新人教版初中数学七年级上册全册知识梳理及练习（基础版）（家教补习复习专用）

新人教版初中数学七年级上册全册知识梳理及练习（基础版）

（家教补习复习专用）

科目：数学

适用版本：新人教版

适用范围：【教师教学】

新人教版七年级上册数学全册

知识点及巩固练习题

有理数的意义

【学习目标】

1.掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；

2.理解正数、负数、有理数的概念；

3.掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想.

【要点梳理】

要点一、正数与负数

像+3、+1.5、+1,+584等大于0的数，叫做正数：像一3、一1.6、一,、-584

22

等在正数前面加“一”号的数，叫做负数.

要点诠释：

(1)一个数前面的“+是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.

(2)用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上

升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负.

(3)0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线.

要点二、有理数的分类

(1)按整数、

正整数,正整数

分数的关系分类：正有理数＜

整数，0,正分数

有理数＜贝整数

(2)按正数、有理数＜0负数

,正分数

分数＜〔负整数

贝分数的关系分类：负有理数，

与0贝分数

要点诠释：

(1)有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.

(2)分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分

数，但无限不循环小数不是分数，例如》.

(3)正数和零统称为非负数：负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数.

【典型例题】

类型一、正数与负数

©'l.（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方

程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么-80元

表示（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就

用负表示.

【答案】C

【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，

则-80表示支出80元.

故选：C.

【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一

对具有相反意义的量.

举一反三：

【有理数的意义】

【变式1］（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为"（50±0.5）千克”，则下列各

袋大米中质量不合格的是（）

A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克

【答案】【）.

解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克.

【变式2］（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用—

表不，0兀表不.

（2）若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？

【答案】（1）-500元；既没有收入也没有支出.（2）不是一对具有相反意义的

量，不能表示.

【变式3］如果60nl表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为

A.-20mB.-40mC.20mD.40m

【答案】B

Qz.体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个

为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如

下：2.-1,0,3,-2,-3.1.0

(1)这8名男生有百分之几达到标准？

(2)他们共做了多少引体向上？

【答案与解析】(1)由题意可知：正数或0表示达标，

而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：1xl00%=62.5%；

O

答：这8名男生有62.5%达到标准.

(2)(7+2)+(7-1；+7+(7+3)+(7-2)+(7-3)+(7+1)+7=56

(个)

答：他们共做了引体向上56个.

【总结升华】一定要先弄清‘基准”是什么.

类型二、有理数的分类

【有理数的意义356786概念的应用例2】

▼^3.下面说法中正确的是().

A.非负数一定是正数.

B.有最小的正整数，有最小的正有理数.

C.一Q一定是负数.

D.正整数和正分数统称正有理数.

【答案】D

【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B)最小的正整数为1,但没有最小

的正有理数；(C)不对，当。为负数或。时，则一。为正数或0,而不是负数；

⑻对

【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者

合在一起才表示这个有理数.

举一反三：

【变式1】判断题：

(1)。是自然数，也是偶数()(2)0既可以看作是正数，也可以看成

是负数.()

(3)整数又叫自然数.()(4)非负数就是正数，非正数就是负数.

()

【答案】V,X,X,X

【变式2】下列四种说法，正确的是().

(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数

(C)正有理数包括整数和分数(D)0不是最小的有理数

【答案】D

@4.请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,,023.

23

正整数集合：｛…｝,负整数集合：｛-｝,

整数集合：｛…｝,正分数集合：｛…｝,

负分数集合：｛…｝,分数集合：｛…},

非负数集合:(•••),非正数集合:(

【答案】正整数：1；负整数：-700；整数：1,0,-700；正分数：0.0708,

3.14159265,0.23；

7

负分数：-3.88,~；

分数：0.0708,3.14159265,0.23(-3.88,--；

非负数:1,0.0708,3.14159265,0,0.23；

7

非正数：-700,-3.88,0,--

正整数

正有理数

【解正分数析】

有理数0

负有理数［负整数

【总结I负分数升华】填数的方法有两种：一种是逐个考

察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集

合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.

举一反三:

【变式】(2014秋•惠安县期末)在有理数-］、-5、3.14中，属于分数的个

数共有一个.

【答案】2.

类型三、探索规律

@5.某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发

芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，….

按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是粒.

【答案】⑵+1)

【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…，

由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：3=2xl+l,5=2x24-1,

7=2x3+l,9=2x4+l,…，按此规律，第n组应该有种子数（2〃+1）粒.

【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.

举一反三：

【变式1】有一组数列：2,-3,2,-3,2,-3,…,根据这个规律，那么第

2010个数是：

【答案】-3

【变式2】观察下列有规律的数：士±-1,-1,-1,…，根据其规律可知第9个数

26122030

是：

【答案喘

【巩固练习】

一、选择题

1.（2014•甘肃模拟）下列语句正确的（）个

（1）带号的数是负数；

（2）如果a为正数，则-a一定是负数：

（3）不存在既不是正数又不是负数的数；

（4）0C表示没有温度.

