中考数学总复习中考数学专项提升第09讲 函数与平面直角坐标系(讲义3考点+3命题点13种题型(含3种解题技巧))(解析版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第三章函数第09讲函数与平面直角坐标系（思维导图+3考点+3命题点13种题型（含3种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一函数考点二平面直角坐标系的相关概念考点三点的坐标的有关性质04题型精研·考向洞悉命题点一函数►题型01函数的相关概念辨析►题型02求自变量的取值范围►题型03函数图象的识别►题型04从函数图象上获取信息►题型05根据实际问题列函数解析式►题型06动点问题的函数图象命题点二坐标系内点的坐标特征►题型01根据坐标系内点的坐标特征求解►题型02坐标与图形变化►题型03点坐标规律的探索►题型04求坐标系中的图形面积►题型05与图形面积有关的存在性问题命题点三坐标方法的简单应用►题型01实际问题中用坐标表示位置►题型02用方向角和距离确定物体的位置

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求函数自变量的取值范围★★探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例；能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值；能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义;结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.函数解析式的确定★函数图象的判断★★★函数图象的分析★★★点的坐标特征★★理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标;在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系;能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系；点的坐标变换★★坐标与图形★★坐标方法的简答应用★在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置.在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.【命题预测】该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2025年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大．02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一函数1.变量与常量变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.【补充】变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变.2.函数定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.【注意】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个，如函数y=|x|，当x=±1时，y的值都是1.3.函数值函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.4.函数的表示方法表示法定义优点缺点列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法自变量和与它对应的函数值数据一目了然列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律解析法两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数解析式，用函数解析式表示函数的方法叫做解析法能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用解析式表示出来图像法用图像来表示函数关系的方法叫做图像法形象的把自变量和函数值的关系表示出来图像中只能得到近似的数量关系【注意】并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来.例如气温与时间的函数关系，只能用列表法和图像法表示，而不能用解析式法表示，1．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（

）A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家【答案】C【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．根据函数图象分析即可．【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动，则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．故选：C．2．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发沿A→C→B以1cms的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，△ABP的面积ycm2随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边ABA．5 B．7 C．32 D．【答案】A【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，由图象可知，△ABP面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到12AC⋅BC=6，由图象可知【详解】解：由图象可知，△ABP面积最大值为6由题意可得，当点P运动到点C时，△ABP的面积最大，∴12AC⋅BC=6，即由图象可知，当x=7时，y=0，此时点P运动到点B，∴AC+BC=7，∵∠C=90°，∴AB∴AB=5．故选：A3．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为7.9 kg/cm3，铁的质量m kg与体积V【答案】79【分析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量m kg与体积V【详解】解：∵铁的质量m kg与体积V∴m关于V的函数解析式为m=7.9V，当V=10时，m=7.9×10=79kg故答案为：79．4．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg【答案】15【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设y与x的函数关系式为y=kx+bk≠0，由待定系数法求出解析式，并把x=5代入解析式求出对应的y【详解】解：设y与x的函数关系式为y=kx+bk≠0由题意，得12.5=b13.5=2k+b解得：k=0.5b=12.5故y与x之间的关系式为：y=0.5x+12.5，当x=5时，y=0.5×5+12.5=15．故答案为：15．5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数y=x−3x+2中，自变量x的取值范围是【答案】x≥3/【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，x−3≥0，且x+2≠0，解得，x≥3，故答案为：x≥3．6．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6 km，文化广场离家1.5 km．张华从家出发，先匀速骑行了4 min到画社，在画社停留了15 min，之后匀速骑行了6 min到文化广场，在文化广场停留6 min后，再匀速步行了请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：张华离开家的时间/min141330张华离家的距离/0.6②填空：张华从文化广场返回家的速度为______kmmin③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；(2)当张华离开家8 min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中【答案】(1)①0.15,0.6,1.5；②0.075；③当0≤x≤4时，y=0.15x；当4<x≤19时，y=0.6；当19<x≤25时，y=0.15x−2.25(2)1.05【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；③分段求解，0≤x≤4，可得出y=0.15x，当4<x≤19时，y=0.6；当19<x≤25时，设一次函数解析式为：y=kx+b，把19,0.6，25,1.5代入y=kx+b，用待定系数法求解即可.（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家y'km，则y'【详解】（1）解：①画社离家0.6 km，张华从家出发，先匀速骑行了4∴张华的骑行速度为0.6÷4=0.15km∴张华离家1min时，张华离家0.15×1=0.15张华离家13min时，还在画社，故此时张华离家还是0.6 km张华离家30min时，在文化广场，故此时张华离家还是1.5 km故答案为：0.15,0.6,1.5.②1.5÷5.1−3.1故答案为：0.075．③当0≤x≤4时，张华的匀速骑行速度为0.6÷4=0.15km∴y=0.15x；当4<x≤19时，y=0.6；当19<x≤25时，设一次函数解析式为：y=kx+b，把19,0.6，25,1.5代入y=kx+b，可得出：19k+b=0.625k+b=1.5解得：k=0.15b=−2.25∴y=0.15x−2.25，综上：当0≤x≤4时，y=0.15x，当4<x≤19时，y=0.6，当19<x≤25时，y=0.15x−2.25．（2）张华爸爸的速度为：1.5÷20=0.075km设张华爸爸距家y'km，则当两人从画社到文化广场的途中0.6<y<1.5两人相遇时，有0.15x−2.25=0.075x−0.6，解得：x=22，∴y'故从画社到文化广场的途中0.6<y<1.5两人相遇时离家的距离是1.05km考点二平面直角坐标系的相关概念1.有序数对定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）.2.平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系.x轴、y轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向.原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点.坐标平面：坐标系所在的平面叫做坐标平面.象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限.【补充】1）两条坐标轴不属于任何一个象限.2）平面直角坐标系具有实际意义时，一般在横轴、纵轴的字母附上单位3.点的坐标点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)，如图.【易错点】1）坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，有序数对（a，b）和（b，a）表示的是不同点的坐标.

