2024-2025学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（1）教学实录 新人教A版必修第一册

2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式（1）教学实录新人教A版必修第一册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式（1）教学实录新人教A版必修第一册设计思路本节课以新人教A版必修第一册第二章内容为基础，针对高中二年级学生，重点讲解一元二次函数、方程和不等式中的基本不等式。通过引导学生观察、分析、总结，帮助学生理解不等式的性质和应用，提高学生运用不等式解决问题的能力。核心素养目标培养学生逻辑推理能力，通过探究不等式的性质，让学生学会运用数学语言表达数学思维；提升数学建模意识，引导学生将实际问题转化为数学模型，解决实际问题；增强数学运算能力，训练学生灵活运用不等式解决方程和不等式问题，提高运算效率。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、一元二次方程、函数的基本性质等基础知识，具备一定的逻辑推理能力和运算能力。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中二年级学生对数学学科普遍保持较高的兴趣，具备较强的逻辑思维能力。学习风格上，部分学生倾向于通过观察、实验来理解知识，而另一部分学生则更习惯于通过公式、定理进行推导和应用。

3.学生可能遇到的困难和挑战：部分学生在理解和运用不等式的性质时可能存在困难，尤其是对不等式的可加性、可乘性等概念理解不够深入。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将实际问题转化为数学模型，或者在应用不等式进行运算时出现错误。教学资源-教学软件：几何画板、MicrosoftExcel

-课程平台：学校内部教学平台

-信息化资源：一元二次函数、方程和不等式相关电子课件、视频讲解

-教学手段：黑板、粉笔、多媒体投影仪、计算器教学流程1.导入新课

详细内容：首先，通过提问的方式回顾上一节课学习的一元二次方程的解法，引导学生思考一元二次方程与一元二次函数之间的关系。例如：“同学们，上一节课我们学习了如何解一元二次方程，那么你们能想到一元二次方程与一元二次函数之间有什么联系吗？”通过这样的问题，激发学生的思考，为新课的导入做好铺垫。

2.新课讲授

（1）不等式的性质

详细内容：介绍不等式的性质，如可加性、可乘性、可除性等。通过具体例子，让学生理解这些性质在实际问题中的应用。例如：“我们来看这样一个例子：如果a>b，那么a+c>b+c，这个性质叫做不等式的可加性。接下来，我们用几何画板展示这个性质，请大家观察并思考。”

（2）基本不等式的证明

详细内容：讲解基本不等式的证明过程，引导学生掌握证明方法。例如：“现在我们来证明基本不等式：对于任意的正实数a和b，有a^2+b^2≥2ab。我们可以通过平方差公式进行证明，请同学们跟随着老师的思路，一起完成证明过程。”

（3）基本不等式的应用

详细内容：结合实际例子，讲解基本不等式在解决实际问题中的应用。例如：“假设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求长方体的体积V。根据基本不等式，我们可以得出V=abc≤(a^2+b^2+c^2)/3，这个不等式可以帮助我们估算长方体的体积。”

3.实践活动

（1）小组合作探究

详细内容：将学生分成小组，每组选择一个与基本不等式相关的问题进行探究。例如：“请同学们在小组内讨论，如何运用基本不等式解决以下问题：已知x、y、z为正实数，且x+y+z=3，求x^2+y^2+z^2的最小值。”

（2）个人练习

详细内容：布置一些与基本不等式相关的练习题，让学生独立完成。例如：“请同学们完成以下练习题：1.证明对于任意的正实数a和b，有a^2+b^2≥2ab；2.求函数f(x)=x^2+4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。”

（3）课堂展示

详细内容：每组选派一名代表展示本组探究的结果，其他小组进行评价和补充。例如：“请第一小组的同学来展示他们探究的问题，其他小组的同学可以提出自己的观点和疑问。”

4.学生小组讨论

（1）讨论一元二次函数与不等式的联系

举例回答：学生可能会讨论到，一元二次函数的图像可以帮助我们直观地理解不等式的解集，例如，当a>0时，一元二次函数的图像开口向上，此时不等式ax^2+bx+c>0的解集是图像在x轴上方的部分。

