2024北京朝阳区初二（下）期末数学试题和答案

试题PAGE1试题2024北京朝阳初二（下）期末数学(选用)(考试时间90分钟满分100分)考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，25道小题．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题(共24分，每题3分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.3.在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断的是（）A. B.C. D.4.如图，，相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是（）A.和 B.和C.和 D.和5.在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后，一定不发生变化的统计量是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差6.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（）A.对角线互相平分的四边形 B.有三个角是直角的四边形C.有一组邻边相等的平行四边形 D.对角线相等的菱形7.下列函数的图象是由正比例函数的图象向左平移1个单位长度得到的是（）A. B. C. D.8.我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题(共24分，每题3分)9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．10.写出一个图象经过第二、三、四象限的一次函数表达式______．11.下表是某校排球队队员的年龄分布，该排球队队员的平均年龄是_________岁．年龄/岁12131415频数113312.如图，是的中位线，若的周长为10，则的周长为_________．13.如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则_______．14.如图，在中，，P为射线上一点，若是等腰三角形，则的长为_________．15.直线一定经过一个定点，这个定点的坐标是_________．16.如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏，一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放，把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为_________．

三、解答题(共52分，第17-22题，每题5分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)17.计算：．18.已知，求代数式的值．19.如图，在矩形中，相交于点O，E为的中点，连接并延长至点F，使，连接．求证：四边形是菱形．20.数学课上老师提出一个命题：如果四边形和都是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下面是某同学根据自己画出的图形给出的证明过程．证明：因为是平行四边形，所以．又因为也是平行四边形，所以．所以．即．所以四边形是平行四边形．讨论后大家发现这个证明过程存在问题（1）请说明该同学证明中出现的问题；（2）给出正确的证明．21.如图；在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点A．（1）若点A的横坐标为2，求k的值；（2）若关于x的不等式有且只有2个正整数解，直接写出k的取值范围．22.某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：a．16名学生的编号与身高：编号①②③④⑤⑥⑦⑧身高161162162164165165165166编号⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯身高166167168168170172172175b．16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75mnc．分组方案：甲组队员编号乙组队员编号方案一①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯方案二①③⑤⑦⑨⑪⑬⑮②④⑥⑧⑩⑫⑭⑯方案三①③⑤⑦⑩⑫⑭⑯②④⑥⑧⑨⑪⑬⑮方案四①④⑤⑧⑨⑫⑬⑯②③⑥⑦⑩⑪⑭⑮（1）写出表中m，n的值；（2）按照方案一分成的两组中，学生身高更整齐的是(填“甲组”或“乙组”)；（3）如果分成的两组学生的平均身高接近，且身高的方差也接近，则认为这两组学生的身高整体接近，在演出时舞台呈现效果更好．在这四个分组方案中，舞台呈现效果最好的是方案(填“一”“二”“三”或“四”)．23.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．（1）求水池的深度；（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．24.如图，E为正方形内部一点，且，的延长线交于点F．（1）求证：；（2）作于点G，交于点H，用等式表示线段的数量关系，并证明．25.如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：时间(t/s)12345678水位高度(h/cm)2463根据以上信息，解决下列问题：（1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点；（2）当t=s时，杯中水位最高，是cm；（3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为；（4）求停止注水时t的值；（5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时s．

