重庆市渝中区2024年重点学校保送生数学试卷（含答案）

重庆市渝中区2024年重点学校保送生数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二总分评分一、填空题（每题7分，共70分）1．有1、2、﹣2三个数，小明分别对这三个数求了绝对值；小亮分别对这三个数求了倒数；小颖分别对这三个数求了﹣2次幂．将小明、小亮、小颖三人求得的数各任意选一个相乘，则乘积恰好为整数的概率为．2．已知a−1a=1，则[3．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．且∠ADE＝30°，AD＝6，则阴影部分的面积为．4．将图1所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成图2、图3两种图案，其中图2得到的大正方形的面积为5，图3得到的图形的外轮廓的周长为4+45，则图1中sin∠CEB＝5．若关于x的一元一次不等式组x−m⩽−1x+12−x46．若实数p、q，满足1p4+1p2=87．如图所示，已知锐角△ABC中，AB=10，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE位置，恰好使得CE⊥BC于C，且CE＝BC，连接BD，则BD的长为8．我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[2.4]＝2，{2.4}＝0.4，2.4＝[2.4]+{2.4}；[﹣2.4]＝﹣3，{﹣2.4}＝0.6，﹣2.4＝[﹣2.4]+{﹣2.4}，则下列说法正确的是（填序号）．①[1−②如[1③若1＜|x|＜2且{x}④方程5[x]+2＝{x}+4x的实数解有4个．9．如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab+cd=bc，那么称这个四位数为“神奇数”，例如：四位数1428，∵14+28＝42，∴1428是“神奇数”；又如四位数3526，因为35+26≠52，∴3526不是“神奇数”．若一个“神奇数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数10．如图所示，平面直角坐标中，四边形OABC是矩形，点A在第一象限，点B、C在第二象限，S△OAB＝92，将△OAB沿OB翻折至△OA'B，反比例函数y=122x恰好经过点B和点A'，连接A二、解答题（11题10分，12、13题每题15分，14、15题每题20分）11．近年来，抽盲盒成为当下青少年喜欢的消费方式，小王同学就乐于收集某商家出品的星球大战系列盲盒和精灵天团系列盲盒，十月份他在线下实体店购买了若干盒星球大战盲盒和精灵天团盲盒，分别花费260元和375元，若星球大战的单价比精灵天团的单价少10元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个．（1）十月份，小王购买的星球大战和精灵天团的盲盒单价分别为多少元？（2）十一月份，商家在“双十一”开启了打折促销活动．其中星球大战的单价下降了5元，精灵天团的单价下降了4512．如图1，四边形ABCD是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿AB边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线A→D→C方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，△DOF的面积为y1，△BEF的面积为y2（y1≠0，y2≠0）．（1）请直接写出y1、y2关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围．（2）在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数y1的一条性质．（3）结合函数图象，求出△DOF和△BEF面积相等时的t的值．13．