二问代入运算得解.【详解】（1）由题意，，将点代入椭圆方程得，解得，，所以椭圆的方程为.（2）根据题意知直线的斜率不为0，设直线，，，联立，消去整理得，，，且，，令，，，当且仅当，即，即时，等号成立，所以面积的最大值为，此时直线的方程为或.（3）在轴上存在点使得，理由如下：因为，所以，即，整理得，即，即，则，又，解得，所以在轴上存在点使得.【变式1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．(1)求双曲线E的方程；(2)是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，．【分析】（1）根据渐近线方程和求的值，即可得到双曲线E的方程；（2）假设存在直线l，由得，取的中点，则，进而得；又利用得，于是联立方程组可得的坐标，从而得到直线的斜率并得出直线的方程.【详解】（1）因为双曲线E的一条渐近线方程为，所以，又，因此，又，，；则E的方程为．（2）假设存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，设，，中点为，又，由可知为等腰三角形，，且直线l不与x轴重合，于是，即，因此，，（Ⅰ）点在双曲线上，所以，①②化简整理得：，，即，可得，（Ⅱ）联立（Ⅰ）（Ⅱ）得：，，，解得（舍去），适合题意，则；由得，所以直线l的方程为：，即．【变式2】（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线的方程；(2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，求证：；(3)是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由．【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在，【分析】（1）由题意，设抛物线方程由，得由此能求出抛物线的方程；（2）设，，由于为中点，则,故当轴时由抛物线的对称性知，当不垂直轴时，设，由，得，由此能够证明.（3）设存在直线满足题意，则圆心，过作直线的垂线，垂足为，故，由此能够推出存在直线：满足题意．【详解】（1）由题意，可设抛物线方程为．由，得．抛物线的焦点为，．抛物线的方程为（2）证明：设，，由于为中点，则，故当轴时，由抛物线的对称性知，一定有，当不垂直轴时，设，由，得，则则，则，综上证知，，（3）设存在直线满足题意，则圆心，过作直线的垂线，垂足为，，即

，当时，，此时直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值因此存在直线：满足题意.

【变式3】椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为2eq\r(6).(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA＝∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解(1)∵e＝eq\f(\r(2),2)，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，∴a2＝2c2＝b2＋c2，∴b2＝c2，a2＝2b2，椭圆方程化为eq\f(x2,2b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，由题意知，椭圆过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)，1))，∴eq\f(6,2b2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得b2＝4，a2＝8，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2y2＝8，,y＝kx＋1，))得(2k2＋1)x2＋4kx－6＝0，Δ＝16k2＋24(2k2＋1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－4k,2k2＋1)，,x1x2＝\f(－6,2k2＋1)，))假设存在定点Q(0，t)(t≠1)符合题意，∵∠PQA＝∠PQB，∴kQA＝－kQB，∴kQA＋kQB＝eq\f(y1－t,x1)＋eq\f(y2－t,x2)＝eq\f(x2y1＋x1y2－tx1＋x2,x1x2)＝eq\f(x2kx1＋1＋x1kx2＋1－tx1＋x2,x1x2)＝eq\f(2kx1x2＋1－tx1＋x2,x1x2)＝2k＋(1－t)eq\f(－4k,－6)＝eq\f(2k4－t,3)＝0，∵上式对任意实数k恒等于零，∴4－t＝0，即t＝4，∴Q(0,4)，当直线l的斜率不存在时，A，B(不妨设点A在x轴上方)两点分别为椭圆的上下顶点(0,2)，(0，－2)，显然此时∠PQA＝∠PQB，综上，存在定点Q(0,4)满足题意．考点三切线、切点弦方程1．已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.2．若点P(x0，y0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P(x0，y0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程是椭圆中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.规律方法运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果．【例3】（2024·湖北·二模）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．

(1)若直线与轴的交点为，求证：；(2)过点作的垂线与直线交于点，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线的方程为联立直线和抛物线方程求得，，即可得，得证；（2）写出过点的的垂线方程，解得交点的纵坐标为，再由相似比即可得，即证得.【详解】（1）易知抛物线焦点，准线方程为；设直线的方程为联立得，可得，所以；不妨设在第一象限，在第四象限，对于；可得的斜率为所以的方程为，即为令得直线的方程为，令得．又，所以即得证．（2）方法1：由（1）中的斜率为可得过点的的垂线斜率为，所以过点的的垂线的方程为，即，如下图所示：

