专题06 线段与角的等量代换模型（原卷版）-七年级数学上册

专题06线段与角的等量代换模型等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。模型1.

线段与角度的等量代换模型【模型解读】“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。1）线段的等量代换条件：如图，已知：EG=HF；结论：EH=GF.2）角度的等量代换（图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）条件1：如图，已知∠AOB=∠DOC；结论：∠1=∠2.条件2：如图，已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等；例1．（2023秋·北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，，是线段上两点，，分别是线段，的中点，下列结论：①若，则②若，则③④其中正确的结论是（

）A．① ② ③ B． ③ ④ C．① ② ④ D． ① ② ③ ④例3．（2023·福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（

）A．3 B．7 C．10 D．13例4．（2023·湖北黄石·七年级统考期末）如图，顺次为线段上的两点，是的中点，则的值是（

）A．9 B．8 C．7 D．6例5．（2023秋·广东七年级期中）已知：如图所示，则()A．B．C．D．与的大小无法比较例6．（2023秋·安徽安庆·七年级校联考期末）如图所示，已知，，则的度数是A． B． C． D．例7．（2023春·北京·七年级月考）如图，已知，，则与的关系是（

）A．大 B．大 C．相等 D．无法确定例8．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（

）A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义例9．（2023·安徽铜陵·七年级统考期末）如图，，下列结论：其中正确的是（）A． B． C． D．例10．（2023.黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知．

(1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数；(3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．例11．（2023.河北省邢台市七年级期末）已知，平分，平分．(1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．

例12．（2023春·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．(1)如图1，，，与的数量关系是：________．(2)如图2，，，与的数量关系是：________．(3)由（1）（2）你得出的结论是：如果________，那么________________．(4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，求这两个角度数．例13．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）填空：已知：如图，、相交于点．求证：证明：∵，（______）∴______．（等式性质）同理可得：______又∵，（______）∴，（等量代换）课后专项训练1．（2023·山西大同·七年级统考期末）如图，线段AB上有C，D两点，其中D是BC的中点，则下列结论一定正确的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB2．（2023·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较3．（2023.江苏镇江七年级期末）如图所示，B，C是线段上任意两点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度是（）A． B． C． D．以上都不对4．（2023·山西·七年级统考阶段练习）如图，点M，N，P分别是线段AN，AB，NB的中点，则下列说法正确的是（

）A．点N是线段AP的中点 B．点N是线段BM的中点C．线段BM是线段NP的3倍 D．线段AP是线段NB的2倍5．（2023秋·福建宁德·七年级校考期末）如图所示，C、D是线段AB上两点，若AC=3cm，C为AD中点且AB=10cm，则DB=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm6．（2023.河南南阳七年级期末）在线段MN的延长线上取一点P，使NP＝MN，再在MN的延长线上截取QM＝3MN，那么线段MP的长是线段NQ的长的（）A． B． C． D．7．（2023.上海七年级期末）如图，C是线段上的一点，D是线段的中点，已知图中所有线段的长度之和为16，且所有线段的长度都是正整数，则线段的长度是（

）．A．2 B．3 C．4 D．58．（2023.天津市南开区七年级期末）如图，AOB是一条直线，∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中互补的角有（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对9．（2023秋·黑龙江佳木斯·七年级联考期末）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，∠COD=90°，则图中互余的角有（）对．A．5 B．4 C．3 D．210．（2023春·河北沧州·七年级校考期中）如图，直线相交于点，于点，，则的度数为（

）A． B． C． D．11．（2023秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，于，则的度数为（

）

A． B． C． D．12．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，于点A，于点D，则下列说法中正确的是（）

①的余角只有；②的补角是；③与互补；④与互余A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④13．（2023春·河北保定·七年级统考期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（题中所有角均指小于的角）．给出下列结论：①；②；③．其中结论一定正确的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③14．（2023春·河北唐山·七年级统考期中）如图，直线相交，若，图中与相等的角有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（

）A． B． C． D．16．（2023春·北京顺义·七年级统考期末）如图，点O在直线上，过点O作射线，，．从下面的四个条件中任选两个，可以推出的是（写出一组满足题意的序号）．①；②和互余；③；④．

17．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）一副三角板如图放置，当∠1与∠2互余时，∠1的度数是.

