新人教版八年级下册数学复习提纲

八年级数学下册知识点总结

第十六章二次根式

1.二次根式：式子石（“20）叫做二次根式。

2.二次根式有意义的条件：大于或等于0。

3.二次根式的双重非负性：4a：①右》0,②a20

附：具有非负性的式子：①3NO；0|a|>0；③一之0

4.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;⑵被开方数中不含分母;

⑶分母中丕含根式。

5.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被相同，则这几个二次根式

就是同类二次根式。

6.二次根式的性质：「“（">0）

Y0（（7=0）;

（1）（Va）2=a（a20）;（2）、^/彳忸图）

7.二次根式的运算：

（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类

二次根式.

（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），

所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

4ab~4a*yfb（a20,b20）；/E=2^.（b20,a>0）.

Vayja

（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，口乘法对

加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.

【典型例题】

1、概念与性质

例1下列各式1）

其中是二次根式的是（填序号）.

例2、求下列二次根式中字母的取值范围

J元+5—/(2)J(x-2)2

(1)行;

例3、在根式1）加+/⑵最简二次根式是（)

A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)

例4、已知：

y=V1-8x+V8x-1+—,求代数式J±+—+2—-2的值。

2\yx\yx

例5、(2009龙岩)已知数a,b,若而而二b—a,则()

A.a>bB.a<bC.a，bD.aWb

2、二次根式的化简与计算

例1.将根号外的a移到根号内，得（）

A.J—a；B.J—a；C.t/a；D.yfa

例2.把（a-b）六化成最简二次根式

<73+1

-(372-2/(3五+2后)

例3、计算:-73-1

例4、先化简，再求值:

S+RG，其中a二铝，b二铝

例5、如图，实数在数轴上的位置，化简：而一技一而方

Y，______1_______

-1o1

4、比较数值

(1)、根式变形法

当a>0,6>0时,①如果a>b,则而>扬；②如果“<人,则石<〃。

例1、比较36与56的大小。

(2)、平方法

当a>0,6>0时,①如果I>/,则“>》；②如果则a</?。

例2、比较3a与2百的大小。

(3)、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3、比较--与二一的大小。

V3-1V2-1

(4)、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、比较后-雨与雨-内的大小。

(5)、倒数法

例5、比较疗-卡与-—5的大小。

(6)、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6、比较"+3与质-3的大小。

(7)、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

“-6>0oa>b;②a-b<0oa<b

例7、比较岸里与小的大小。

V3+1G

(8)、求商比较法

它运用如下性质：当a>0,b>0时，贝I］：

①;②;<』<b

例8、比较5-6与2+百的大小。

5、规律性问题

例1.观察下列各式及其验证过程：

备屋,验证:2小昌用4栏滓=屋；

卷尾验证降导后.⑴按照上

述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4席的变形结果，并进行验证；

(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n^2,且n是整数)表示的等式，

并给出验证过程.

二次根式知识点归纳

定义：一般的，式子G(a20)叫做二次根式。其中叫做二次根号，

一次根号卜的a叫做被开方数。

性质：I、W(a20)是一个非负数.即指20

2、"7=|a|即等于a;a<0,等于-a

"(Vfl)2=a(心0)O

4、4（i-4b=yfcib.（a20,b20）

反过来：|\[^=右•〃（a20,b20）

5、悟=E（a>0,b>0）

反过来,(a^O,b>0)

6、最简二次根式：

1.被开方数不含分母：

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

7、同类二次根式：儿个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫

做同类一次根式

8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2,算术平方根为2；②"=2,.次根式

即是算术平方根

9、二次根式化运算及化简：①先化成最简②合并同类项

第十七章勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为“，b,斜边长为c,那么

/+Z?2=Co

eB

应用：,

(1)已知直角三角形的两边求第三边(在AABC中，ZC=90°,则c=,

h=yjc2-a2,a=\lc2-b2)