联立，解得的纵坐标为要证明，因为四点共线，只需证明（*）．，．所以（*）成立，得证.方法2：由知与轴平行，①又的斜率为的斜率也为，所以与平行，②，由①②得，即得证.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到，解出点的坐标，从而转化为证明即可.【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知点是抛物线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的最小值为．【答案】/【分析】设，由圆的切线方程可得方程为，结合点到直线的距离公式以及二次函数的性质可求得的最小值.【详解】圆的圆心，半径．设，故方程为，弦心距，当时，取得最大值为，则取得最小值．故答案为：.【变式2】(2023·锦州模拟)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)))，且离心率为eq\f(\r(6),3).F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：x＝3上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF.(1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；(2)记△AFM，△BFM的面积分别为S1和S2，当|S1－S2|取最大值时，求直线AB的方程．【解析】(1)证明如图，由题意可得b＝eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝2，椭圆E的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为eq\f(x1x,6)＋eq\f(y1y,2)＝1，同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为eq\f(x2x,6)＋eq\f(y2y,2)＝1.因为点P在直线PA，PB上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)＋\f(y1y0,2)＝1，,\f(x2,2)＋\f(y2y0,2)＝1，))所以直线AB的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y0y,2)＝1，则直线AB过定点M(2,0)．(2)解设直线AB的方程为x＝ty＋2，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋2，,\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，))得(t2＋3)y2＋4ty－2＝0，故y1＋y2＝－eq\f(4t,t2＋3)，y1y2＝－eq\f(2,t2＋3)，|S1－S2|＝2||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|＝eq\f(8|t|,t2＋3)＝eq\f(8,|t|＋\f(3,|t|))≤eq\f(8,2\r(3))＝eq\f(4\r(3),3)，当且仅当|t|＝eq\f(3,|t|)，即t＝±eq\r(3)时取等号，此时直线AB的方程为x＝±eq\r(3)y＋2.【变式3】过点Q(－1，－1)作已知直线l：y＝eq\f(1,4)x＋1的平行线，交双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1于点M，N.(1)证明：Q是线段MN的中点；(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相交于同一点；(3)设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线PA，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上．【解析】证明(1)直线MN的方程为y＝eq\f(1,4)(x－3)．代入双曲线方程eq\f(x2,4)－y2＝1，得3x2＋6x－25＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，故x1＋x2＝－2.于是，y1＋y2＝eq\f(1,4)(x1＋x2－6)＝－2.故Q(－1，－1)是线段MN的中点．(2)双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1过点M，N的切线方程分别为l1：eq\f(x1,4)x－y1y＝1，l2：eq\f(x2,4)x－y2y＝1.两式相加并将x1＋x2＝－2，y1＋y2＝－2代入得y＝eq\f(1,4)x＋1.这说明，直线l1，l2的交点在直线l：y＝eq\f(1,4)x＋1上，即三条直线l，l1，l2相交于同一点．(3)设P(x0，y0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则PA，PB的方程分别为eq\f(x3,4)x－y3y＝1和eq\f(x4,4)x－y4y＝1.因为点P在两条直线上，所以eq\f(x3,4)x0－y3y0＝1，eq\f(x4,4)x0－y4y0＝1.这表明，点A，B都在直线eq\f(x0,4)x－y0y＝1上，即直线AB的方程为eq\f(x0,4)x－y0y＝1.又y0＝eq\f(x0,4)＋1，代入整理得eq\f(x0,4)(x－y)－(y＋1)＝0，显然，无论x0取什么值(即无论P为直线l上哪一点)，点Q(－1，－1)都在直线AB上．强化训练一、单选题1．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.【详解】设直线与抛物线相切的切点坐标为，由，求导得，因此抛物线在点处的切线方程为，即，依题意，此切线与圆相切，于是，解得或，所以所求切线条数为3.故选：D2．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.【详解】由题意可知，设，，联立直线与抛物线方程，所以，而.当且仅当时取得等号.故选：D3．（2022·河南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，则双曲线方程为，，，可得直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，则双曲线方程为，，，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，因为的周长为36，所以，所以，得，所以双曲线方程为，故选：C4．（2023·河南·二模）已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论：①C的离心率为2；

