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文档简介

2正交矩阵的性质第八节正交矩阵1正交矩阵的定义正交矩阵有以下几种等价定义.

定义1：

A为n阶实矩阵,若ATA=E,则称A为正交矩阵.

定义2：

A为n阶实矩阵,若AAT=E,则称A为正交矩阵.

定义3：

A为n阶实矩阵,若AT=A-1,则称A为正交矩阵.

定义4：

A为n阶实矩阵，若A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵.一、正交矩阵的定义例如，单位矩阵E为正交矩阵.

再如，矩阵也为正交矩阵.

一、正交矩阵的定义

性质1：

设为A正交矩阵，则：

1）|A|=1；2）A可逆，其逆A-1也是正交矩阵；

3）AT，A*也是正交矩阵.

证：1）由AAT=E，可知|A|2=1，或者|A|=1.

对正交矩阵A，当|A|=1时，我们称A为第一类正交矩阵；当|A|=-1时，则称A为第二类正交矩阵.2)由AAT=E,可知A可逆,且A-1=AT,又(A-1)T=(AT)T=A=(A-1)-1=E.故A-1是正交矩阵.3)由2)知AT=A-1,AT是正交矩阵.而A*=|A|A-1=A-1,有(A*)T=(A-1)T=A=(A*)-1,故A*是正交矩阵.二、正交矩阵的性质性质2

设A，B都是正交矩阵，则：1)AB，Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA等都是正交矩阵；

证:1)由AT=A-1,BT=B-1可知(AB)T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1，所以AB为正交矩阵，从而再由性质1可推知:Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA均为正交矩阵。二、正交矩阵的性质二、正交矩阵的性质

性质3:

1）设A，B为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B必不可逆；

2）设为A，B奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则必A-B不可逆.

证：1)由|A+B|=|BBTA+BATA|=|B||BT+AT||A|=-|B|2|BT+AT|=-|(A+B)T|=-|A+B|得|A+B|=0,即A+B不可逆.2)由|A-B|=|BBTA-BATA|=|B||BT-AT||A|=|B|2|BT-AT|=|-(A-B)T|=(-1

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