2）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，即坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.1．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为15,16，那么有序数对记为12,17对应的田地面积为（）A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步【答案】D【分析】根据15,16可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．【详解】根据15,16可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，故12,17对应的是半亩八十四步，故选D．2．（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为a,b，那么b,a（

）A．表示a+b排a号B．表示第b排a号位C．表示b排或a号D．与a,b不可能代表同一个位置【答案】B【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据题意进行解答即可．【详解】解：∵电影院中的第a排b号位，简记为a,b，∴b,a表示第b排a号位，故选：B．3．（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、⋯、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A6,60°、B5,180°

【答案】3,150【分析】根据题意，可得D在第三个圆上，OD与正半轴的角度150°，进而即可求解．【详解】解：根据图形可得D在第三个圆上，OD与正半轴的角度150°，∴点D的坐标可以表示为3,150故答案为：3,150°【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．4．（2023·湖北黄冈·二模）将一组数2，2，6，22，102，2，6，2210，23，14……若2的位置记为1,2，14的位置记为2,3，则103的位置记为【答案】(38,2)【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得103【详解】解：数字可以化成：2，4，6，8；10，12，14，16；……∴规律为：被开方数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵103=300，300是第∴103的位置记为故答案为：(38,2)【点睛】本题考查了二次根式的规律问题，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．QUOTEQUOTE考点三点的坐标的有关性质1.点的坐标特征点M（x，y）所处的位置坐标特征象限内的点点M在第一象限M（正，正）点M在第二象限M（负，正）点M在第三象限M（负，负）点M在第四象限M（正，负）坐标轴上的点点M在x轴上在x轴正半轴上M（正，0）在x轴负半轴上M（负，0）点M在y轴上在y轴正半轴上M（0，正）在y轴负半轴上M（0，负）点M在原点M（0，0）象限角平分线上的点点M在第一、三象限角平分线上M（x，y）且x＝y点M在第二、四象限角平分线上M（x，y）且x＝-y两点连线与坐标轴平行MN∥x轴（或MN⊥y轴）M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等MN∥y轴（或MN⊥x轴）M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等2.点的坐标变化对于平面直角坐标系上任意一点P(x，y)变换方式具体变换过程变换后的坐标平移变换（a＞0，b＞0）向左平移a个单位（x-a，y）向右平移a个单位(x+a，y)向上平移a个单位(x，y+a)向下平移a个单位(x，y-a)口诀：点的平移左减右加，上加下减.变换方式具体变换过程变换后的坐标对称变换关于x轴对称(x，-y)关于y轴对称(-x，y)关于原点对称(-x，-y)口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.旋转变换绕原点顺时针旋转90°（y，-x）绕原点逆时针旋转90°（-y，x）绕原点顺/逆时针旋转180°(-x，-y)3.点到坐标轴的距离在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)，则1）点P到x轴的距离为b；2）点P到y轴的距离为a；3）点P到原点O的距离为P＝a24、坐标系内点与点之间的距离坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：MN=（x2−若AB∥x轴，则A(xA,若AB∥y轴，则A(x,y【易错易混】1）原点既是x轴上的点，又是y轴上的点.2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在y轴上或在x轴上.3）已知点的坐标可以求出点到x轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值.4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数.5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小.1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O0,0，A1,2，B3,3，C5,0，则四边形A．14 B．11 C．10 D．9【答案】D【分析】本题考查了坐标与图形，过A作AM⊥OC于M，过B作BN⊥OC于N，根据A、B、C的坐标可求出OM，AM，MN，BN，CN，然后根据S四边形【详解】解∶过A作AM⊥OC于M，过B作BN⊥OC于N，∵O0,0，A1,2，B3,3∴OM=1，AM=2，ON=BN=3，CO=5，∴MN=ON−OM=2，CN=OC−ON=2，∴四边形OABC的面积为S==9，故选：D．2．（2024·江苏宿迁·中考真题）点Px2+1,−3【答案】四【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+,+；第二象限−,+；第三象限−,−；第四象限+,−．根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：点Px2+1,−3的横坐标x∴点Px故答案为：四．3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知A11,−3，A23,−3，A34,0，A46,0，A5【答案】2891,−【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，A7n的坐标为10n,0，据此可求得A【详解】解：∵A11,−3，A23,−3，A34,0，A4∴可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，A7n的坐标为10n,0，∵2024÷7=289⋅⋅⋅1，∴A2023的坐标为2890,0∴A2024的坐标为故答案为：2891,−34．（2021·湖南湘潭·中考真题）在平面直角坐标系中，把点A−2,1向右平移5个单位得到点A'，则点A'【答案】3【分析】把点A−2,1【详解】解：把点A−2,1向右平移5个单位得到点A'，则点A'的坐标为A故答案为：3,1【点睛】本题考查平面直角坐标系与点的坐标，涉及平移等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(–2，−1)，若AB//y轴，且AB=9，则点B的坐标是．【答案】(−2,8)或(−2,−10)【分析】由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得y−(−1)=9，解方程即可求得y的值，从而可得点B【详解】∵AB//y轴∴设点B的坐标为(-2，y)∵AB=9∴y−(−1)解得：y=8或y=－10∴点B的坐标为(−2,8)或(−2,−10)故答案为：(−2,8)或(−2,−10)【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况．04题型精研·考向洞悉命题点一函数►题型01函数的相关概念辨析1．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断．根据函数的概念解答即可．【详解】解：A、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意；B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意；C、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意；D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意．故选：C．2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（