（2）讨论基本不等式的应用场景

举例回答：学生可能会提到，基本不等式在优化问题、最值问题中的应用，例如，在求最短路径、最优化资源配置等问题中，基本不等式可以帮助我们找到问题的最优解。

（3）讨论如何解决实际问题

举例回答：学生可能会讨论到，将实际问题转化为数学模型的方法，例如，在解决工程问题时，如何将实际问题中的长度、宽度、高度等参数转化为数学中的变量，并运用不等式进行求解。

5.总结回顾

内容：首先，对本节课所学内容进行简要回顾，强调一元二次函数、方程和不等式之间的联系，以及基本不等式的性质和应用。然后，针对本节课的重难点进行讲解和总结。例如：“今天我们学习了基本不等式的性质和应用，重点在于理解不等式的可加性、可乘性、可除性，以及如何运用基本不等式解决实际问题。请大家记住，基本不等式在解决优化问题和最值问题时非常有用。”

用时：导入新课5分钟

新课讲授15分钟

实践活动15分钟

学生小组讨论10分钟

总计用时：45分钟学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握程度：

学生在学习本节课后，能够熟练掌握一元二次函数、方程和不等式的基本概念和性质。具体表现为：

-理解并记住一元二次函数的标准形式，能够根据函数表达式绘制函数图像。

-掌握一元二次方程的解法，包括求根公式和配方法。

-理解并运用基本不等式的性质，如可加性、可乘性、可除性等。

-能够区分一元二次不等式与一元二次方程的区别，并熟练求解不等式。

2.能力提升：

-逻辑推理能力：通过证明基本不等式的过程，学生能够锻炼自己的逻辑推理能力，学会从已知条件推导出未知结论。

-数学建模能力：学生能够将实际问题转化为数学模型，运用不等式解决问题，提高数学建模能力。

-解决问题的能力：学生在面对实际问题如优化问题、最值问题时，能够灵活运用所学知识，提高解决问题的能力。

3.学习习惯与态度：

-学生在参与实践活动和小组讨论中，养成了良好的学习习惯，如积极思考、主动提问、合作学习等。

-学生对数学学科的兴趣得到提升，更加积极地参与到课堂学习中，对待数学问题更加严谨。

-学生在学习过程中，遇到困难时能够主动寻求帮助，展现出良好的学习态度。

4.实用性应用：

-学生能够将所学知识应用于实际生活，如计算物品体积、估算消费等，提高生活实用性。

-在学习其他相关课程时，如物理、经济学等，学生能够运用一元二次函数、方程和不等式的知识进行分析和解决问题。

5.综合评价：

-学生在期末考试或平时测验中，能够较好地运用所学知识，解答与一元二次函数、方程和不等式相关的问题。

-学生在解决实际问题时，能够灵活运用所学知识，体现出较高的数学素养和综合能力。典型例题讲解1.例题一：求解不等式

题目：解不等式2x^2-5x+2>0。

解答：

首先，将不等式转化为等式：2x^2-5x+2=0。

然后，使用求根公式求解：x=(5±√(25-4×2×2))/(2×2)。

得到两个根：x=1和x=2/2=1。

根据不等式的性质，当x<1或x>2时，不等式成立。

所以，不等式的解集为：(-∞,1)∪(2,+∞)。

2.例题二：求解不等式的解集

题目：解不等式|2x-3|<5。

解答：

首先，根据绝对值的定义，将不等式分解为两个不等式：

2x-3<5和-(2x-3)<5。

解第一个不等式：2x<8，得到x<4。

解第二个不等式：-2x+3<5，得到-2x<2，即x>-1。

综合两个不等式的解，得到解集：(-1,4)。

3.例题三：求解不等式的参数范围

题目：求解不等式x^2-(a+1)x+a>0的解集，其中a是参数。

解答：

首先，将不等式转化为等式：x^2-(a+1)x+a=0。

然后，使用求根公式求解：x=(a+1±√((a+1)^2-4a))/2。

得到两个根：x=1和x=a。

根据不等式的性质，当x<1或x>a时，不等式成立。

因此，解集取决于a的值：

-当a>1时，解集为(-∞,1)∪(a,+∞)；

-当a=1时，解集为空集，因为x=1是等式的根；

-当a<1时，解集为(-∞,a)∪(1,+∞)。

4.例题四：求解不等式组的解集

题目：求解不等式组{x^2-4x+3<0,x-2>0}的解集。