如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.4m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（参考数据sin37.5°≈0.6，cos37.5°≈0.8sin2（1）浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？（2）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，已知MO＝8m，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽MN中（即点P恰好在直线MN上）？14．平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣13x2（1）求出该抛物线的函数表达式及点D的坐标；（2）如图1，已知点G是线段AB上方抛物线上一点，过点G作GP∥y轴交CD于P，在线段AC和线段CD上分别有两个动点K、L，且满足KL＝2，M是KL的中点，当GP+DP取得最大值时，在线段AB上是否存在一点R，使得RP+RM的值最小？若存在，请求出P点的坐标以及RP+RM的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，E是线段BO上一定点，且满足OE：OB＝43：9，连接AE，将线段AE沿y轴向下平移6个单位至HF，连接EF，T是线段EF上一动点，点A、H同时绕点T逆时针旋转90°，应对点分别是A'、H'．在旋转过程中，当△EA'H'是直角三角形时，请直接写出此时A'的坐标．

答案解析部分1．【答案】7【解析】【解答】解：|1|=1，|1、2、−2的倒数分别为1、12、−1−2=1，2−2画树状图为：共有27种等可能的结果，其中乘积恰好为整数的结果数为7，所以乘积恰好为整数的概率=7故答案为：727【分析】根据绝对值、倒数、幂的乘方结合题意画出树状图，进而即可得到共有27种等可能的结果，其中乘积恰好为整数的结果数为7，从而即可求解。2．【答案】-2【解析】【解答】解：[=======a∵a−1∴a当a2−1=a时，原式故答案为：−2【分析】先根据分式的混合运算进行化简得到[a3．【答案】93【解析】【解答】解：连接AE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//∴∠DAE=∠AEB，∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABC，∴∠DAE=∠ABC，∴ΔAED≅ΔBAC(∴∠ACB=∠ADE=30°，BC=AD=6∴∠ABC=60°，AB=1∵AB=AE=3，∴ΔABE是等边三角形，∴AE=BE，∠EAB=60°，∵∠CAB=90°，∴∠CAE=90°−∠EAB=90°−60°=30°，∠ACB=90°−∠B=90°−60°=30°，∴∠CAE=∠ACB，∴AE=CE，∴CE=BE，∴S∴S∵∠CAE=30°，AE=3，∴S∴S故答案为：93【分析】连接AE，先根据平行线四边形的性质结合平行线的性质得到AD=BC，∠DAE=∠AEB，进而根据等腰三角形的性质结合题意证明∠DAE=∠ABC，从而根据三角形全等的判定与性质证明ΔAED≅ΔBAC(SAS)即可得到∠ACB=∠ADE=30°，BC=AD=6，再结合等边三角形的判定与性质即可得到AE=BE4．【答案】4【解析】【解答】解：由题意可知：图2得到的大正方形的面积为5，所以每一个直角三角形的斜边长为5，在图3中，图形的外轮廓的周长为4+45，

∴BE=AH=CF=DG=1，设OH=x，则OD=OA=x+1，在RtΔDOH中，由勾股定理可得：x2解得：x1=1，∴在图一中，过点C作CH⊥BE，CD=1，ED=2，

∵四边形ABEC是菱形，∴菱形的面积=1即：12解得：CH=4在RtΔCEH中，sin∠CEH=故答案为：4【分析】根据菱形的性质，结合勾股定理解直角三角形即可求解。5．【答案】-6【解析】【解答】解：解关于x的一元一次不等式组x−m⩽−1x+12−根据题意得，−6<m−1<1，∴−5<m<2，解关于y的分式方程1y−1+3=my∵分式方程的解为整数，−5<m<2且2m+3∴满足条件的整数m的值为−4，−2，∴所有满足条件的整数m的值之和是−4−2=−6．故答案为：−6【分析】先解不等式组结合不等式组的解集得到−5<m<2，再解分式方程即可得到−5<m<2且2m+36．