2024-2025学年高一数学人教B版必修第四册教学课件 第十章 -10.2.1 复数的加法与减法

10.2.1复数的加法与减法第十章1.能进行复数的代数形式的加、减法运算.2.了解复数加、减运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.重点：复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几何意义.难点：复数减法的运算法则.学习目标一、复数的加法

1.

复数的代数形式的加法运算

显然，两个复数的和仍然是复数.

新知学习

容易证明，复数的加法运算满足交换律与结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1+z2＝z2+z1，（z1+z2）+z3＝z1+（z2+z3）.2.

复数加法的几何意义

【尝试与发现】

设z1＝2+2i，z2＝-1-4i，求出z1+z2，并在复平面内分别作出z1，z2，z1+z2所对应的向量，猜想并归纳复数加法的几何意义.

复数加法的几何意义的具体解释：

图（1）图（2）如何正确理解复数加法的几何意义？（1）复数加法的几何意义，就是向量加法的平行四边形法则.（2）它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理；另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中.等号成立的条件：①当|z1+z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线；②当|z1+z2|＝||z1|-|z2||时，z1，z2所对应的向量反向共线.由复数加法的几何意义还可以得出||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.二、复数的减法1.

复数的代数形式的减法运算

在实数中，减去一个数可以看成加上这个数的相反数.例如，因为3的相反数为-3，因此8-3＝8+（-3）＝5.

在复数中是否可以用类似方法来定义两个复数的减法呢？

一般地，如果z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），则z1-z2＝（a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i.显然，两个复数的差仍然是复数.【名师点拨】若把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”就可以了.【注意】同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说，z1-z2≠z2-z1.2.复数减法的几何意义

复数减法的几何意义的具体解释：

图（1）图（2）如何理解复数减法的几何意义？1.复数减法的几何意义就是平面向量减法的三角形法则.2.在确定两个复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定.由复数减法的几何意义可以得出||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|.等号成立的条件：①当|z1-z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线；②当|z1-z2|＝||z1|-|z2||时，z1，z2所对应的向量同向共线.【探索与研究】根据z1-z2的几何意义讨论下列各式的几何意义.（1）|z-（1+i）|＝2；

（2）|z+1|+|z-1|＝2.提示：（1）复数z表示的点的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为2的圆；（2）数轴上表示z的点到表示-1，1的点的距离之和为2，所以复数z表示的点的轨迹是两点-1，1之间的线段.【拓展】复平面内点的轨迹（1）|z|表示复数z对应的点到原点的距离，|z1-z2|表示复平面内两点间的距离.（2）|z-z0|＝a（a∈R）表示以点Z0为圆心，半径为a的圆的方程.（3）|z-z1|＝|z-z2|表示线段Z1Z2的垂直平分线的方程.【名师点拨】因为复数相加、相减之后的结果都还是复数，所以当然可以进行有限个复数的加减运算，也可以进行加、减法的混合运算，下面以实例进行说明.示例计算（2-5i）+（3+7i）-（5+4i）.解：根据定义有（2-5i）+（3+7i）-（5+4i）＝（2+3-5）+（-5+7-4）i＝-2i.【类题通法】（1）类比实数的运算，若有括号，则先计算括号内的；若没有括号，则可从左到右依次进行计算.（2）算式中出现的字母，先要确定其是不是实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加减.一、复数的加法与减法的代数运算

◆复数加、减运算的一般方法1.两个复数相加减，类似于多项式的加减运算，只需将两个复数的实部与虚部对应相加减即可.2.复数的加、减混合运算，运算顺序与对括号的处理方法与实数加、减混合运算是一样的.二、复数加法与减法的几何意义

三、与复数有关的轨迹和最值问题例3集合M＝{z||z-1|≤1，z∈C}，N＝{z||z-1-i|＝|z-2|，z∈C}，

集合P＝M∩N.

（1）指出集合P在复平面内所表示的图形；

（2）求集合P中复数模的最大值和最小值.

◆与复数有关的轨迹和最值问题的解题思路1.|z-z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，

要把