江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2024-2025学年九年级下学期数学第一次月考考试试卷（解析版）

2024－2025学年度第二学期九年级数学试卷（总分：150分，时长：120分钟）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）1.在、0、、这四个数中，为无理数的是（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；B、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；D、无理数，故本选项符合题意．故选：D．2.下列计算正确的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可．【详解】A、3a与2b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、（a3）2=a6，故选项B符合题意；C、a6÷a3=a3，故选项C不符合题意；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项D不合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．3.在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，七位评委给某同学打出的成绩依次为：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量不变的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】B【解析】【分析】本题考查了中位数的定义．根据中位数的定义即可得．【详解】解：将该同学的分数按从小到大进行排序为8.7，8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，94，则去掉前其中位数9.0分，去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，则去掉后其中位数为9.0分，因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数，故选：B．4.实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.【详解】解：由题意可得：，所以，∴，观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；故选：D.【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.5.二次函数，下列说法正确的是（）A.开口向上 B.对称轴为直线C.顶点坐标为 D.当时，随的增大而减小【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据解析式得出开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，即可求解．【详解】解：关于二次函数，，开口向下，A不符合题意；对称轴为直线，B符合题意；顶点坐标为，C不符合题意；当时，随的增大而增大，D不符合题意；故选：B6.中国古代《孙子算经》中有个问题：今天有四人共车，一车空；二人共车，八人步．问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人？多少辆车？如果设有辆车．则总人数可表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐，求总人数为；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，求总人数为；依此即可求解．【详解】解：∵有x辆车，∴总人数为或．故选：A．【点睛】本题考查列代数式，能够根据题意，列出代数式是求解的关键．7.如图，四边形内接于，是直径，，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质可知，然后根据等腰三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵四边形内接于，，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故选B．【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内四边形的性质是解题的关键．8.如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（）A.（2，3） B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，根据点F的坐标可得，连接，连接交于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为，根据菱形的性质易得为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出，由平行线和菱形的性质易得，进而求出，以此即可求解．【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是的中点，∴，∴，如图，连接，连接，交于点N′，连接，∴当点N在点时，取得最小值为，∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，在中，，∴点E的坐标为．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．【答案】x≥1【解析】【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1，故答案为：x≥1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．10.分解因式：_____．【答案】【解析】【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：原式，故答案为：．11.2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为_____【答案】【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【详解】解：用科学记数法表示是，故答案为：12.已知，，则______．【答案】24【解析】【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：24．【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键．13.已知圆锥的母线长为高为则该圆锥侧面展开图的圆心角是________________________．【答案】【解析】【分析】先根据勾股定理算出圆锥底面圆的半径，然后算出弧长，再根据弧长公式反推出圆心角．【详解】解：根据母线和高，用勾股定理可以算出圆锥底面圆的半径，则展开之后扇形的弧长就等于底面圆的周长，再根据弧长公式，得到，算出．故答案是：．【点睛】本题考查扇形和圆锥有关的计算，解题的关键是要熟悉扇形和圆锥之间的关系以及有关的计算公式．14.已知a和b是方程的两个解，则的值为________．【答案】2029【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解和根与系数关系是关键．先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再将变形为，然后整体代入计算即可．【详解】解：∵a和b是方程的两个解，∴，，∴，∴，故答案为：2029．15.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．【答案】2【解析】【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．【详解】根据题意，有，当时，有最大值．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．16.如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出．【详解】解：过F作于G，由作图得：平分，，，∴，在中根据勾股定理得：，，，，，设，则，，在中，根据勾股定理得：，即：，解得：，，在中根据勾股定理得：．