浙江专用2025版高考数学大一轮复习第七章不等式第3讲二元一次不等式组及简单的线性规划问题练习含解析

PAGEPAGE8第3讲二元一次不等式（组）及简洁的线性规划问题[基础达标]1．二元一次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤12，,2x＋3y≥－6，,0≤x≤6))所表示的平面区域的面积为()A．18 B．24C．36 D．12eq\r(13)解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，四边形ABCD是平行四边形，由图中数据可知其面积S＝(4＋2)×6＝36.2．(2024·高考天津卷)设变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥0，,x＋2y－2≥0，,x≤0，,y≤3，))则目标函数z＝x＋y的最大值为()A．eq\f(2,3) B．1C．eq\f(3,2) D．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出直线y＝－x，平移使之经过可行域，视察可知，最优解在B(0，3)处取得，故zmax＝0＋3＝3，选项D符合．3．(2024·高考全国卷Ⅲ)设x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－6≤0,x≥0,y≥0))，则z＝x－y的取值范围是()A．[－3，0] B．[－3，2]C．[0，2] D．[0，3]解析：选B.不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－6≤0，,x≥0，,y≥0))表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2，0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0，3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3，2]，故选B.4．(2024·台州高三质检)已知不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x≥0，,y≥m))表示的平面区域的面积为2，则eq\f(x＋y＋2,x＋1)的最小值为()A．eq\f(3,2) B．eq\f(4,3)C．2 D．4解析：选B.画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m＝0.而eq\f(x＋y＋2,x＋1)＝1＋eq\f(y＋1,x＋1)，eq\f(y＋1,x＋1)表示可行域内随意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以eq\f(y＋1,x＋1)的最小值为eq\f(0－（－1）,2－（－1）)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(x＋y＋2,x＋1)的最小值为eq\f(4,3).5．(2024·金华十校联考)设变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤a，,x＋y≥8，,x≥6))且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是()A．[8，10] B．[8，9]C．[6，9] D．[6，10]解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，明显a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故选A.6．(2024·温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有多数个，则eq\f(y,x－a)的最大值是()A．eq\f(2,5) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,4)解析：选A.易知a≠0，那么目标函数可化为y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(1,a)z.要使目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有多数个，则－eq\f(1,a)＝kAC＝1，则a＝－1，故eq\f(y,x－a)＝eq\f(y,x＋1)，其几何意义为可行域内的点(x，y)与点M(－1，0)的连线的斜率，可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋1)))eq\s\do7(max)＝kMC＝eq\f(2,5)，故选A.7．若x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))则z＝－x＋y的最小值是________．解析：作出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A(1，1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，C(0，4)．经过点A时，目标函数z达到最小值．所以zmin＝－1＋1＝0.答案：08．(2024·杭州中学高三期中)已知点A(3，eq\r(3))，O为坐标原点，点P(x，y)满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y≤0,x－\r(3)y＋2≥0,y≥0))，则满意条件的点P所形成的平面区域的面积为________，eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))方向上投影的最大值为________．解析：由已知得到平面区域如图，P所在区域即为阴影部分，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y＝0,x－\r(3)y＋2＝0))得到C(－2，0)，B(1，eq\r(3))，所以其面积为eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).令eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))方向上投影为z＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OP,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up6(→))|))＝eq\f(3x＋\r(3)y,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(1,2)y，所以y＝－eq\r(3)x＋2z，过点B时z最大，所以，eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))方向上投影的最大值为eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)eq\r(3)9．给定区域D：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y≥4，,x＋y≤4，,x≥0，))令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示．作出z＝x＋y的基本直线l0：x＋y＝0.经平移可知目标函数z＝x＋y在点A(0，1)处取得最小值，在线段BC处取得最大值，而集合T表示z＝x＋y取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC上共有5个整点，分别为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T中的点共确定6条不同的直线．