②C的焦点弦最短为6；③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.【详解】由题意可得，即①正确；显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2＜6，即②错误；易知双曲线的渐近线方程为，设点，则，且到两条双曲线的距离之积为是定值，故③正确；对于④，先推下双曲线的焦半径公式：对双曲线上任意一点及双曲线的左右焦点，则，同理，所以，此即为双曲线的焦半径公式.设点，由双曲线的焦半径公式可得，故，其中，则，由二次函数的性质可得其最大值为，当且仅当，即时取得，故④错误；综上正确的是①③两个.故选：B5．（2024·全国·一模）新材料是现代高新技术的基础和先导，亦是提升传统产业技术能级的关键．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两相交线）的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（

）附：椭圆上一点处的切线方程为．A． B．C． D．和的大小关系无法确定【答案】A【分析】理解题意，根据测量水滴角的圆法和椭圆法,以及运用圆和椭圆的切线方程的表示即可得出结论.【详解】由题意知，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，；由题意可知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为R，如图1，则有,解得，所以；若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，如图2，切点坐标为，则椭圆上一点处的切线方程为，此时椭圆的切线方程的斜率设为，则；将切点坐标为代入切线方程可得，解得，所以；因为短半轴,所以即，所以.故选：A.6．（23-24高二上·北京东城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分等腰三角形以为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点，使得或，设点在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于、的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.【详解】如下图所示：

（1）当点与椭圆短轴的顶点重合时，是以为底边的等腰三角形，此时，有个满足条件的等腰；（2）当构成以为一腰的等腰三角形时，以为底边为例，则或，此时点在第一或第四象限，由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点，使得是以为一腰的等腰三角形，不妨设点在第一象限，则，其中，则，或，由可得，所以，，解得，由可得，所以，，解得，综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.7．（23-24高三下·重庆·开学考试）设为抛物线的焦点，为上一点且在第一象限，在点处的切线交轴于，交轴于，若，则直线的斜率为（

）A．－2 B． C． D．【答案】D【分析】设点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程可先含参表示N，T坐标，再根据抛物线的定义可判定为等腰三角形，根据其性质计算即可.【详解】易知，设，则在点处的切线方程为，所以，显然N为中点，由抛物线定义可知，即为以F为顶点的等腰三角形，所以，即，所以直线的斜率为.故选：D【点睛】思路点睛：本题通过设点坐标，利用抛物线的切线方程含参表示N，T坐标，再根据抛物线的定义可判定为等腰三角形，根据其性质计算即可.解析几何问题首先是几何题，所以利用几何特征可减少计算量，提高效率.8．（2024·四川南充·二模）已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（

）个．①②③若点与点关于轴对称，则的面积为④当时，内切圆的面积为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先推导出椭圆的焦半径公式及相关性质，从而判断①②③，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出，，设内切圆的半径为，由求出，即可判断④.【详解】在中，由余弦定理，即，整理得，同理可得，所以，，

对于椭圆，则、、，所以，，故①错误；，故②正确；所以，，又，又，所以，故③错误；当时直线的方程为，由，消去整理得，显然，所以，，又，，则，，设内切圆的半径为，则，所以，解得，所以内切圆的面积，故④正确；

故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出椭圆焦半径公式（倾斜角形式），利用结论直接解决问题.二、多选题1．（2024·河南·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（

）A．的渐近线方程为 B．C．直线的斜率为 D．的坐标为或【答案】ABD【分析】利用双曲线的焦距求出的值，结合双曲线的渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理结合双曲线的定义求出、的值，可判断B选项；利用直线斜率的定义可判断C选项；利用双曲线焦半径公式求出点的坐标，可判断D选项.【详解】对于A选项，，且，解得，又因为，故双曲线的渐近线方程为，A对；对于B选项，因为点在右支上，则，①又因为，则，②联立①②可得，，所以，，B对；对于C选项，若点在第一象限，则直线的斜率为，若点在第四象限，由对称性可知，直线的斜率为.综上所述，直线的斜率为，C错；对于D选项，设点，则，且，可得，所以，，解得，则，可得，即点，D对.故选：ABD.2．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）已知椭圆与双曲线共焦点，设它们在第一象限的交点为，且，则（