）①圆的周长C是半径r的函数；②表达式y=x中，y是x③下表中，n是m的函数；m

−3

−2

−1123n

−2

−3

−6832④图中，曲线表示y是x的函数．A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】本题主要考查了函数的概念，对于函数概念需要理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．根据函数的定义分别判断即可．【详解】解：①∵C=2πr，∴圆的周长C是半径②表达式y=x中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，y是x③n是m的函数，正确；④如图中，对于x的每一个取值，y有不唯一确定的值与之对应，y不是x的函数．故选：C．3．（2022·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr．下列判断正确的是（A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量【答案】C【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．【详解】解：2与π为常量，C与r为变量，故选：C．【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80米为“中途期”（m/s）与路程xm（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．【答案】（1）y是x的函数，理由见解析；（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s；（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．【分析】（1）根据函数的概念进行解答；（2）通过识图读取相关信息；（3）根据图像信息进行解答．【详解】解：（1）y是x的函数．在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．【点睛】本题考查通过函数图像读取信息，理解函数的概念，准确识图是解题关键．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02求自变量的取值范围解题方法：类型举例取值范围整式型全体实数分式型分母不能为零二次根式型开方式大于或等于零负整数(零)指数幂型底数不能为零分式+根式型开方式大于零注意：分母不能为0【补充】实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义，一般要大于0.1．（2024·四川巴中·中考真题）函数y=x+2自变量的取值范围是（

A．x>0 B．x>−2 C．x≥−2 D．x≠−2【答案】C【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题．【详解】解：由题知，x+2≥0，解得x≥−2，故答案为：C．2．（2023·湖北黄石·中考真题）函数y=xx−1的自变量A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x【答案】C【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，列式解答即可．【详解】解：由题意可得x≥0且x−1≠0，解得：x≥0且x≠1，故选：C．3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=13+x+1x+2【答案】x>−3且x≠−2【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，3+x>0x+2≠0解得x>−3且x≠−2，故答案为：x>−3且x≠−2．4．（2024·上海·模拟预测）函数y=2x−70−【答案】x>3且x≠【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据a0【详解】解：由题意，得：2x−7≠0x−2≥0x−3>0，解得：x>3且故答案为：x>3且x≠7►题型03函数图象的识别1．（2023·湖北·中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1,