(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长”，b,c满足/+/=入那么这个三角

形是直角三角形。

应用：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种

重要方法。

(定理中〃，*c及"+〃=/只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若

三角形三边长〃，*c满足/+cJ出那么以〃，心c为三边的三角形是直角

三角形，但是〃为斜边)

3、勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即储+/=c?中，

“，gC为正整数时，称“，*C为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；

7,24,25等

③勾股数扩大相同的的倍数依然是一组新的勾股数。如ka,kb,kc

4.直角三角形的性质

(1)直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：ZC=90°nNA+NB=90°

(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

ZA=30°

=>BC=iAB

J2

ZC=90°

(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

ZACB=90°

I=>CD=1AB=BD=AD

J2

D为AB的中点

5.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做

原命题，那么另一个叫做它的逆命题。(例：勾股定理与勾股定理逆定理)

6、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜

C

边上的摄影的比例中项，每条直角边是它J们在斜

边上的摄影和斜边的比例中项/\

Z]ACB=90r°/--------------一

»<ADB

CD1=AD»BD

=AC"=AD»AB

CDA-ABBC2=BD»AB

7、常用关系式

由三角形面积公式可得：AB«CD=AC*BC

8、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角

三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系

那么这个三角形是直角三角形。

9、命题、定理、证明

1、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确'错误与否分）

-真命题（正确的命题）

Y

命题

假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6、证明的一般步骤

(1)根据题意，画出图形。

(2)根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

10、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

11、数学口诀.

平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与

完全公式相混淆。

完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾

二倍放中央；首土尾括号带平方，尾项符号随中央。

第十八章平行四边形

平行四边形

1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

.C

2.平行四边形的性质

AB

角：平行四边形的邻角互补，对角相等；

边：平行四边形两组对边分别平行且相等；

对角线：平行四边形的对角线互相平分；

面积：①S二底x悬pah；

3.平行四边形的判定方法：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

③一组平行且相等的四边形是平行四边形；

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；

二、特殊的平行四边形

(-)矩形

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

2、矩形的性质

①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对

角线互相平分且相等;

3、矩形的判定：

(1)平行四边形+一个直角

(2)三个角都是直角=四边形ABCD是矩形.

DC

(3)对角线相等的平行四边形

(-)菱形AB

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、菱形的性质：

①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；口③对角线：对角线互

相垂直平分且每条对角线平分每组对角；/K

3、菱形的判定方法：

⑴平行四边形+一组邻边等1B

⑵四个边都相等,=＞四边形四边形ABCD是妻形.

(3)对角线互相垂直的平行四边形

(三)正方形

1、定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形

2、正方形的性质：

①边：四条边都相等；②角：四角都是直角；③对角线：对角线互相垂直

平分且相等，每条对角线平分每组对角。

3、正方形的判定方法：D_

⑴平行四边形+一组邻边等+一个直角］

(2)菱形+一个直角n四边形ABCD是正位彩

A

(3)矩形+一组邻边等

(四)三角形中位线定理：A

三角形的中位线平行第三边，并且等无后忒半.

BC

如图：:DE是4ABC的中位线

「.DE〃BC,DE=iBC

(五)几种特殊四边形的面积问题

①设矩形ABCD的两邻边长分别为〃，b,则S,产ab.

②设菱形ABCD的一边长为a,高为h,则S菱形二ah；若菱形的两对角线

的长分别为b,c,贝iJs="c

③设正方形ABCD的一边长为〃，则£E方形=。2;若正方形的对角线的长为3

贝Us正方形=go?

四边形

A

1.四边形的内角和与外角和定理：

BC

(1)四边形的内角和等于360。；

(2)四边形的外角和等于360。.

2.多边形的内角和与外角和定理：

(1)n边形的内角和等于(n-2)180°；

(2)任意多边形的外角和等于360°.

3.平行四边形的性质：

(1)两组对边分别平行；

(2)两组对边分别相等;

因为ABCD是平行四边形=>(3)两组对角分别相等

(4)对角线互相平分久

⑸邻角互补.

