2023届高考数学特训营第6节-离散型随机变量的数字特征

第九单元第6节离散型随机变量的数字特征2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题1.离散型随机变量的均值与方差数学运算数据分析数学建模2.均值与方差在决策中的应用0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练1．均值一般地，若离散型随机变量X的分布列：则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2.方差设离散型随机变量X的分布列：[提醒]方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn[探究]

随机变量的方差与标准差它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散．反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近．3．两个特殊分布的均值与方差分布均值方差两点分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)二项分布E(X)＝npD(X)＝np(1－p)1．[概念辨析]解读均值(1)对离散型随机变量均值的理解离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．(2)离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别，随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．2.[概念辨析]解读方差(1)方差是在概率论和统计方差中衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量，方差是衡量原数据和均值相差的度量值．(2)概率论中方差用来度量随机变量和其均值之间的偏离程度．统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数．在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义．

则D(X)最大时a的值是________．1．[易错诊断]已知两个随机变量X，Y满足X＋2Y＝4，且X～N(1，22)，则E(Y)＝________，D(Y)＝________.2．[教材改编]甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两工人的日产量相等，则甲、乙两工人中技术较好的是________．答案：乙解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.∵E(Y)<E(X)，∴乙技术好．

A

4．[真题体验](2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________.02能力特训特训点1特训点2

特训点1离散型随机变量的均值与方差【多维考向类】BD

离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y)；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)或D(Y)．考向2离散型随机变量的均值与方差典例2

(2021·陕西宝鸡市高三期末)10个计算机芯片中含有2个不合格的芯片，现随机从中抽出3个芯片作为样本，用X表示样本中不合格芯片的个数．(1)求样本中至少含有一个不合格芯片的概率；(2)计算样本中含不合格芯片数的分布列；(3)求X的期望与方差．

求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义．写出ξ的全部可能值：(2)求ξ取每个值的概率：(3)写出ξ的分布列：(4)由均值的定义求E(ξ)：(5)由方差的定义求D(ξ)．典例3

(2022·山东淄博市实验中学高三模拟)某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试，试题满分为100分，考试成绩大于或等于90分的为优秀．考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数82、方差64.假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩ξ服从正态分布N(82，64)．特训点2均值与方差在决策中的应用【师生共研类】(1)估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少？(2)该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10，11，…，99)，若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量5G，否则获赠手机流量1G.假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少G?参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.68.解：(1)由题意，随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数82、方差64，即μ＝82，σ＝8，所以考试成绩优秀者得分ξ≥90，即ξ≥μ＋σ.所以估计该市此次司法考试成绩优秀者人数可达20×0.16＝3.2万人．

利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据，建立相应的概率模型，然后利用概率知识求出样本的数字特征——数学期望、方差等，通过比较得到最优方案，从而解决问题，解题的关键如下：(1)建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆．(2)分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数．(3)求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征．(4)做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策．(2022·四川石室中学高三模拟)2021年3.15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一，从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个白球和2个黑球，则打9折：其余情况不打折．方案二，从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次