广东省揭阳市普宁市华侨中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

广东省揭阳市普宁市华侨中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题考试时间：90分钟 总分：100分 年级/班级：高二（XX）班一、选择题（每题5分，共25分）要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$，定义域为$(-1,+\infty)$，则其值域为：A.$(-\infty,+\infty)$B.$(-\infty,0)$C.$(0,+\infty)$D.$[0,+\infty)$2.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,-4)$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角余弦值为：A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$3.若$a,b,c$是等差数列的连续三项，且$a+b+c=9$，$abc=27$，则该等差数列的公差为：A.1B.2C.3D.44.下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是：A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=2^x$C.$f(x)=\ln(x)$D.$f(x)=\frac{1}{x}$5.已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(1)$的值为：A.-2B.-1C.0D.16.已知等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公比$q=3$，则$a_5$的值为：A.54B.162C.486D.1458二、填空题（每题5分，共25分）要求：将答案填入横线内。1.若等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$，公差$d=2$，则$a_{10}$的值为__________。2.若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$，公比$q=2$，则$a_5$的值为__________。3.若函数$f(x)=x^2-2x+1$，则$f(3)$的值为__________。4.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,-4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为__________。5.若函数$f(x)=\ln(x)$在区间$(0,1)$上是增函数，则$f(0.5)$的值为__________。6.若等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公差$d=3$，则$a_{10}$与$a_5$的差为__________。三、解答题（每题10分，共20分）要求：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并求出$f'(x)$的零点。8.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，求证：数列$\{a_n\}$是等差数列，并求出该数列的前10项和。四、证明题（每题10分，共20分）要求：证明过程要完整，逻辑清晰。9.证明：对于任意实数$x$，都有$x^3+x+1>0$。10.证明：对于任意正整数$n$，都有$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1)$。五、计算题（每题10分，共20分）要求：计算过程要完整，步骤要清晰。11.计算定积分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)dx$。12.计算极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)-3x}{x^2}$。六、应用题（每题10分，共20分）要求：解答要结合实际，步骤要合理。13.已知某商品的原价为$100$元，现进行打折销售，折扣率为$x$（$0<x<1$），求该商品打折后的售价。14.一辆汽车以$60$公里/小时的速度行驶，行驶了$2$小时后，速度提高至$80$公里/小时，求汽车行驶$4$小时后的总路程。本次试卷答案如下：一、选择题1.答案：C解析：函数$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$的定义域为$(-1,+\infty)$，当$x\to-1^+$时，$\ln(x+1)\to-\infty$，当$x\to+\infty$时，$\ln(x+1)\to+\infty$，而$\sqrt{x}$始终非负，因此值域为$(0,+\infty)$。2.答案：B解析：向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,-4)$的夹角余弦值为$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{1\cdot3+2\cdot(-4)}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{-5}{\sqrt{5}\cdot5}=\frac{2}{5}$。3.答案：B解析：由等差数列的性质，$a+b+c=3a+3d=9$，$abc=(a+d)(a+d+d)(a+d+2d)=27$，解得$a=3$，$d=2$。4.答案：B解析：$f(x)=2^x$是指数函数，其定义域为全体实数，且随着$x$增大，$f(x)$也增大，因此是单调递增函数。5.答案：D解析：$f'(x)=3x^2-6x+9$，将$x=1$代入得$f'(1)=3\cdot1^2-6\cdot1+9=6$。6.答案：A解析：等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=2$，$q=3$，$n=5$得$a_5=2\cdot3^{5-1}=54$。二、填空题1.答案：$a_{10}=3+2\cdot(10-1)=21$解析：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=10$得$a_{10}=21$。2.答案：$a_5=1\cdot2^{5-1}=16$解析：等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=1$，$q=2$，$n=5$得$a_5=16$。3.答案：$f(3)=3^2-2\cdot3+1=4$解析：将$x=3$代入函数$f(x)=x^2-2x+1$得$f(3)=4$。4.答案：$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot3+2\cdot(-4)=-5$解析：向量点积公式$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$，代入$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,-4)$得$\vec{a}\cdot\vec{b}=-5$。5.答案：$f(0.5)=\ln(0.5)=-\ln(2)$解析：将$x=0.5$代入函数$f(x)=\ln(x)$得$f(0.5)=-\ln(2)$。6.答案：$a_{10}-a_5=3+2\cdot(10-1)-[3+2\cdot(5-1)]=12$解析：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$，$d=3$，$n=10$和$n=5$得$a_{10}-a_5=12$。本次试卷答案如下：四、证明题9.答案：证明：对于任意实数$x$，都有$x^3+x+1>0$。解析：考虑函数$f(x)=x^3+x+1$，其导数$f'(x)=3x^2+1$，因为$3x^2+1$对所有实数$x$都是非负的，所以$f(x)$是单调递增的。又因为$f(0)=1>0$，所以对于所有$x>0$，有$f(x)>f(0)>0$。对于$x<0$，$f(x)$在$x=0$处取得最小值1，因此对于所有$x<0$，也有$f(x)>0$。综上所述，对于任意实数$x$，$f(x)>0$，即$x^3+x+1>0$。10.答案：证明：对于任意正整数$n$，都有$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1)$。解析：考虑函数$f(x)=\frac{1}{x}$，其积分$\int_1^{n+1}\frac{1}{x}dx=\ln(x)\bigg|_1^{n+1}=\ln(n+1)-\ln(1)=\ln(n+1)$。由积分中值定理，存在$\xi\in(1,n+1)$，使得$\int_1^{n+1}\frac{1}{x}dx=f(\xi)\cdot(n+1-1)=f(\xi)\cdotn$。因为$f(x)=\frac{1}{x}$是单调递减的，所以对于所有$1\leqx\leqn+1$，有$f(x)\geqf(n+1)=\frac{1}{n+1}$。因此，$\int_1^{n+1}\frac{1}{x}dx\geq\frac{1}{n+1}\cdotn=\frac{n}{n+1}$。又因为$\ln(n+1)$是单调递增的，所以$\ln(n+1)\geq\ln(n+1)-\frac{n}{n+1}$。因此，$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1)$。五、计算题11.答案：$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)dx=\left[\frac{1}{2}x^4-x^3+2x^2\right]_0^1=\frac{1}{2}-1+2=1.5$解析：对多项式积分，逐项积分后求差，代入上下限计算。12.答案：$\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)-3x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{3\cos(3x)-3}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{3(1-\sin^2(3x))-3}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{3-3\sin^2(3x)-3}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-3\sin^2(3x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-3(3x)^2}{2x}=0$解析：使用洛必达法则，对分子和分母同时求导，然