4.平行四边形的判定：DC

(1)两组对边分别平行'

(2)两组对边分别相等

(3)两组对角分别相等，ABCD是平行四边形.

(4)一组对边平行且相等

(5)对角线互相平分

DC

5.矩形的性质：

AXB

[(1)具有平行四边形的所有通性；

四个角都是直角；

因为ABCD是矩形=⑵DC

(3)对角线相等.

AB

6.矩形的判定：

(1)平行四边形+一个直角］,

(2)三个角都是直角=四边形ABCD是矩形.

(3)对角线相等的平行四边形

AB

7.菱形的性质：

因为ABCD是菱形

(1)具有平行四边形的所有通性;

=(2)四个边都相等；

(3)对角线垂直且平分对角.

8.菱形的判定：A44<

(1)平行四边形+一组邻边等］\L

(2)四个边都相等=>四边形四边形ABCD是菱形得

(3)对角线垂直的平行四边形

9.正方形的性质：

因为ABCD是正方形

(1)具有平行四边形的所有通性；

=><(2)四个边都相等，四个角都是直角;

(3)对角线相等垂直且平分对角.

D______________,CD_C

AB(1)AB(2)

(3)

10.正方形的判定：

(1)平行四边形+一组邻边等+一个直角］

(2)菱形+一个直角=四边形ABCD是正方形.

(3)矩形+一组邻边等

Dc(3)-/ABCD是矩形

y."AD=AB

•B四边形ABCD是正方形

11.等□腰梯形的性质：

d)两底平行，两腰相等；AD

因为ABCD是等腰梯形n(2)同一底上的底角相等；

(3)对角线相等.，

BC

12.等腰梯形的判定：

(1)梯形+两腰相等,

(2)梯形+底角相等=四边形ABCD是等腰梯形

(3)梯形+对角线相等

8K(3)-/ABCD是梯形且AD/7BC

rA・・・AC=BD

.".ABCD四边形是等腰梯形

A

14.三角形中位线定理：/A

三角形的中位线平行

BC

第三边，并且等于它的一

半.

15.梯形中位线定理：DC

梯形的中位线平行于

两底，并且等于两底和的

T

-基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间

的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，

梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.

二定理：中心对称的有关定理

※匕关于中心对称的两个图形是全等形.

X2.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称

中心平分.

X3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么

这两个图形关于这一点对称.

三公式：

1.S菱形=lab=ch.（a、b为菱形的对角线，c为菱形的边长，卜为0边

上的高）

2.S平行四边形二ah.a为平行四边形的边，h为a上的高）

3.S梯形=g（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中

位线）

平行四边形

四常识：

※匕若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：吟型.

2.规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.

3.如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.

4.常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正

奇边形、等腰梯形……；仅是中心对称图形的有：平行四边形……；

是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…….

注意：线段有两条对称轴.

第十九章一次函数

一.常量、变量：

在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做速量;数值始终不变的量

叫做常量。

二、函数的概念：

函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并

且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说

x是自变量，y是x的函数.(含有自变量的数)

函数的判断：对每一个自变量x是否只有唯一的一个函数值和它对应。

三、函数中自变量取值范围的求法：

(1)用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

(2)用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

(3)用二次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然

后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每

对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,

就是这个函数的图象.

五、用描点法画函数的图象的一般步骤（一般取五个点）

1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）

注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为

纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接

起来）。

六、函数有三种表示形式：

（1）列表法（2）图像法（3）解析式法

七、正比例函数

1、定义：一般地，形如y=kx（k为常数，且k手0）的函数叫做正比例函数.