A．B．C．D．【答案】C【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【详解】解：根据图象知，t=t1时，铁桶注满了水，0≤t≤t1，y1当t=t1时，长方体水池开始注入水；当t=t∴y2观察函数图象，选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．2．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度ℎ随时间t变化的大致图象是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度ℎ上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，故选：C．3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（）

A． B． C．D．【答案】D【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可．【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得，水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，故选：D．【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．4．（2023·山东滨州·中考真题）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性．若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据题意，NaOH溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，pH的值则接近7，据此即可求解．【详解】解：∵NaOH溶液呈碱性，则pH>7，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，pH故选：B．【点睛】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04从函数图象上获取信息根据图像读取信息时，要把握以下三个方面：1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标；3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义.1．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10 min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30 min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离ym与甲出发的时间x那么以下结论：①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min②甲出发86 min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100 min④A，B两地之间的距离是11200 m其中正确的结论有：A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发30min及当x=50时y第一次为0，可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当x=86时，y取得最大值，最大值为3600，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为xm/min，乙的速度为ym/min，利用路程=速度×时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的之，将其代入86+3600x+y中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，进而可得出结论③错误；④利用路程【详解】解：①∵乙比甲晚出发30min，且当x=50时，y=0∴乙出发50−30=20(min既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min②观察函数图象，可知：当x=86时，y取得最大值，最大值为3600，∴甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600③设甲的速度为xm/min根据题意得：(50−10)x=(50−30)y(86−30)y−(86−10)x=3600解得：x=100y=200∴86+3600∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min④∵200×(86−30)=11200(m∴A，B两地之间的距离是11200m综上所述，正确的结论有①②④．故选：B．2．（2024·青海·中考真题）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（

）A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高B．未加入絮凝剂时，净水率为0C．絮凝剂的体积每增加0.1mLD．加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到【答案】D【分析】本题考查从图像上获取信息，能从图像上获得信息是解题的关键，根据图像信息对选项进行判断即可【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在0.5mLB、未加入絮凝剂时，净水率为12.48%C、当絮凝剂的体积为0.3mL时，净水率增加量为84.60%−76.54%=8.06%，絮凝剂的体积为D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54故选：D3．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（

）A．当P=440W时，I=2A B．Q随C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多【答案】C【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．【详解】解∶根据图1知：当P=440W时，I=2根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；故选：C．4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离ykm与行驶时间(1)甲货车到达配货站之前的速度是km/h，乙货车的速度是km/h；(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离ykm与行驶时间x(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．【答案】(1)30，40(2)EF的函数解析式是y=80x−215(3)经过1.5h或4514【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，乙货车到达配货站路程为120km（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知E(4,105)和点F(5.5,225)，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案．【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5=30（∴乙货车到达配货站路程为225−105=120(km)∴乙货车速度=240÷6=40km故答案为：30；40（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知E(4,105)和点F(5.5,225)设y∴4k+b=105解得：b=−215k=80∴甲货车距A地的距离ykm与行驶时间xh（3）设甲货车出发xh①两车到达配货站之前：105−30x=120−40x，解得：x=3②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：105−30x=40x−120，解得：x=45③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：80x−215−105=40x−120，解得：x=5，答：经过1.5h或4514h5．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家0.6km，图书馆离小明家0.8km．小明从家出发，匀速步行了8min去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了3min去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了10min回到家图（2）反映了这个过程中，小明离家的距离y