）A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的离心率为C．双曲线的渐近线方程为 D．双曲线在点处切线的斜率为【答案】ABD【分析】A选项，求出椭圆的焦点坐标，设左焦点为，故，由向量数量积为0得到向量垂直，进而由勾股定理求出，求出，得到A正确；B选项，由离心率公式直接求解；C选项，求出，由双曲线渐近线公式进行求解；D选项，设出点处切线方程，联立双曲线方程，由根的判别式等于0求出切线斜率.【详解】A选项，由题意得椭圆的焦点坐标为，设左焦点为，则，，因为，所以，由勾股定理得，两边平方得，故，则，故，解得，双曲线的实轴长为，A正确；B选项，因为，所以双曲线的离心率为，B正确；C选项，因为，故双曲线的渐近线方程为，C错误；D选项，联立与，可得，，故，当过点的直线斜率不存在时，不是双曲线的切线，舍去，设在点处切线方程为，联立得，化简得，由得，解得，故双曲线在点处切线的斜率为，D正确.故选：ABD3．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知，是曲线上不同的两点，为坐标原点，则（

）A．的最小值为1B．C．若直线与曲线有公共点，则D．对任意位于轴左侧且不在轴上的点，都存在点，使得曲线在，两点处的切线垂直【答案】AD【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据几何意义判断A，举出反例判断B，数形结合判断C，根据图形特征以及切线概念判断D.【详解】当时，原方程即，化简为，轨迹为椭圆.将代入，则，则此时，即此部分为椭圆的一半.同理当时，原方程即，化简为.将代入，则或，则此时，即此部分为圆的一部分.作出曲线的图形如下：

对于A，最小值表示曲线上一点到原点的最小距离的平方，当时，最小值为，当时取得，当时，最小值为，当时取得，则最小值为，故A正确；对于B，当时，，显然B选项错误；对于C，直线经过定点，当时，直线经过椭圆下顶点，如图，

显然，存在，使得直线与曲线有两个公共点，故C错误；对于D，如图，对任意位于轴左侧且不在轴上的点，

则曲线在点处的切线斜率可以取任何非零实数，曲线在椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零实数，使得两切线斜率为负倒数，所以对任意位于轴左侧且不在轴上的点，都存在点，使得曲线在，两点处的切线垂直，故D正确.故选：AD【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：（1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；（2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案.三、填空题1．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是【答案】【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.【详解】由题意可知，代入双曲线方程有，又的面积为，即，所以双曲线方程为：，设，则，同理，因为，则，故答案为：.2．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为.【答案】【分析】分析可知，切线的斜率存在，设切线方程为，将切线方程与双曲线的方程联立，由可得出关于的方程，可知方程有两个不等的实数根，求出的取值范围，即可求得该双曲线的离心率的取值范围.【详解】当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，由可得，故直线与双曲线相交，不合乎题意；当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即，联立可得，因为过点能作双曲线的两条切线，则，可得，由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实数根，所以，，可得，又因为，即，因此，关于的方程没有的实根，所以，且，解得，即，当时，，当时，，综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是.故答案为：.3．（2023·浙江嘉兴·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为.【答案】【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围.【详解】设，则.显然当靠近右顶点时，，所以存在点使等价于，在中由余弦定理得，即，解得，同理可得，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立.由得，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立的不等式，此时将问题转化为，从而只需求的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质使用基本不等式求解.四、解答题1．（2023高三·全国·专题练习）设，为双曲线：的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线C的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，求双曲线的离心率．【答案】【分析】根据题意得，即，化简即可.【详解】由轴时，为等腰直角三角形，可得，所以，即，故，结合，解得．故双曲线C的离心率为.2．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分别表示出直线的方程，再将点的坐标代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由双曲线上一点处的切线方程为，所以双曲线在点处的切线方程为，化简可得.（2）设切点，则，，又点在直线上，代入可得，，所以点均在直线上，所以直线的方程为，即.3．（2024·福建·模拟预测）在中，，，的平分线交AB于点D，.平面α过直线AB，且与所在的平面垂直.(1)求直线CD与平面所成角的大小；(2)设点，且，记E的