其中k叫做比例系数。

特征：（1）k为常数，且k左0

（2）自变量的次数是1

（3）自变量的取值范围为全体实数。

2、图象：

（1）正比例函数y二kx（k是常数，k手0））的图象是经过原点的一条直

线，我们称它为直线y二kxo必过点：（0,0）、（1,k）

⑵性质：当k>0时，直线y=kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随

着x的增大y也增大；当k<0时，直线y二kx经过二，四象限，从左向右下

降，即随着x的增大y反而减小。

八、一次函数

1、定义：一般地，形如y=kx+b（k,b为常数，且k手0）的函数叫做一次函数.

当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.

特征：（1）k不为零

（2）x指数为1

（3）自变量的取值范围为全体实数

（4）b取任意实数

2、图象：

（1）一次函数y=kx+b的图象是经过（0,b）和（-2，0）两点的一条直线，

我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.

（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（2）图像的平移：当b>0时，将直线y二kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y二kx的图象向下平移b个单位.

（3）必过点：（0,b）和J0）

k

（4）一次函数y=kx+b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即

两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直

线即可.

b>0b<0b=0

九、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中

得到以待定系数为未知数的方程；

(3)解方程得出未知系数的值；

(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析

式.

十'当直线y=kx+bi与y=kzx+bz平行时，k*且bi^b2

十一、一次函数与方程、不等式

1.一次函数与元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数片"为的

值为0.

2.求氏•代0（a,6是常数，。0）的解，从“形”的角度看，求直线片ax+6

与x轴交点的横坐标

3.一次函数与一元一次不等式：

解不等式a对6>0（a,。是常数，a手0）.从“数”的角度看，x为何值时

函数V=ax+b的值大于0.

4.解不等式a/6>0（a,b是常数，#0）.从“形”的角度看,求直线

y=ax+b在x轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围.

5.一次色数场国一次方程组：

解方程嬴"也y=c

从“数”的角度看，自变量（%;为何值时两个函数值相等.并求出这个函

数值

x+

iaibly=cl

aix-biy=C2

解方程组从“形”的角度看，确定两直线交点的坐

标.

反比例函数（备学）

1.定义：形如y=&（k为常数，k手0）的函数称为反比例函数。其他形式

X

xy=ky=kx{y=k—

x

2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形

又是中心对称图形。有两条对称轴：直线尸X和y=-Xo对称中心是：原点。

由于反比例函数中自变量xoO,函数30,所以，它的图像与x轴、y轴都

没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、性质：

①x的取值范围是xoO,①x的取值范围是x#0,

V的取值范围是yw0;V的取值范围是"0;

②当k>0时，函数图像的两个②当k<0时，函数图像的两个分支分

分支分别别

在第一、三象限。在每个象限在第二、四象限。在每个象限内，y

内，v随x的增大而增大。

随x的增大而减小。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与

两坐标轴围成的矩形的面积。

如下图，过反比例函数y=K（心0）图像上任一点P作X轴、y轴的垂线PM,

X

PN,则所得的矩形PM0N的面积S=PM.PN=N・W=|书,

y=&,.•.盯=氏,5=网。

5.反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减,

图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。

第二十章数据的分析

1.平均数：

（1）算术平均数：一组数据中，有n个数据，则它们的算术平均数为

X石+.+…+%

n

（2）加权平均数：

若在一组数字中，%的权为w，E的权为W，…，乂的权为期，那么

■尤加+8―+…+乂加叫做…X的加权平均数。

卬|+班+…+VK"

