17.2 运用勾股定理巧妙计算 讲义 2024-2025学年人教版八年级数学下册

速算与妙算线段——谈勾股定理在计算中的灵活运用泸州高中附属学校易建洪关键词：数学教学是由慢到快到准的艺术，直角三角形中的勾股定理，是三角形、多边形、圆中线段计算证明的基础，在教学中教会学生如何运用勾股定理快速准确进行计算、如何设元运用勾股定理建方程计算线段。在教学中点燃学生学习的热情，激发归纳总结规律的欲望是关键，引导学生画图计算，实际动手操动是手段。一、快速口算边长抓住直角三角形中的线段长度特征，有时可以运用缩放法、平方差因式分解法、勾股数、比例法等快速口算直角三角形的边长。教学完勾股定理后，给学生出了五道填空题如下：例题1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件填空：（1）若a＝4，b＝8，则c＝___________.（2）若c＝41，b＝40，则a＝_____________.（3）若a＝5，b＝12，则c＝____________.（4）若∠A＝30°，a＝2，则c＝__________，b＝__________.（5）若∠A＝45，a＝3，则c＝__________，b＝__________.绝大多数学生用了很久的时间才计算完，此时，我让学生停笔下来，看老师口算出答案。学生惊讶地望着老师。然后老师再逐一引导学生提炼归纳规律，学生通过与实际计算的结果对比，从而验证规律是正确的。总结完规律，老师再随意举一些例子，分别请学生来口算第三边的边长。班上平时学习成绩较差的学生也会在短短的一两秒时间内正确算出答案，这大大增加了他们学习数学的兴趣和信心。通过上面的习题，我们总结的规律如下：1.缩放法： 直角三角形已知的两边成倍数a，或有公因数a，将这两边同时缩小a倍，用勾股定理计算出第三边，再将结果乘以a倍得实际第三边的长度.（图1）例题1中的（1）小题，将4、8同时缩小4倍后为1、2，由1和2计算斜边为，这一过程是绝大多数学生都能口算的，再将放4倍回去（如图1），实际c的长为4.（图1）2.平方差因式分解法： 当计算直角边长的时候，将被开方数的平方差分解因式，往往会使计算化简更简便。例题1中的（2）小题，如果不用平方差公式，先算平方，再算差，会是这样：C＝.如果用平方差公式，则会是这样：C＝。前一个算式中412都会让学生计算费时，而后一种计算全是在口算中进行比较省时.3.勾股数 记住勾股数及其倍分数，可以快速得到答案。例如3，4，5的倍数6，8，10；9，12，15；12，15，20…；此外常见的勾股数可以用联系法引导学生记忆：首位数是奇数3，5，7，9，11，后两位数分别是相邻整数；首位数是独立偶数时为8.3，4，5（勾三股四弦五口诀）；5，12，13（2＋3＝5，后两位个位数相加为首位数）；7，24，25（2＋5－7，后一位十位与个位数相加为首位数）；9，40，41（4＋0＋4＋1＝9，后两位所有数字相加为首位数）；11，60，61（6＋6－1＝11，后两位十位数字减个位数字为首位数）；8，15，17（7＋8＝15，最后一个个位数字加首位数字为第二个数）.此外常见勾股数与它们的倍分数也会满足勾股定理的计算.例题1中的（3）小题因为记住了勾股数5，12，13，因此口算出斜边c等于13.4.比例法 直角三角形中，当有一锐角为30°时，则三边的比例关系为1：：2；直角三角形中，当有一锐角为45°时，则三边的比例关系为1：1：.规纳这种比例关系时，先让学生通过几个简单的例子计算出三边数据，再引导将它们相比，得出此规律；其此引导学生在具体计算中，找出一份的边长，再利用比例口算未知边长。（图2）例如在直角三角形中，知60°所对的边长为3求斜边长.如图2因为60°所对的边的比例是份，因此将3÷＝得到一份的数值，即30°所对边的长，再乘以2为斜边的长2.（图2）同样的道理，在等腰直角三角形中，将斜边的长除以，可以得到直角边的长. 但是，在解答题中，有比例法计算三边的情况时，要求学生应该完整规范书写解题过程。例如在直角三角形中，知60°所对的边长为3求斜边长.先设30°所对的边长为x，则斜边长为2x，由勾股定理得：x2＋32＝(2x)2，所以x＝，斜边c＝2x＝2.在填空选择题中，则可以快算口算结果，例题1中的（4）小题c＝4，b＝2.例题1中的（5）小题c＝3，b＝3.二、设元妙算边长 在三角形中，只知一边的长，求另外两边，往往需要根据其它条件，设未知的一边为x，用含x的代数式表示其它未知边，巧妙借助勾股定理建方程求解x.其中由等量关系建方程的类型不同可以分为“和差边”和“边为桥”两种.1.和差边 在同一个直角三角形中，未知的两边存在和差关系，设未知的一边为x，利用和差关系表示出另一边，再利用勾股定理建立方程.此类习题的难点往往分析出未知两边的和差关系.