2024-2025学年高一数学人教B版必修第四册教学课件 第十一章-11.1.6祖暅原理与几何体的体积

11.1.6祖暅原理与几何体的体积第十一章1.理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解“祖暅”原理，将空间问题转化为平面问题.2.知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的实际问题.重点：棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，“祖暅原理”的思想方法.难点：对祖暅原理的理解和棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用.学习目标幂势既同，则积不容异.一、祖暅原理一定相等夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积

，如图所示.新知学习

Sh二、体积公式

例一多面体的体积的计算如图所示，三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC、三棱锥B-A1B1C、三棱锥C-A1B1C1的体积之比.【解题提示】

解题归纳多面体体积计算的常用方法（1）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高.（2）三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.（3）求台体体积的关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分利用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.例二

旋转体的体积计算设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.【解题提示】要求圆台的体积需求上、下底面的半径，由题目条件可在轴截面中构造直角三角形求解.

三组合体的表面积和体积的计算<1>组合体的表面积例如图所示（单位：cm），四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积.

解题归纳有的组合体的表面积并不是简单几何体的表面积的直接求和，原因是其接合部分并不裸露在表面.

<2>组合体的体积例

解题归纳体积计算的常用方法1.分割法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱、锥、台体等简单几何体，分别求出体积后再求和.2.补形法：将所给几何体补成一个简单几何体，再用公式计算.常见的补形方法有：（1）将正四面体补成正方体.（2）将对棱长相等的三棱锥补成长方体.（3）将三条侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体或正方体.3.等积变换法：利用三棱锥的“等积性”，即体积计算时可以以任意一个面作为三棱锥的底面.在求三棱锥体积时，可选择容易计算的方式.四

球的体积例两个球的半径之差为1，表面积之差为28π，则它们的体积之和为

.

解题归纳球的体积与表面积计算的关键球的表面积与体积都是关于球半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键.五与球有关的组合体的体积和表面积例

如图为某组合体的直观图，它的中间为圆柱，左右两端均为半球，若图中r＝1，l＝3，则该组合体的表面积为

.【解析】该组合体的表面积为4πr2+2πrl＝4π×12+2π×1×3＝10π.【答案】10π解题归纳求与球有关的组合体的表面积或体积的方法弄清组合体的结构特征和相关数据，再结合相关公式计算其表面积或体积.六球与几何体的切、接问题<1>球与正（长）方体的切、接问题例有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点.求这三个球的表面积之比.【解题提示】作出三个几何体的截面图，分别求出三个球的半径，利用球的表面积公式计算.

①②

解题归纳

<2>球与其他多面体的切、接问题例

<3>球与旋转体的切、接问题例球的一个内接圆锥满足球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半且圆锥的高大于球的半径，该圆锥的体积和该球体积的比值为

.

解题归纳解决与球相关的切、接问题的关键解决此类