其中，W'144'W,分别是无，了2，…X"的权•

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。

2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据

的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个

数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

4.平均数中位数众数的区别与联系

相同点：平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是

来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作

为一组数据的代表。

不同点：

1）、代表不同

平均数：反映了一组数据的平均大小,常用来一代表数据的总体“平均水

平”。

中位数：像一条分界线,将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一

组数据的“中等水平”。

正遨三反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。这

三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一

般水平的代表。

2）、特点不同

生均数一与每一个数据都有关，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的

变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。

中位数：与数据的排列位置有关,某些数据的变动对它没有影响；它是一组

数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。

众数：与数据出现的次数有关,着眼于对各数据出现的频率的考察，其大

小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟

一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有。

3）、作用不同

王均虹是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个

数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整

体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活

中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。

中位数：作为一组数据的代表,可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。

但当一组数据的个别数据偏大或偏小时,用中位数来描述该组数据的集中趋

势就比较合适。

众数：作为一组数据的代表,可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数

据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数

最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

5.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差

反映的是数据的变化范围。

6.方差：设有n个数据孙如…，%,各数据与它们的平均数的差的平方分别

是（X|-»,（X2-元）2,…，（X.一元）2,…，我们用它们的平均数，即用

52=-[（%,-X）2+（X-X）2+-+（X„-X）2]

n2

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

标准差：方差的算术平方根，即

S=无¥+（々—£）2+一.+（苞，一元）2]

数据的分析教学:

知识点：

选用恰当的数据分析数据

知识点详解：

一、5个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差）的数学内涵：

平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一组

数据的平均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。

众数：在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止一个），叫做这组数据

的众数

中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数（或两个数的

平均数）叫做这组数据的中位数.

极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。巧计方法，极差二最大

值-最小值。

方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作$2.巧计方法:方差

是偏差的平方的平均数。

标准差：方差的算术平方根，记作S=J：h-5）2+-土）2+…+（X.-5）2]0

二、教学时对五个基本统计量的分析：

1、算术平均数不难理解易掌握。加权平均数，关键在于理解“权”的含义，

权重是一组非负数，权重之和为1,当各数据的重要程度不同时，一般采用

加权平均数作为数据的代表值。

学生出现的问题：对“权”的意义理解不深刻，易混淆算术平均数与加

权平均数的计算公式。

采取的措施：弄清权的含义和算术平均数与加权平均数的关系。并且提

醒学生再求平均数时注意单位。

2、平均数、与中位数、众数的区别于联系。

联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数

的应用最为广泛。

区别：

A、平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引

起平均数的变动。

B、中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。

当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。

C、众数主要研究个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有

关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数。其中众

数的学习是重点。

学生出现的问题：求中位数时忘记排序。对三种数据的意义不能正确理

解。

采取的措施：加强概念的分析，多做对比练习。

3、极差，方差和标准差。

方差是重难点，它是描述一组数据的离散程度即稳定性的非常重要的量，

离散程度小就越稳定，离散程度大就不稳定，也可称为起伏大。极差、方差、

标准差虽然都能反映数据的离散特征，但是，对两组数据来说，极差大的那

一组方差不一定大；反过来，方差大的，极差也不一定大。

学生出现的问题：由于方差，标准差的公式较麻烦，在应用时常由于粗

心或公式不熟导致错误。

采取的措施：注意方差是“偏差的平方的平均数”这一重要特征。或使

用计算器计算。

这些数据经常用来解决一些“选拔”、“决策”类问题。中考中常常综合

在一起考察。

4.为了培养学生的环保意识,某校组织课外小组对该市进行空气含尘调查,

下面是一天中每2小时测得的数据（单位：g/m3）:

0.040.030.020.030.040.01

0.030.040.030.050.010.03

（1）求出这组数据的众数和中位数；

（2）如果对大气飘尘的要求为平均值不超过0.025g/m3,问这天该城市

的空气是否符合要求？为什么？

5.A、B两班在一次百科知识对抗赛中的成绩统计如下：

分数5060708090100

人数（A351531311

班）

人数（B161211155

班）

根据表中数据完成下列各题：

（1）A班众数为分，B班众数为分，从众数看成绩较好的是

班；

（2）A班中位数为分，B班中位数为分，A班中成绩在中位数以

上的（包括中位数）学生所占的百分比是%,B班中成绩在中位数

以上的（包括中位数）学生所占的百分比是%,从中位数看成绩较

好的是班；

⑶若成绩在85分以上为优秀，则A班优秀率为%,B班优秀率

为%,从优秀率看成绩较好的是班.