答案：610．(2024·温州市高考实战模拟)若变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0,y≥0,3x＋4y≤12))，则z＝2x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)的最大值为________．解析：作出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0,y≥0,3x＋4y≤12))表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z＝2x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4，0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax＝24－0＝16.答案：1611．(2024·杭州市高三模拟)若实数x，y满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0,x≤1,x－2y≥0)).求：(1)x的取值范围；(2)|x|＋|y|的取值范围．解：(1)由约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0,x≤1,x－2y≥0))作出可行域如图，由图可知，0≤x≤1.(2)当x≥0，y≥0时，z＝|x|＋|y|＝x＋y过(1，eq\f(1,2))时有最大值为eq\f(3,2)，过O(0，0)时有最小值0；当x≥0，y≤0时，z＝|x|＋|y|＝x－y过(1，－1)时有最大值为2，过O(0，0)时有最小值0.所以|x|＋|y|的取值范围是[0，2]．12．若x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))(1)求目标函数z＝eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．平移初始直线eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)＝0，过A(3，4)时z取最小值－2，过C(1，0)时z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－eq\f(a,2)<2，解得－4<a<2.故a的取值范围是(－4，2)．[实力提升]1．(2024·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y≥－2,x－y≤0,x≥－4))，若不等式2x－y＋m2≥0恒成立，则实数m的取值范围为()A．[－eq\r(6)，eq\r(6)]B．(－∞，－eq\r(6)]∪[eq\r(6)，＋∞)C．[－eq\r(7)，eq\r(7)]D．(－∞，－eq\r(7)]∪[eq\r(7)，＋∞)解析：选D.作出约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y≥－2,x－y≤0,x≥－4))所对应的可行域(如图中阴影部分)，令z＝－2x＋y，当直线经过点A(－4，－1)时，z取得最大值，即zmax＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m2≥7，即实数m的取值范围为(－∞，－eq\r(7)]∪[eq\r(7)，＋∞)，故选D.2．(2024·温州校级月考)已知二元一次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－4≥0,x－y－2≤0,x－3y＋4≥0))所表示的平面区域为M.若M与圆(x－4)2＋(y－1)2＝a(a>0)至少有两个公共点，则实数a的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)) B．(1，5)C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)) D．(1，5]解析：选C.如图，若使以(4，1)为圆心的圆与阴影部分区域至少有两个交点，结合图形，当圆与直线x－y－2＝0相切时，恰有一个公共点，此时a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，当圆的半径增大到恰好过点C(2，2)时，圆与阴影部分至少有两个公共点，此时a＝5，故实数a的取值范围是eq\f(1,2)<a≤5.3．(2024·丽水模拟)已知变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥1，,x－y≤1，,y－1≤0，))若z＝x－2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2－kx＋1＝0在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是____________．解析：作出可行域，如图所示，则目标函数z＝x－2y在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3，所以a＝1，b＝－3，从而可知方程x2－kx＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解．令f(x)＝x2－kx＋1，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－3）＞0，,f（1）＞0，,－3＜\f(k,2)＜1，,Δ＝k2－4＞0))⇒－eq\f(10,3)＜k＜－2.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，－2))4．设a＞0，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）|\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤3，,x＋y－4≤0，,x－y＋2a≥0))))，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤a2}．若“点P(x，y)∈A”是“点P(x，y)∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是____________．解析：由题意知BA，作出A表示的可行域，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a≤3，,\f(|1＋1－4|,\r(2))≥a，,\f(|1－1＋2a|,\r(2))≥a，))解得0＜a≤eq\r(2).答案：0＜a≤eq\r(2)5．甲、乙两工厂依据赛事组委会要求为获奖者订做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料足够，但收费较贵，其详细收费如下表所示，求组委会订做该工艺品的费用总和最低为多少元．解：设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，y∈N，则乙厂生产一等奖奖品(3－x)件，二等奖奖品(6－y)件．则x，y满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,3－x≥0，,6－y≥0，,x，y≥0，))设费用为z元，则z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6000，作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时