解答：

首先，解第一个不等式x^2-4x+3<0，将其转化为(x-1)(x-3)<0。

解得：x∈(1,3)。

然后，解第二个不等式x-2>0，得到x>2。

综合两个不等式的解，得到解集为(2,3)。

5.例题五：求解不等式在实际问题中的应用

题目：已知长方体的长和宽分别为2x和3x，高为4x，求长方体体积的最大值。

解答：

首先，根据长方体体积公式，体积V=长×宽×高=2x×3x×4x=24x^3。

然后，要求体积的最大值，即求x的范围。

由于长、宽、高都是正数，所以x>0。

使用基本不等式a^2+b^2≥2ab，得到(2x)^2+(3x)^2≥2×2x×3x，即13x^2≥12x^2。

解得x≥0。

因此，当x=0时，长方体体积最大，最大体积为V=24×0^3=0。实际上，由于x>0，所以长方体的体积没有最大值，但可以无限接近于0。教学反思与改进教学反思是教师专业成长的重要环节，通过反思，我们可以更好地了解自己的教学效果，发现教学中的不足，从而不断改进教学方法，提高教学质量。以下是我对本次“一元二次函数、方程和不等式”教学的一些反思与改进措施。

1.教学反思活动设计

（1）课后问卷调查：在课后，我会发放一份问卷，询问学生对本次课程内容的理解程度、课堂参与度以及学习兴趣等，以便了解学生的真实想法。

（2）课堂观察记录：在课堂上，我会记录学生的课堂表现，包括对知识的掌握情况、课堂互动情况等，通过观察学生的反应来评估教学效果。

（3）教学反思日记：每天课后，我会写一篇教学反思日记，记录自己在教学过程中的感受、收获以及需要改进的地方。

2.改进措施及实施计划

（1）加强基础知识讲解：通过课后问卷调查发现，部分学生对一元二次函数、方程和不等式的基本概念理解不够深入。因此，在未来的教学中，我会更加注重基础知识的教学，通过实例讲解、图形展示等方式，帮助学生更好地理解这些概念。

（2）丰富教学手段：为了提高学生的学习兴趣，我会尝试运用多种教学手段，如多媒体课件、几何画板等，使课堂更加生动有趣。

（3）加强课堂互动：在课堂上，我会多设计一些互动环节，如小组讨论、课堂提问等，让学生在互动中学习，提高他们的参与度。

（4）关注学生个体差异：在教学过程中，我会关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，给予个性化的指导，确保每个学生都能有所收获。

（5）改进作业布置：为了巩固所学知识，我会设计一些具有针对性的作业，让学生在完成作业的过程中，加深对知识的理解和应用。

（6）定期进行教学反思：在教学过程中，我会定期进行教学反思，总结经验教训，不断调整教学策略，以提高教学质量。课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一环，它有助于我们了解学生的学习情况，及时发现问题并进行解决。以下是我对课堂评价的具体实施方法：

1.提问评价

提问是课堂评价的重要手段，通过提问可以了解学生对知识的掌握程度和理解深度。在课堂上，我会设计不同类型的问题，如事实性问题、分析性问题、综合性问题等，以检验学生对知识的理解和应用能力。

例如，在讲解基本不等式的性质时，我会提问：“如果a>b，那么a^2+b^2与2ab的大小关系是怎样的？”通过这个问题，我可以了解学生对基本不等式性质的理解程度。

2.观察评价

观察是课堂评价的另一种重要方式，通过观察学生的课堂表现，可以了解他们的学习态度、参与度和学习效果。我会注意观察学生的眼神、表情、动作等，以评估他们的学习状态。

例如，在讲解一元二次方程的解法时，我会观察学生是否能够跟随老师的思路，是否能够独立完成解题步骤。

3.测试评价

测试是课堂评价的有效手段，可以通过小测验、随堂测试等方式，检验学生对知识的掌握情况。我会根据教学内容设计相应的测试题，并及时批改和反馈。

例如，在讲解完一元二次不等式的解法后，我会进行一次随堂测试，测试学生对不等式解法的掌握程度。

4.小组讨论评价

小组讨论是课堂互动的重要形式，通过小组讨论可以培养学生的合作精神和解决问题的能力。在小组讨论中，我会观察学生的参与度、表达能力和倾听能力。

例如，在讨论如何将实际问题转化为数学模型时，我会观察每个学生在讨论中的