例如树竹断裂问题中，断裂的两断和为树或竹的高；水池芦苇中露出水面的高度加水深等于芦苇的长；旗杆的绳长比旗杆高度多1米；纸片折叠问题，由折叠重合的边等角等，或利用角等加平行找等腰三角形，在完整直角三角形中找到两边之和等于已知条件等。例2.如图3，矩形OABC的顶点B的坐标是(8，4)，沿对角线AC将长方形对折，使点B落在点D处，CB′与x轴交于E，求点E和B′的坐标.分析：由题意得到∠BCA＝∠B′CA＝∠CAO，所以AE＝CE，OE＋CE＝OE＋AE＝OA＝8，设OE为a，则由勾股定理列方程求解OE，得点E的坐标；过点B′作OA的垂线，由面积法及勾股定理可得ED与B′D的长，进而求出OD，得点B′的坐标.解：矩形OABC中，顶点B的坐标是（8，4），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝4，OA∥BC，∴∠BCA＝∠OAC，由折叠重合可知：（图3）∠BCA＝∠B′CA，B′C＝BC＝（图3）∴∠OAC＝∠B′CA，∴CE＝AE，设OE＝a，则AE＝OA－OE＝8－a，从而CE＝8－a，在Rt△OCE中，由勾股定理，得:OC2＋OE2＝CE2，即42＋a2＝(8－a)2，解得a＝3，∴点E的坐标为（3，0），CE＝AE＝8－a＝5,B′E＝OE＝3，AB＝AB′＝4，过点B′作B′D⊥x轴于点D，如图4，则S△AB′E＝AEB′D＝EB′AB′.×5B′D＝×3×4，∴B′D＝2.4，（图4）在Rt△EB′D中，由勾股定理，得ED＝＝1.8（图4）∴OD＝OED＋ED＝3＋1.8＝4.8，又点B′在第四象限，∴点B′的坐标为（4.8，－2.4）.2.边为桥 在两个直角三角形中，有一条边相等，则以等边的平方作为桥梁，借助勾股定理，在两个直角三角形中建立等量关系，列出方程求线段长的办法叫边为桥。边为桥又可以分为高为桥和斜边为桥。（1）高为桥 已知三角形一边上的高分这边所成的两条线段与已知线段有和差关系，则设一条线段为x，用含x的代数式表示其它线段，以高的平方作为桥梁，借勾股定理，建立等量关系求线段。例3.如图5，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面积.分析：作BC边上的高AD，设BD为x，则CD为（14－x），由AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2列方程求出BD,再由勾股定理得到AD，从而求出△ABC的面积.解：过点A作AD⊥BC于点D，如图6（图5）则∠ADB＝∠ADC＝90（图5）由勾股定理得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2设BD＝x，则CD＝BC－BD＝14－x.∴132－x2＝152－(14－x)2，∴x＝5，即BD＝5在Rt△ABD中，由勾股定理，得（图9）AD＝＝12（图9）（图6）∴S△ABC＝BCAD＝×14×12＝84.（图6）（2）斜边为桥 已知两直角三角形的斜边相等，另外的直角边已知或存在和差关系，则设一直角边为长为x，用含x的代数式表示其它直角边，以斜边的平方作为桥梁，借勾股定理，建立等量关系求线段。例4.如图7，在一个宽为7m的房间，一只梯子放在房间中靠向左边的墙，梯顶离地面4m，梯底不动再靠向右边的墙，梯顶离地面3m，问此梯子有多长？分析：设BC为xm，则CE为(7－x)m，因为梯子的长度没有变化，将梯子长度放在两个直角三角形中，由勾股定理建立等量关系求出x，再由勾股定理求出梯子的长.解：设BC＝xm，由题意知∠B＝∠E＝90°，BE＝7m， （图7）AC＝CD，AB＝4m，DE＝3（图7）在△ABC中，∠B＝90°，AC2＝AB2＋BC2＝42＋x2，在△CDE中，∠E＝90°，CD2＝DE2＋CE2＝32＋（7－x）2.∵AC＝CD，∴AC2＝CD2∴42＋x2＝32＋（7－x）2，解得x＝3∴AC＝m.答：梯子长5m.练习： 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件填空：①若a＝15，c＝25，则b＝___________；②若c＝61，b＝60，则a＝__________；（图8）③若∠B＝45°，

c＝4，则a（图8）2.如图8，在等腰△ABC中，AB＝BC，AD是BC边上的高线，且DC＝AB＝1，求AC的长.3.如图9，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？（图9（图9）1.①20；②11；③2.2.解：设AC＝x，则BD＝BC－CD＝x－1，∵AD是BC边上的高线，所以∠ADC＝∠ADB＝90°由勾股定理得