请根据相关信息解答下列问题：(1)填空：①食堂离图书馆的距离为__________km；②小明从图书馆回家的平均速度是__________km/min；③小明读报所用的时间为__________min．④小明离开家的距离为23km时，小明离开家的时间为__________(2)当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．【答案】(1)①0.2；②0.08；③30；④26或1793(2)y=【分析】（1）①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用58减去28即可得解；④设小明离开家的距离为23km时，小明离开家的时间为（2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当0≤x≤8、8<x<25和25≤x≤28时三段对应的函数解析式即可．【详解】（1）解：①0.8−0.6=0.2km∴小食堂离图书馆的距离为0.2km故答案为∶0.2；②根据题意，68−58=10∴小明从图书馆回家的平均速度是0.810故答案为：0.08；③58−28=30min故答案为：30；④设小明离开家的距离为23km时，小明离开家的时间为当去时，小明离开家的距离为23∵23∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足23由题意得23解得x=26，当返回时，离家的距离为23km时，根据题意，得解得x=179故答案为：26或1793（2）解：设0≤x≤8时y=kx，∵y=kx过8,0.6，∴0.6=8k，解得340∴0≤x≤8时y=340x由图可知，当8<x<25时y=0.6，设25≤x≤28时，y=mx+n，∵y=mx+n过25，0.6，∴0.6=25m+n0.8=28m+n解得m=1∴y=1综上所述，当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式为y=3【点睛】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．QUOTE►题型05根据实际问题列函数解析式1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（）A．y=3x B．y=4x C．y=3x+1 D．y=4x+1【答案】B【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可．【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x，∴y=x+x+2x=4x，故选：B．2．（2024·浙江·中考真题）有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为m升、n升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装20升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩10升的水．则m与n之间的数量关系是．【答案】n=m+30【分析】本题主要考查了列函数关系式，设甲、乙两个水桶中已各装了x、y公升水，根据题意可得n=x+y+20①，m=x+y−10②，然后【详解】解：设甲、乙两个水桶中已各装了x、y公升水，由甲中的水全倒入乙后，乙只可再装20公升的水得：n=x+y+20①由乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩10公升的水得：m=x+y−10②①−②得：∴n=m+30，故答案为：n=m+30．3．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为．【答案】y=10−2x【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可．【详解】解：由题意，得：y=10−2x；故答案为：y=10−2x．4．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为．【答案】3y=x−24【分析】根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．【详解】解：∵x>10，∴超过2千克，设购买了a千克，则2×5+a−2解得a=3，设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为：x=2×5+y−2∴y=故答案为：3，y=x−2【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．►题型06动点问题的函数图象1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x0<x<12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y，下列图像能反映y与xA．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当HG与BC重合时，及当x≤4时图象的走势，和当x>4时图象的走势即可得到答案．【详解】解：当HG与BC重合时，设AE=x，由题可得：∴EF=EH=2x，在Rt△EHB中，由勾股定理可得：B∴2x∴x=4，∴当0<x≤4时，y=2∵2>0，∴图象为开口向上的抛物线的一部分，当HG在BC下方时，设AE=x，由题可得：∴EF=2x，∵∠AEF=∠B=45°，∠A=∠EOB=90°,∴△FAE∽∴AEEF∴x2∴EO=12−x∴当4<x<12时，y=2∵−1<0，∴图象为开口向下的抛物线的一部分，综上所述：A正确，故选：A．3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ−DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（

）A．423 B．83 C．7【答案】B【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．根据函数的图象与坐标的关系确定CD的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．【详解】解：由图象得：CD=2，当BD+BP=4时，PQ=CD=2，此时点P在BC边上，设此时BP=a，则BD=4−a，AD=BC=2+a，在Rt△BCD中，B即：4−a2解得：a=2∴AD=a+2=8故选：B．4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=23cm，∠E=60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCDA． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为63【详解】解：如图所示，设EG,HF交于点O，∵菱形EFGH，∠E=60°，∴HG=GF又∵∠E=60°，∴△HFG是等边三角形，∵EF=23cm，∴∠OEF=30°∴EG=2EO=2×EF∴S当0≤x≤3时，重合部分为△MNG，如图所示，依题意，△MNG为等边三角形，运动时间为t，则NG=t∴S=当3<x≤6时，如图所示，依题意，EM=EG−t=6−t，则EK=∴S∴S==6−∵EG=6<BC∴当6<x≤8时，S=6当8<x≤11时，同理可得，S=6−当11<x≤14时，同理可得，S=综上所述，当0≤x≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3<x≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当6<x≤8时，函数图象为一条线段，当8<x≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当11<x≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D．5．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠D=120°，AD=23厘米，AB=43厘米，点P从点D出发以每秒3厘米的速度，沿D→C→B→A在平行四边形的边上匀速运动至点A．设点P的运动时间为t秒，△ADP的面积为s平方厘米，下列图中表示s与t之间函数关系的是（A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识．由平行四边形性质得到DC=43厘米，点P速度为每秒3厘米，则点P在CD上时，时间t满足的取值范围为0≤t≤4，观察符合题意的A、B、D的图象，t=4即点P在C处时，△ADP的面积各不相同，求得此时△ADP的面积，即可找到正确选项．判断出点P运动到点C时的时间及此时△ADP【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=43∴CD=AB=43∵点P从点D出发以每秒3厘米的速度，∴点P走完CD所用的时间为：43∴当点P在CD上时，0≤t≤4；故排除C；当t=4时，点P在点C处，过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：∴∠E=90°，∵∠ADC=120°，∴∠EAD=∠ADC−∠E=30°，∵AD=23∴DE=3∴AE=3厘米，∴S△ADP故选：B．命题点二坐标系内点的坐标特征►题型01根据坐标系内点的坐标特征求解1．（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（