故答案为：．17.如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，根据平行四边形的性质得出，证明得出，，进而可得，即可求解．【详解】如图所示，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，∵四边形是平行四边形，点，，，∴，∴，即，则，∵轴，轴，∴∴∴∴，∴∴故答案为：．18.如图，，为轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得．连接、，则当取最小值时，点的坐标是________．【答案】【解析】【分析】本题考查直线与图形的变化，绕原点顺时针旋转等知识，熟练掌握是解题的关键．如图，设点坐标为，将线段和线段向左平移，得到点、、，此时点与点重合，点，根据线段绕点顺时针旋转得，可得点，即点，则，显然当时，取最小值，此时点．【详解】解：如图，设点坐标为，将线段和线段向左平移，得到点、、，作轴于点E，作轴于点F，将线段绕点顺时针旋转得，，，，坐标为，点坐标为，即点，则，当时取最小值时，此时点坐标为，故答案为．三、解答题（本題10小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：．【答案】【解析】【分析】此题考查了二次根式运算，特殊角的三角函数值化简，零指数幂，负指数幂，利用零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数值化简，再加减，即可得到结果，熟练计算即可解答．【详解】解：，，20.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算．先利用分式的减法和除法法则化简分式，把字母的值代入化简计算即可．【详解】解：，当时，原式.21.如图，在中，于点E，于点F．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】只需要证明，得到，即可证明．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．22.某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图：运动项目频数（人数）羽毛球30篮球a乒乓球m排球b足球12请根据图表信息解答下列问题：（1）频数分布表中的，；（2）在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为度；（3）若全校有1200名学生，求选择参加乒乓球运动的学生有多少名？【答案】（1）24，18（2）54（3）选择参加乒乓球运动的人数是人【解析】【分析】本题考查扇形统计图，解题关键是根据图表求出总人数和每个部分的人数和占比，各部分所在的扇形的圆心角将百分比乘即可．（1）先求总人数，再求出每个部分的人数；（2）求出“排球”人数百分比，再乘即可；（3）学校总人数乘“乒乓球”人数的百分比即可．【小问1详解】解：总人数：（人，篮球人数：（人，乒乓球人数：（人，排球人数：（人．故答案为：24，18；【小问2详解】解：“排球”所在的扇形的圆心角为：．故答案为：54；【小问3详解】解：（人．答：选择参加乒乓球运动的人数是人．23.在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取若干人，组成调查小组进行社会调查．（1）随机抽取一人，恰好是男生的概率是；（2）随机抽取两人，请用画树状图或者列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用简单地概率计算公式求解即可；（2）利用画树状图法计算概率．本题考查了概率的计算，画树状图，熟练运用公式，画树状图法求概率是解题的关键．【小问1详解】4名同学报名（2名男生和2名女生），分配1个名额，则抽到男生的概率是，故答案为：．【小问2详解】根据题意，画树状图如下：共有12个等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的等可能性有8个，故抽到一名男生和一名女生的概率，故答案为：．24.为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为（2）检查点和之间的距离为【解析】【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可；（2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．【小问1详解】解：如图，根据题意得，，，，．在中，，．答：行进路线和所在直线的夹角为．【小问2详解】过点A作，垂足为．，，．,在中，，．,在中，，，．答：检查点和之间的距离为．【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．25.如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点A作交BO的延长线于点D，且．（1）若，则°；（2）求证：为的切线；（3）若，，求的长．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据切线的性质、垂线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可；（2）过点O作的垂线，证明即可；（3）根据锐角三角函数定义以及勾股定理可求出，，，进而求出，再由相似三角形的性质可得答案．【小问1详解】解：∵，∴，即，∴，∵为的切线，点是切点，∴，即，∴，又∵，∴，故答案为：30；【小问2详解】证明：如图，过点O作于点E，由（1）可得，∵，∴，即，，∵，∴，∴，即是的平分线，又∵，，∴，∵是半径，∴点到的距离等于半径，∴为的切线；【小问3详解】解：∵，，∴，在中，由于，设，则，∴，∵，∴，即，，在中，，∵，，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．26.2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，（2）一共有六种购买方案（3）【解析】【分析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可；（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可；（3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，求出，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出．【小问1详解】解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，由题意得，，解得，检验，当时，，∴是原方程的解，∴，∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；【小问2详解】解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，由题意得，，解得，∵a是正整数，∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，∴一共有六种购买方案；【小问3详解】解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，由题意得，，∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴W的取值与a的值无关，∴，∴．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式的加减的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键．27.某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接，与的数量关系是；（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为10，，求正方形的边长．【答案】（1）（2），理由见解析（3）【解析】【分析】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；（3）连接、，证明，由相似三角形的性质得出，可求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案