参考答案一、选择题(共24分，每题3分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】A【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键．【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．2.【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算正确，符合题意；D、，原式计算错误，不符合题意；故选：C．3.【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【详解】解：A、∵，∴，∴，即，故A不符合题意；B、∵，∴，∴，故B不符合题意；C、∵，∴，∴，故C不符合题意；D、∵，∴，∴，即，故D不符合题意；故选：C。4.【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而可得，根据现有条件无法得到和的面积相等，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，根据现有条件无法得到和的面积相等，故选：D．5.【答案】B【分析】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响.【详解】解：中位数为大小排序后中间1位数或者中间2位数的平均数，故去掉一个最大的数和最小的数后，排序中间的1位数或2位数仍在中间，没有变化，故中位数不变．平均数，众数，方差都可能变化．故选：B．6.【答案】D【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意；B、有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意；故选：D．7.【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．【详解】解：把正比例函数的图象向左平移1个单位长度得到的函数解析式为，故选：B．8.【答案】D【分析】本题考查了动点问题函数图象，分析菱形形状变化过程是解题的关键；过点A作于E，当E点与B点重合时，，可判断出此时面积最大，且随着x的减小，面积减小，随着x的增大，面积也增大，而前三个选项中图象均不满足；故可作出判断．【详解】解：如图，过点A作于E；当E点与B点重合时，，则，此时面积最大，且为，当A往右方向移动时，减小，也减小，而跟着减小，即随着x由减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为0；同理，随着x的增大到，面积也增大到4，前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足；故选：D．二、填空题(共24分，每题3分)9.【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴∴故答案为：10.【答案】答案不唯一，如【分析】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数图像的特点是解题关键．由一次函数图像经过的象限可得，，只需要写出一个符合条件的答案即可．【详解】解：∵一次函数图像过第二、三、四象限，∴，，∴此题答案不唯一，如．故答案为：答案不唯一，如．11.【答案】14【分析】本题考查了求平均数；根据平均数公式直接计算即可．【详解】解：该排球队队员的平均年龄是（岁）故答案为：14．12.【答案】5【分析】本题考查了三角形中位线定理，利用三角形中位线定理得的周长为的周长的一半，即可求解；掌握三角形中位线定理是解题的关键．【详解】解：是的中位线，，的周长为；故答案为：5．13.【答案】30【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握这三种性质是关键；由题意得是等腰三角形，则可求得的度数；同理可求得的度数，由即可求解．【详解】解：正方形中，；为等边三角形，，，，；同理，；；故答案为：30．14.【答案】或6或2【分析】由题意可求得；分三种情况考虑：；；即可．【详解】解：，，由勾股定理得：；当时，如图，则；当时，过点C作于E，如图；则，，由勾股定理得：，；当时，则，；而，即，，是等边三角形，，；综上，的长为或6或2．【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，注意分类讨论．15.【答案】【分析】、本题考查了一次函数图象上点的坐标特征；变形为，既然过定点，则与k值无关，此时只有即可，由此可求得定点坐标．【详解】解：变形为，直线过定点，则与k值无关，，即，，即定点坐标为；故答案为：．16.【答案】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；结合图形建立关系式是解题的关键；设小矩形的长为a，宽为b，根据阴影部分面积为大矩形面积减去5个小矩形面积等于40，化简得的值，由勾股定理即可求得小矩形的对角线长．【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，则大矩形长为，宽为，由题意得：，化简得，；即小矩形对角线的长为.故答案为：．三、解答题(共52分，第17-22题，每题5分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)17.【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据分别化简二次根式、按单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类二次根式即可．【详解】解：．18.【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，再代入计算求值即可．【详解】解：，，当时，原式．19.【答案】见解析【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证明四边形是平行四边形，再由矩形对角线相等且互相平分得到，由此即可证明四边形是菱形．【详解】证明：∵E为的中点，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是菱形．20.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定：（1）题中并没有指明三点共线，三点共线，则无法证明；（2）由平行四边形对边相等且平行得到，，进而得到，由此即可证明四边形是平行四边形．【小问1详解】解：∵题中并没有指明三点共线，三点共线，∴由并不能得到；【小问2详解】证明：因为是平行四边形，所以．又因为也是平行四边形，所以．所以．所以四边形是平行四边形．21.【答案】（1）2（2）【分析】（1）把点A的横坐标为2代入中，得A点坐标，把A点坐标代入中，即可求得k的值；（2）由（1）知，当时，求得k的值为2；当时，可求得k的值；结合图形，当k的值位于这两者之间时，保证关于x的不等式有且只有2个正整数解．【小问1详解】解：当时，，则；把A的坐标代入中，得，即；【小问2详解】解：由（1）知，当时，；当时，，即，如下图所示；把点B坐标代入中，得，即；由图知，当时，关于x的不等式有且只有2个正整数解．故k的取值范围为．22.【答案】（1）166；165（2）甲组（3）四【分析】（1）由a知，第⑧、⑨号队员是处于中间位置的两个数，由中位数的意义则可求得中位数m的值；找到出现次数最多的即可；（2）根据两组中最大值与最小值的差即可作出判断；（3）分别计算各个方案中每组的平均数，选择平均数最接近的两组，再计算出方案中两个组的最大值与最小值的差，可判断出数据的稳定性，从而作出判断．【小问1详解】解：由a知，第⑧、⑨号队员是处于中间位置的两个数，则；从表中知，数据165出现的次数最多，故众数；故答案为：166；165；【小问2详解】解：甲组中最大与最小数据的差为，乙组中最大与最小数据的差为，而，表明甲组的数据更接近平均数，即甲组的波动程度更小，学生身高更整齐；故选：甲；【小问3详解】解：方案一：甲组平均数为：，乙组的平均数为：方案二：甲组平均数为：，乙组的平均数为：方案三：甲组平均数为：，乙组的平均数为：；方案四：甲组平均数为：，乙组的平均数为：；方案三、四中两组的平均数更接近；而方案三中，甲组最大与最小的差为14，乙组中最大与最小的差为10；方案四中甲组最大与最小的差为11，乙组中最大与最小的差为10；表明方案四中两组的方差更接近，故方案四舞台呈现效果最好；故答案为：四．【点睛】本题考查了求中位数与众数，计算平均数，根据最大与最小值的差判断数据的波动程度，正确计算这些统计量是解题的关键．23.【答案】（1）12尺（2）见解析【分析】本题考查了勾股定理的应用；（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；（2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证．【小问1详解】解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺，由题意有：尺；为中点，且丈尺，(尺)；在中，由勾股定理得：，即，解得：；即尺；答：水池的深度为12尺；【小问2详解】证明：水池深度，则芦苇高度为，由题意有：；为中点，且，；在中，由勾股定理得：，即，整理得：；表明刘徽解法是正确的．24.【答案】（1）见解析（2）