）A．(4，−5) B．(5,−4) C．【答案】D【分析】设P点坐标为x,y，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可．【详解】解：设P点坐标为x,y，∵点P在第二象限内，∴x<0，y>0，∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，∴y=4，x∴y=4，x=−5，即P点坐标为(−5,4故选：D【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式−x2my3与单项式2xA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出m,n的值，再确定点m,n的位置即可【详解】解：∵单项式−x2my∴单项式−x2my∴2m=4,2−n=3，解得，m=2,n=−1，∴点m,n在第四象限，故选：D3．（2023·浙江衢州·中考真题）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为0,1，点B的坐标为2,2，则点C的坐标为．

【答案】作图见解析，1,3【分析】根据点A、B的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定点C的坐标．【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示：

∴点C的坐标为1,3，故答案为：1,3．【点睛】本题考查平面直角坐标系、在坐标系中确定点的坐标，根据点A、B的坐标确定原点的位置是解题的关键．4．（2022·四川广安·中考真题）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第象限．【答案】二【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，可得到−1<m<0，从而得到m+2>0，即可求解．【详解】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，∴m+1>0m<0，解得：−1<m<0∴m+2>0，∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限．故答案为：二【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．5．（2023·山东日照·中考真题）若点Mm+3,m−1在第四象限，则m的取值范围是【答案】−3<m<1/1>m>−3【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。【详解】解：∵点Mm+3,m−1∴m+3>0m−1<0解得−3<m<1，故答案为：−3<m<1。【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键。6．（2023·山东淄博·中考真题）若实数m，n分别满足下列条件：（1）2m−1（2）n−3>0．试判断点P2m−3,【答案】点P在第一象限或点P在第二象限【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定2m−3，3n−m2的符号确定点P【详解】解：22m−1m−1=1或m−1=−1m1=2，n−3>0，解得：n>3；∴当m=2，n>3时，2m−3>0，3n−m2>0，点当m=0，n>3时，2m−3<0，3n−m2>0，点【点睛】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐标特征是解题的关键．►题型02坐标与图形变化1．（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为6,0，将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（

）

A．33,3 B．3,33 C．6,3【答案】B【分析】过点C作CE⊥OB，由题意可得：∠OBC=60°，OB=OC=6，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．【详解】解：过点C作CE⊥OB，如下图：

则∠CEB=90°由题意可得：∠OBC=60°，OB=OC=6，∴∠BCE=30°，∴BE=1∴CE=CB2∴C点的坐标为3,33故选：B【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知A，B两点的坐标分别为A−3,1，B−1,3，将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C1,2，则点B的对应点D【答案】3,4【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，知点A的横坐标加上了1，纵坐标加1，则B的坐标的变化规律与A点相同，即可得到答案．【详解】解：∵A−3,1平移后对应点C的坐标为C∴点A的横坐标加上了4，纵坐标加1，∵B−1,3∴点D坐标为−1+4,3+1，即3,4，故答案为：3,4．3．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处．若OA=8，OB=10，则点D的坐标是．

【答案】10,3【分析】根据折叠的性质得出AE=AC=10，在Rt△AOE中，勾股定理求得OE=6，进而得出BE=4，在Rt△DBE中，勾股定理建立方程，求得【详解】解：∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=10，∵折叠，∴AE=AC=10，在Rt△AOE中，∴EB=OB−OE=10−6=4，∴设DB=m，则CD=8−m，∵折叠，∴DE=CD=8−m，在Rt△DEB中，D∴8−m2解得：m=3，∴DB=3，∴D的坐标为10,3，故答案为：10,3．【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．4．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标8,4，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B'【答案】−4,8【分析】过点B作BA⊥x轴于点A，过点B'作B'C⊥y轴于点C，易证△OAB≌△OCB'AAS，即得出【详解】解：如图，过点B作BA⊥x轴于点A，过点B'作B'C⊥y∵将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB∴∠BOB'=90°∴∠BOC+∠COB∵∠AOB+∠BOC=90°，∴∠AOB=∠COB又∵∠OAB=∠OCB∴△OAB≌△OCB∴OC=OA=8，B'∴B'故答案为：−4,8．【点睛】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．QUOTE►题型03点坐标规律的探索1．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”P2,1按上述规则连续平移3次后，到达点P3若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16−1,9，则点A．6,1或7,1 B．15,−7或8,0 C．6,0或8,0 D．5,1【答案】D【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照Q16的反向运动理解去分类讨论：①Q16先向右1个单位，不符合题意；②Q16先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为6,1，那么最后一次若向右平移则为7,1【详解】解：由点P32,2可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P42,3，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16−1,9，则按照“和点”①Q16先向右1个单位得到Q150,9②Q16先向下1个单位得到Q15−1,8，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到Q16，故符合题意，那么点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为−1+7,9−8，即6,1故选：D．2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2C3C4C5⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C1C2，C2C