【答案】33【解析】【解答】解：∵若实数p、q，满足1p∴1p2和−q是一元二次方程x∴1p2−q=−1，∴(∵q>0，∴1∴1故答案为：33【分析】先根据题意得到1p2和−q是一元二次方程x2+x=8，即x2+x−8=0，的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到7．【答案】6【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC，AF⊥CE，如图所示：∵根据旋转的性质可得AE=AC，∴CF=EF=3，∵CE⊥BC，∴四边形AFCG是矩形，∴AG=3，根据勾股定理BG=10−9∴AF=CG=5，在RtΔACG中，AC=5∵AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，∴AB∴ΔABD∽ΔACE，∴BDCE=∴BD=6故答案为：6【分析】过点A作AG⊥BC，AF⊥CE，先根据旋转的性质得到AE=AC，进而得到CF=EF=3，再根据矩形的性质得到AG=3，从而根据勾股定理求出BG，AC，进而运用相似三角形的判定与性质证明ΔABD∽ΔACE即可求解。8．【答案】①【解析】【解答】解：①∵2<5∴−3<−5∴−2<1−5∴[因此①是正确的；②∵[∴−2⩽1解得−6⩽m<−4，因此②是错误的；③∵1<|∴当x<0时，−2<x<−1，∴[∵{∴x=[∴当x>0时，1<x<2，∴[∵{∴x=[综上，x的值为−3+2或2因此③是错误的；④∵x=[x]∴5[∴5{∵0⩽{∴0⩽5{∴0⩽[∴−2⩽[x]<3，则[x当[x]=−2∴{∴x=[当[x]=−1∴{∴x=[当[x]=0∴{∴x=[当[x]=1∴{∴x=[当[x]=2∴{∴x=[综上，方程5[x]+2={因此④是错误的．故答案为：①．【分析】根据题意估算无理数的大小即可判断①；由[12m+1]=−2知−2⩽12m+1<−1，进而解不等式组即可判断②；根据题意分类讨论：当x<0时，−2<x<−1，当x>0时，1<x<2，进而即可判断③；先根据题意得到5{x}=[9．【答案】4725【解析】【解答】解：由题意可得，“神奇数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d．∴(∴10a−9b+9c+d=0，∴d=9b−10a−9c．∵abc=100a+10b+c，∴=100a+110b+11c+d=100a+110b+11c+9b−10a−9c=90a+119b+2c．∵abc与bcd∴90a+119b+2c∴b+c是9的倍数，∴b+c=9．∵d=9b−10a−9c=9(b−c)−10a，a，b，∴b=8时，c=1，a=6，d=3；b=7时，c=2，a=4，d=5；b=6时，c=3，a=2，d=7．∴这些“神奇数”为：6813，4725，2637．∴这些“神奇数”的平均数为：6813+4725+26373故答案为：4725．【分析】根据ab+10．【答案】(−【解析】【解答】解：过点A'作A'D⊥x轴于D，A'G⊥OB于G，过点B作BE⊥x轴于E，BF⊥DA'交DA'∵四边形OABC为矩形，且SΔOAB∴S∵将ΔOAB沿OB翻折至△OA∴S△OA∴S根据反比例函数比例系数的几何意义得：SΔOBE∵A'D⊥x∴四边形A'∵S设A'(a,−则A'D=−−122a，OD=−a，BE=−12√2∴S∴(整理得：2a即(2a+b∵a<b<0，∴2a+b<0，∴a−2b=0，∴a=2b，∴点A'设直线OB的表达式为：y=mx，将B(b,−122∴直线OB的表达式为：y=−12∴S△OA∴1∴A又∵A'G⊥OB∴四边形A'∴A设直线A'C的表达式为：则t=m=−12∴直线A'C的表达式为：入将点A'(2b,−∴直线A'C的表达式为：对于y=−122b2x+∴点M的坐标为M(∵A'D⊥x∴∠A'DO=∠BF∵∠BA∴∠FA∴∠DA∴△A'OD∽△∴BF:∵A'(∴BF=−b，A'D=−62b∴(整理得：b4∴b=−6，b=∴3∴点M的坐标为(−故答案为：(−【分析】过点A'作A'D⊥x轴于D，A'G⊥OB于G，过点B作BE⊥x轴于E，BF⊥DA'交DA'的延长线于F，过C作CH⊥OB于H，先根据矩形的性质结合折叠的性质得到∠BA'O=90°，S△OA'B=SΔOAB=SΔOBC=92，进而根反比例函数k的几何意义即可得到SΔOBE=S△OA'D==62，由此可得S△OA'B=SΔOBE+S梯形A'BED−S△OA'D=S梯形A'BED=92，设A'(a,−11．