2024-2025学年高中数学 第2章 解析几何初步 3 3.3 空间两点间的距离公式（教师用书）教学实录 北师大版必修2

2024-2025学年高中数学第2章解析几何初步33.3空间两点间的距离公式（教师用书）教学实录北师大版必修2授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析2024-2025学年高中数学第2章解析几何初步3.3节，北师大版必修2《空间两点间的距离公式》教学实录。本节内容与课本紧密关联，通过推导空间两点间距离公式，帮助学生理解空间几何知识，提高空间想象力和计算能力，为后续学习打下基础。核心素养目标分析培养学生空间观念，通过空间两点间距离公式的学习，提升学生的逻辑推理能力和数学建模能力。同时，强化学生的几何直观，提高运用数学知识解决实际问题的能力，培养严谨求实的科学态度。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在此前已经学习了平面几何中的距离公式和点的坐标表示，具备了一定的坐标计算和几何推理基础。然而，空间几何的学习对学生来说是新挑战，他们需要从二维思维过渡到三维空间思维。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对几何学通常抱有较高的兴趣，特别是当几何知识与实际问题相结合时。学生在数学能力上存在个体差异，部分学生可能在空间想象和抽象思维方面表现较好，而另一些学生可能在理解和记忆几何公式时遇到困难。学习风格上，有的学生偏好通过视觉和图形来学习，而有的学生则更依赖于公式和逻辑推理。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习空间两点间的距离公式时可能遇到的困难包括：

-空间想象力的不足，难以在脑海中形成空间几何图形；

-对坐标系和空间点表示的理解不够深入，导致坐标计算错误；

-推理过程中逻辑混乱，难以正确应用公式解决问题；

-对公式推导过程理解不透，难以灵活运用公式进行计算。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，包括北师大版必修2《空间两点间的距离公式》相关章节。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如空间几何图形的动画演示，以帮助学生直观理解。

3.教学工具：准备直尺、圆规等基本绘图工具，用于课堂练习和演示。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行合作学习，并确保实验操作台或白板等教学设施齐全。教学过程一、导入（约5分钟）

1.激发兴趣：以实际生活中的空间距离问题为例，如建筑设计中的空间布局，引发学生思考，激发他们对空间距离公式的兴趣。

2.回顾旧知：引导学生回顾平面直角坐标系中两点间距离公式的推导过程，为新知识的学习做好铺垫。

二、新课呈现（约30分钟）

1.讲解新知：详细讲解空间直角坐标系中两点间距离公式的推导过程，包括向量表示和数量积的应用。

2.举例说明：通过具体的空间点坐标，演示如何运用公式计算两点间的距离，让学生理解公式的实际应用。

3.互动探究：组织学生进行小组讨论，让他们尝试自己推导公式，并在课堂上展示自己的推导过程。

三、巩固练习（约20分钟）

1.学生活动：学生独立完成教材上的练习题，计算给定空间点的距离，加深对公式应用的理解。

2.教师指导：对学生的练习情况进行巡视，对普遍存在的问题进行讲解和指导，确保每位学生都能正确应用公式。

四、深化理解（约15分钟）

1.提出问题：引导学生思考公式推导过程中涉及的几何意义和数学原理。

2.学生讨论：学生分组讨论，分享对公式的理解和在计算过程中的经验。

3.教师总结：对学生的讨论进行总结，强调公式推导过程中的关键步骤和数学思想。

五、应用拓展（约10分钟）

1.课堂延伸：提供一些实际问题，如计算地球表面上两点间的直线距离，让学生运用所学公式解决。

2.学生展示：选取几名学生进行展示，讲解他们是如何应用公式解决实际问题的。

六、课堂小结（约5分钟）

1.教师总结：回顾本节课的学习内容，强调空间两点间距离公式的应用和重要性。

2.学生反馈：请学生分享对本节课内容的理解和学习心得。

七、作业布置（约5分钟）

1.作业内容：布置教材课后习题，包括计算题和应用题，以巩固学生对空间两点间距离公式的理解和应用。

2.作业要求：要求学生独立完成作业，并按时上交，以便教师检查学生的学习效果。教学资源拓展1.拓展资源：

-空间几何图形的计算机辅助设计（CAD）软件介绍：通过CAD软件，学生可以直观地绘制和操作空间几何图形，加深对空间两点间距离公式的理解。

-空间几何问题在实际工程中的应用案例：收集并整理一些空间几何问题在建筑、工程、地理信息等领域的应用实例，如建筑设计中的空间距离计算、地理信息系统中的距离测量等。

-空间几何的历史发展简介：介绍空间几何的发展历程，包括欧几里得几何、非欧几何等，以及这些几何体系在数学发展中的地位和影响。

2.拓展建议：

-学生可以通过在线资源或图书馆查阅关于空间几何的历史资料，了解空间几何的发展背景。

-利用CAD软件，学生可以自行设计一些空间几何问题，如计算两个空间点的最短距离，通过实际操作加深对距离公式的理解。

-组织学生进行小组合作，针对实际案例，如城市规划中的空间布局问题，应用空间两点间距离公式进行计算和分析。

-鼓励学生参与数学竞赛或科学展览，通过解决实际问题展示他们在空间几何学习中的成果。

-引导学生阅读相关的数学期刊或论文，了解空间几何在当代数学研究中的应用和最新进展。

-设计一些开放性的问题，如探讨空间两点间距离公式的适用范围和局限性，激发学生的探究精神和创新思维。

-通过制作几何模型或动画，帮助学生直观地理解空间几何图形和距离公式的几何意义。

-结合地理信息系统（GIS）的知识，探讨空间距离在地理信息处理中的应用，如地图缩放、距离测量等。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.回顾本节课的学习内容，强调空间两点间距离公式的推导过程和几何意义。

2.总结公式在解决实际问题中的应用，如建筑设计、地理信息系统等。

3.强调空间几何在数学发展中的重要地位，以及其在现代科技中的应用价值。

4.鼓励学生在日常生活中关注空间几何现象，提高空间思维能力。

当堂检测：

1.单项选择题（每题5分，共20分）

-在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)和点B(4,5,6)之间的距离是（）

A.2B.3C.4D.5

-下列哪个选项不是空间两点间距离公式的应用？（）

A.计算地球表面上两点间的直线距离

B.建筑设计中的空间布局

C.化学反应中的分子间距离

D.地理信息系统中的距离测量

2.判断题（每题5分，共20分）

-空间两点间距离公式只适用于空间直角坐标系中的点。（）

-空间两点间距离公式可以推导出平面直角坐标系中两点间的距离公式。（）

-空间两点间距离公式的推导过程中，向量数量积的计算非常重要。（）

-空间两点间距离公式在解决实际问题时具有广泛的应用。（）

3.计算题（每题10分，共30分）

-在空间直角坐标系中，点A(2,3,4)和点B(-1,2,3)之间的距离是多少？

-已知空间直角坐标系中，点C(1,2,3)和点D(4,5,6)之间的距离为5，求点C关于平面x+y+z=1的对称点E的坐标。

4.应用题（每题15分，共30分）

-在建筑设计中，需要计算两个相邻建筑物之间的距离，已知建筑物A的坐标为(1,2,3)，建筑物B的坐标为(4,5,6)，求两建筑物之间的距离。

-在地理信息系统中，需要测量两点之间的直线距离，已知两点坐标分别为(100,200,300)和(150,250,350)，求两点之间的直线距离。板书设计①重点知识点：

-空间直角坐标系

-向量表示

-向量数量积

-空间两点间距离公式

②关键词：

-坐标

-向