18．（2023秋·广东韶关·七年级校考期末）和互补，且，则，理由是．19．（2023春·上海长宁·七年级校联考期末）如图，，比大，与互余，则．

20．（2023.成都市七年级期末）如图，在同一平面内，，则的度数为．21．（2023·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，已知点，为线段上顺次两点，、分别是，的中点．（1）若，求的长；（2）若，，请用含有，的式子表示出的长．22．（2023.江西省南昌市七年级期末）问题：如图，点C是线段的中点，点D在线段上，点E是线段的中点．若，求线段的长．请补全以下解答过程．解：∵点C是线段的中点，点E是线段的中点∴，，∵，∴___________，∵，∴___________．23．（2023·四川绵阳·七年级校联考期末）如图，点为线段上两点，，点为线段的三等分点（靠近点），点，分别为，的中点．（1）求证：；（2）若，求的长．24．（2023·湖北武汉·七年级校考期末）（1）如图1，C、D为线段上两点，若D为中点，，求的长；（2）如图2，为内两条射线，，求的度数．25．（2023·河南郑州·七年级校考阶段练习）问题：如图，线段AC上依次有D，B，E三点，其中点B为线段AC的中点，AD=BE，若DE=4，求线段AC的长．请补全以下解答过程．解：∵D，B，E三点依次在线段AC上，∴DE=+BE∵AD=BE

∴DE=DB+（

），即DE=AB∵DE=4

∴AB=4又∵点B为线段AC的中点，∴AC==8

（

）26．（2023秋·广东佛山·七年级统考期中）已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．(1)如图1，①若∠COF＝20°，求∠BOE的度数；②若∠COF＝α，直接写出∠BOE的度数；（用含α的式子表示）(2)如图2，若∠COE处于图2的位置，试探究∠BOE和∠COF之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．27．（2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，直线相交于点O，过点O作平分．若，求的度数．28．（2023春·上海·七年级专题练习）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整：题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解：∵，（已知）∴________（等式性质）∵（

）∴__________________（等量代换）∵平分（已知）∴____________（角平分线的意义）∴（

）29．（2023秋·甘肃金昌·七年级校考期末）如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由.30．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知，平分，平分．

(1)如图1，若与重合，则__________________；(2)如图2，，求的度数；(3)如图3，，求的度数．31．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）把下面的证明过程补充完整．已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且．求证：．证明：（已知）又（）（等量代换）平分（已知）（）（已知）（）（等量代换）（有两个角互余的三角形是直角三角形）（垂直的定义）32．（2023春·四川眉山·七年级统考期末）如图，在△ABC中BD是边AC上的高，∠ABC=128°，∠ABD=65°，点E在AC的延长线上，求∠BCE的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵BD⊥AC（已知），∴∠ADB=．∵∠ABD=65°（已知），∴∠BAD=90°－∠ABD（直角三角形两锐角互余），∴∠BAD=．∵∠BCE=∠BAC＋∠ABC（），∴∠BCE=＋128°=（等量代换）．33．（2023·绵阳市·七年级专题练习）对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得，则称点P为点M，N的“k和点”．例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为，所以点P是点M，N的“4和点”．(1)如图2，已知点A表示的数为，点B表示的数为2．①若点O表示的数为0，点O为点A，B的“k和点”，则k的值______．②若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为______．③若点D是点A，B的“k和点”，且，求k的值．(2)数轴上点E表示的数为a，点F在点E的右侧，，点T是点E，F的“6和点”，请求出点T表示的数t的值（用含a的代数式表示）．34．（2023.江苏七年级月考）已知∠AOD=150°．（1）如