A．(−1，−2022) B．(−2023，1) C．【答案】A【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出C2023在第三象限，与C3，C7，C11，…符合同一规律，探究出C3【详解】解：由图得C1(0，点C的位置每4个一循环，2023=505×4+3，∴C2023在第三象限，与C3，C7符合规律(−1，∴C2023坐标为(−1故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．3．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+⋯+100=100×(1+100)2．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n=n(1+n)2（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Aixi,yi，其中i=1,2,3,⋯,n,⋯，且xi,y

A．a2023=40 B．a2024=43 C．【答案】B【分析】利用图形寻找规律A2n−1【详解】解：第1圈有1个点，即A1(0,0)，这时第2圈有8个点，即A2到A第3圈有16个点，即A10到A依次类推，第n圈，A2n−1由规律可知：A2023是在第23圈上，且A2025(22,22)A2024是在第23圈上，且A2024(第n圈，A2n−12(n−1,n−1)故选B．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．4．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线l:y=33x−33与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以【答案】5【分析】直线直线l:y=33x−33可知，点A1坐标为1,0，可得OA1=1，由于△OA1B1是等边三角形，可得点B【详解】解：∵直线l：l:y=33x−33∴点A1坐标为1,0∴OA过B1，B2，作B1M⊥x轴交x轴于点M，B2N⊥x轴交A2

∵△A∴∠O∴MO=1∴B∴B1当y=32时，32∴A2C1∴C1∴B2∴B2∴当y=734时，7∴A3而254同理可得：A4的横坐标为5∴点A2024的横坐标为5故答案为：52【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为3,0，△OAB是等边三角形，点B坐标是1,0，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是2,0；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是2,0；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A【答案】1,3【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点A1，A2，⋯⋯，【详解】解：∵正方形OMNP顶点M的坐标为3,0，∴OM=MN=NP=OP=3,∵△OAB是等边三角形，点B坐标是1,0，∴等边三角形高为32由题知，A1的坐标是2,0A2的坐标是2,0A3的坐标是3−继续滚动有，A4的坐标是3,2A5的坐标是3,2A6的坐标是5A7的坐标是1,3A8的坐标是1,3A9的坐标是3A10的坐标是0,1A11的坐标是0,1A12的坐标是1A13的坐标是2,0；⋯⋯不断循环，循环规律为以A1，A2，⋯⋯∵2024÷12=168⋯⋯8，∴A2024的坐标与A8的坐标一样为故答案为：1,3．5．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021秒瓢虫在（

）处．A．（3，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（3，﹣2）【答案】A【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2021秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【详解】∵A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1）∴四边形ABCD是矩形∴AB=1-BC=3-∴AB+BC+CD+AD=3+4+3+4=14∴瓢虫转一周，需要的时间是142∵2021=∴按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2021秒相当于从A点出发爬了5秒，路程是：5×2=10个单位，10=3+4+3，所以在D点故答案为：A【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2021秒瓢虫爬完了多少个整圈的矩形，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．QUOTE►题型04求坐标系中的图形面积1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B(2)连接AA1，CC【答案】(1)图见解析，A(2)12【分析】此题考查轴对称的作图、点的坐标、利用网格面积等知识．（1）找到A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、（2）利用梯形面积公式计算即可．【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C（2）解：四边形AA12．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为7,8，2,8，10,4，5,4．

(1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B(2)直接写出以B，C1，B1，(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标．【答案】(1)见详解(2)40(3)E6,6【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键．（1）将点A，B，C分别绕点D旋转180°得到对应点，即可得出△A（2）连接BB1，CC（3）根据网格信息可得出AB=5，AC=32+42【详解】（1）解：△A