【答案】（1）解：设小王购买的星球大战的盲盒单价为x元，则精灵天团的盲盒单价为（x+10）元，由题意得：260解得：x1＝65，x2＝40，经检验，x1＝65，x2＝40都是原方程的解，但x2＝40不符合题意，舍去，∴x＝65，∴x+10＝65+10＝75，答：小王购买的星球大战的盲盒单价为65元，精灵天团的盲盒单价为75元（2）解：由（1）可知，260x由题意得：（65﹣5）×4（1+5m%）+75（1﹣45整理得：m2﹣200m+1900＝0，解得：m1＝10，m2＝190（不合题意，舍去）．答：m的值为10【解析】【分析】（1）设小王购买的星球大战的盲盒单价为x元，则精灵天团的盲盒单价为（x+10）元，根据题意即可列出分式方程，进而即可求解；

（2）先根据题意得到关于m的一元二次方程，进而即可求解。12．【答案】（1）解：y1关于t的函数表达式为y1＝4−2t(y2关于t的函数表达式为y2＝−（2）解：如图，即为所求函数的图象，函数y1的一条性质为：0≤t＜2时，y随t的增大而减小，或2≤t≤4时，y随t的增大而增大（3）解：由函数图象可知：当△DOF和△BEF面积相等时，t＝3﹣5或3【解析】【解答】解：（1）根据题意可知：当点F在AD上时，AF=2t，∴DF=AD−AF=4−2t，∵四边形ABCD是边长为4的正方形，O是正方形的中心，∴ΔDOF的面积为y1∵AE=t，∴BE=4−t，∴ΔBEF的面积为y2当点F在DC上时，DF=2t−4，∴ΔDOF的面积为y1∵S∴y综上所述：y1关于t的函数表达式为yy2关于t的函数表达式为y【分析】（1）当点F在AD上时，AF=2t，然后即可表示出DF，进而根据正方形的性质结合题意得到，ΔDOF的面积为y1=12DF×2=4−2t(0⩽t<2)，再结合题意即可表示出△BEF的面积；当点F在13．【答案】（1）解：连接OA，OP，过点P作PD⊥OC，垂足为D，如图：由题意得，筒车每秒转360°÷60＝6°，盛水简P浮出水面2.5秒后，此时∠AOP＝2.5×6＝15°，∵cos∠AOC＝2.∴∠AOC≈37.5°，∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝37.5°+15°＝52.5°，∴∠OPD＝37.5°，在Rt△POD中，OD＝OP•sin37.5°＝3×0.6＝1.8m，∴2.4﹣1.8＝0.6m，答：此时盛水简P距离水面的高度0.6m（2）解：如图，因为点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，所以当P在直线MN上时，此时P是切点，连接OP，所以OP⊥MN，在Rt△OPM中，cos∠POM＝OP∴∠POM＝68°．在Rt△OCM中，cos∠COM＝OCOM∴∠COM＝73°，∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180﹣68°﹣73°＝39°，∴需要的时间为39答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线MN上【解析】【分析】（1）连接OA，OP，过点P作PD⊥OC，垂足为D，由题意得筒车每秒转360°÷60＝6°，进而根据题意解直角三角形即可求解；

（2）先连接OP，进而根据切线的性质得到OP⊥MN，从而结合题意解直角三角形即可求解。14．【答案】（1）解：由题意得，y＝﹣13∴A（0，3），∴tan∠ABC＝OAAB∵CD∥AB，∴tan∠BCD＝tan∠ABC＝33设点D（m，﹣13∴3−m1∴m＝﹣43，∴y＝﹣13∴D（﹣43，﹣5）（2）解：如图1，设G（t，﹣13t2−233t+3∴GP+DP＝﹣33t2﹣3∴当t＝﹣−3∴33∴P(−作点P关于AB的对称点P'，PP'交AB于V，作P'W⊥PG于W，∴∠IP'P＝∠IPP'＝30°，∴∠P'IW＝60°，∵tan∠ACB＝OAOC∴∠ACB＝60°，∴∠BAC＝90°，∴P'V＝PV＝AC＝2OC＝23，∴PP'＝43，∴P'W＝1∵﹣3∴P'（﹣53∵∠ACD＝∠ACB+∠BCP＝60°+30°＝90°