解析几何及参考答案

PAGEPAGE11华南农业大学期末考试试卷（A卷）2006学年第1学期考试科目：解析几何考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人填空题（每空2分，共16分）。设向量非零，若，则与满足的条件。设非零不共线，则的正向所成角的平分线上的单位向量是。设向量，则同时垂直于向量的单位向量为。设为互相垂直的右旋向量组，且，则＝。参数方程，表示的二次曲面是。绕自身的渐近线旋转的的旋转面方程为。二次曲线的平行于的切线方程是。曲线关于面上的投影曲线方程为。选择题（每题3分，共24分）。下列命题中，正确的是()A、；B、；C、；D、。设向量是不共线，且()设均为单位向量，且，则的值为()直线与直线的位置关系是()A、垂直；B、平行；C、重合；D、异面。直线与平面的夹角是()在空间直角坐标系中，下列方程表示椭圆的是()直线族所形成的二次曲面是()A、抛物柱面；B、双曲柱面；C、椭圆抛物面；D、双曲抛物面。经过两条抛物线和的二次曲面是()A、椭圆抛物面；B、单叶双曲面；C、双曲抛物面；D、双叶双曲面。计算题（1、2、3、4每题10分，5题15分，共55分）。在给定的直角坐标系中，求异面直线与之间的距离及公垂线方程。在直角坐标系中，求经过以下两平面的交线，且平行于轴的平面的方程，并求点到平面的距离。设圆柱面的对称轴为且已知点在该圆柱面上，求该圆柱面的方程。求绕旋转的旋转面方程。通过直角坐标变换或者二次曲线不变量把化成标准型，作出其图形，说明原方程表示什么曲线。证明题（5分）。设等边边长为1，令,证明：。华南农业大学期末考试试卷（A卷）参考答案2006学年第1学期考试科目：解析几何填空题（每空2分，共16分）。6二次锥面或。选择题（每题3分，共24分）。C、C、D、D、C；6.B、A、C.计算题（1、2、3、4题每题7分，5、6题每题11分，共50分）。解：分别过点,方向向量分别是……3分公垂线方向向量可以取…..……...4分方程即………...…………7分方程即……………..………10分从而公垂线的方程为……………..……10分解：设经过的平面族方程为…………...……..4分设平行于轴，则…….………..6分取,代入方程得。………..…………..……..8分………..……..…10分解：对称轴过点，方向向量设是圆柱面上任意一点，则在上充要条件是即……….……..6分代入计算得整理得.…..10分解：母线，轴过点，方向向量点在此旋转面上的充要条件为在某一条母线上，即存在母线上一点，使得在过点的纬圆上。因此6分即消去，得………9分消去，得……….……10分解法一：使用直角坐标坐标变换。设新旧坐标系同定向右手系。先作转轴变换消去交叉项。选取转角使得它满足 ……..…1分解得，则…………2分于是…………...4分………….6分因此转轴后的新方程是….…….7分转轴公式为。（1）……...………..8分配方得…………...…..……..9分再作移轴变换（2）………….…10分得…….………...11分即…….11分原方程表示椭圆，长半轴长为，虚半轴长为由公式（1）、（2）得总的坐标变换公式为……….……..…12分即…………..…….……...12分新坐标原点旧坐标为。作图………….……15分xxy*x*OO’y45。解法二：不变量。二次曲线的不变量为这是椭圆型曲线。………….2分，…….4分原方程表示椭圆，…………….……..5分特征方程，……...7分特征根原方程化为……9分即……………10分选取转角使得它满足 ……11分解得。…………….11分由解得对称中心。……………