（2）连接BB1，∵点B与B1，点C与C1分别关于点∴DB=DB1，∴四边形BC∴S▱B（3）∵根据网格信息可得出AB=5，AC=3∴△ABC是等腰三角形，∴AE也是线段BC的垂直平分线，∵B，C的坐标分别为，2,8，10,4∴点E2+10即E6,63．（22-23八年级上·湖北鄂州·期中）△ABC三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(1)把△ABC沿直线AC翻折，画出翻折后的△ACB(2)找出格点D并画出直线AD，使直线AD将△ABC分成面积相等的两部分；(3)在y轴上存在点P，使△BPC的面积等于3，直接写出点P的坐标．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(0,0)或(0,4)【分析】（1）找到点B关于AC的对称点B1，连接AB1（2）过点B作AC的平行线，取BD=AC，作直线AD，由全等三角形的性质可知直线AD经过BC中点，将△ABC分成面积相等的两部分；（3）设BC交y轴于点Q，点P为y轴上一点，则有S△BPC=S△BPQ+S△CPQ【详解】（1）解：如图，找到点B关于AC的对称点B1，连接AB1（2）如图，过点B作AC的平行线，取BD=AC，作直线AD，则直线AD将△ABC分成面积相等的两部分；（3）如图，设BC交y轴于点Q，由图可知点Q(0,2)，设点B到y轴的距离为ℎ1，点C到y轴的距离为ℎ2，由图可知ℎ1则S===∵△BPC的面积等于3，即12解得PQ=2，∴点P的坐标为(0,0)或(0,4)．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、基本作图、轴对称、三角形面积等知识，熟练掌握基本作图方法及相关知识是解题关键．►题型05与图形面积有关的存在性问题1．（2022·江苏常州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为Aa,0，B(b,0)，且a，b满足a+6+3a−2b+26=0，现将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段CD，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接(1)请直接写出A，B两点的坐标；(2)如图2，点M是线段AC上的一个动点，点N是线段CD的一个定点，连接MN，MO，当点M在线段AC上移动时（不与A，C重合），探究∠DNM，∠OMN，∠MOB之间的数量关系，并说明理由；(3)在坐标轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)A−6,0，B(2)∠DNM+∠OMN+∠MOB=360°，理由见解析(3)存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等，点P的坐标为14,0或−6,0或0,14或0,−6．【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b，即可求出答案；（2）过点M作直线ME∥AB，则∠OME+∠MOB=180°，再判断出（3）先求出△ABD的面积，再分点P在x轴和y轴上两种情况，根据三角形面积公式建立方程求解，即可得出答案．【详解】（1）∵a+6+∴a+6=0，3a−2b+26=0，∴a=−6，b=4，∴A−6,0，B(4,0)（2）∠DNM+∠OMN+∠MOB=360°，理由：如图2，过点M作直线ME∥∴∠OME+∠MOB=180°，∵线段CD由线段AB平移得到，∴AB∥∴ME∥CD，∴∠DNM+∠NME=180°，∴∠DNM+∠OMN+∠MOB，=∠DNM+∠NME+∠OME+∠MOB，=180°+180°=360°，∴∠DNM+∠OMN+∠MOB=360°；（3）如图，依题意可得A(−6,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(10,4)，∴AB=10，OC=4，OB=4，∴S①当点P在x轴上时，设点P(m,0)，则S△PBC∵S∴2m−4∴m=14或−6；②当点P在y轴上时，设点P(0,n)，则S△PBC∵S∴2n−4∴n=14或−6，综上所述，存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等，点P的坐标为(14,0)或(−6,0)或(0,14)或(0,−6)．【点睛】此题考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，坐标两点的距离公式，坐标平移的特征，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．2．（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数y1=x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数y2=kx的图象交于A，(1)求反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在一点E，使得△ABE的面积是△AOB面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标．【答案】(1)反比例函数的表达式为：y＝3(2)S(3)存在，点E的横坐标−1或−3【分析】（1）由OC=2，得b=2，再将y=3代入y=x+2，得x=1，可得出点B的坐标，代入y2（2）求出点A的坐标，再由S△AOB=S（3）先求出点D坐标，再算出S△ABE面积，设点Em，0，根据【详解】（1）∵点C在y轴正半轴，OC=2，即C0,2把C0,2∴b=2，∴一次函数解析式为y=x+2．将y=3代入y=x+2，得x=1，∴B1将点B1，3代入y=∴k=3，∴反比例函数的解析式为y=3（2）将y=0代入y=x+2，得x=−2，∴点D的坐标是−2，∴OD=2．将y=x+2代入y=3x，得解得x1=1，当x=−3时，y=−3+2=−1，∴点A的坐标是−3，∵点B的纵坐标为3，∴S△AOB（3）在直线y=x+2中，当y=0时，x=−2，∴D根据题意可知S△ABE设点EmS△ABE解得m=−1或m=−3，∴点E的横坐标−1或−3．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，数形结合是解答本题的关键．3．（2024银川外国语二模）如图，点Am,6，Bn,1在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5，连接(1)求出反比例函数的表达式及直线AB的函数表达式；(2)在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于10？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=6x(2)存在，点E的坐标为3,0【分析】（1）