A.0B.1C.2D.3

2.关于数“0”，以下各种说法中，错识的是（）

A.0是整数B.0是偶数

C.0是正整数D.0既不是正数也不是负数

3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是（）

A.前进-18米的意义是后退18米

B.收入-4万元的意义是减少4万元

C盈利的相反意义是亏损

D.公元-300年的意义是公元后300年

4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是

（）

A.甲站的东边70千米处B.甲站的西边20千米处

C.甲站的东边30千米处D.甲站的西边30千米处

5.在有理数中，下面说法正确的是（

A.身高增长1.2CM和体重减轻1.2版是一对具有相反意义的量

B.有最大的数

C.没有最小的数，也没有最大的数

D.以上答案都不对

6.下列各数是正整数的是()

A.-1B.2C,0.5D.^2

二、填空题

1.(2014秋•朝阳区期末)如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记

作.

11

2.在数0.5,-2-,100,0,1--45,0.1中，非负数是______________；非正数

22

是•

3.把公元2008年记作+2008,那么-2008年表示.

4.既不是正数，也不是负数的有理数是.

5.(2016春•温州校级期中)如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记

作米.

6.是整数而不是正数的有理数是.

7.既不是整数，也不是正数的有理数是.

8.一种零件的长度在图纸上是(104卷)毫米，表示这种零件的标准尺寸是毫

米，加工要求最大不超过亳米，最小不小于亳米.

三、解答题

1.说出下列语句的实际意义.

(1)输出T2t(2)运进-5t(3)浪费-14元(4)上升-2m(5)

向南走-7m

2.(2014秋•晋江市期末)下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这

两个圈中合适的位置.

-28%,-(--1),-2014,3.14,-(+5),-0.g

负数•集,分数案

3.(2015秋•赣州校级期末)随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通

家庭.小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km为标准，多

于50km的记为“+”，不足50km的记为“・”，刚好50km的记为“3”，记录数据如下

表：

时间第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

路程

*、-8-11-140-16+41+8

(km)

(1)请你估计小明家的小轿车一月(按30天计)要行驶多少千米？

(2)若每行驶100km需用汽油8L.汽油每升7.14元,试求小明家一年(按12个月计)

的汽油费用是多少元？

4.观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个

数，你能说出第2011个数是什么吗？

(1)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,,,•••,•・.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B

【解析】(1)带“-”号的数不一定是负数，如-(-2),错误；

(2)如果a为正数，则-a一定是负数，正确；

(3)0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的

数此表述错误；

(4)0C。表示没有温度，错误.

综上，正确的有(2),共一个

2.【答案】C

【解析】。既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.

3.【答案】D

【解析】D错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.

4.【答案】C

【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然

此时汽车在甲站的东边30千米处.

5.【答案】C

【解析】A错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B错误，没有最大

的数也没有最小数；C对.

6.【答案】B

二、填空题

1.【答案】・5米

2.【答案】0.5,100,0,J01.-21,0,-45

22

【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.

3.【答案】公元前2008年

【解析】正负数表示具有相反意义的量.

4.【答案】0

【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.

5.【答案】-20.

【解析】解：•・•向东行驶10米，记作+10米,

，向西行驶20米,记作-20米，

故答案为：-20.

6.【答案】负整数和0

【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.

7.【答案】负分数

【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.

8.【答案】10,10.03,9.98

【解析】10二嚷表示的数的范围为：大于（10・0.02）,而小于（10+0.03）,即大于

9.98而小于10.03.

三、解答题

1.【解析】⑴输出-12t表示输入12t；

(2)运进5t表示运出5t;

(3)浪费T4元表示节约14元；

(4)上升-2m表示下降2m；

(5)向南走-7用表示向北走7m.

提示：“一”表示相反意义的量.

2•【解析】

负数集分数集

3•【解析】

解⑴50X7-8-11-14-16+41+8_

7

50X30=1500(km).

答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米；

(2)1^22,X8X7.14X12=10281.6(元)，

100

答：小明家一年的汽油费用是10281.6元.

4.【解析】⑴9,-10,…，2011,…

数轴与相反数(基础)

【学习目标】

1.理解数轴的概念及三要素；

2.理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小;

3.会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义;

4.掌握多重符号的化简.

【要点梳理】

要点一、数轴

1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

要点诠释：

(1)原点、正方向和单位长度是数轴的二要素，二者缺一不口J.

(2)长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长

度单位是为度量线段的长度而制定的单位.有km、m、dm、cm等.

(3)原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动.

2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都

表示有理数，还可以表示其他数，比如乃.

要点诠释：

(1)一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用

数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.

(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

要点二、相反数

1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.

要点诠释：

(1)“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.

(2)“0的相反数是0”是用反数定义的一部分，不能漏掉.

(3)相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.

(4)求一个数的相反数，只要在它的前面添上号即可.

2.性质:

(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等(这

两个点关于原点对称).

(2)互为相反数的两数和为0.

要点三、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，

如一{-卜(一4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负,如-{+[-(-4)]}=-4.

要点诠释：

(1)在一个数的前面添上一个“+”，仍然与原数相同，如+5=5,+(-5)=-5.

(2)在一个数的前面添上一个“一”，就成为原数的相反数.如一(一3)就是一3的相

反数，因此，一(-3)=3.

【典型例题】

类型一、数轴的概念

C1.如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是()

-2-1012-3-2-10123T-2012一0

(1)(2)(3)(4)

A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.只有(2)D.⑴⑵⑶⑷

【答案】C

【解析】对数轴的三要素掌握不清.(1)中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一

致；(3)中负有理数的标记有错误；(4)图中漏画了表示方向的箭头.

【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、

正方向、单位长度缺一不可.

类型二、相反数的概念

^^2.(2015.宜宾).』的相反数是(

)

5

A.5B.1C.-1D.-5

55

【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要

将原数的符号变为相反的符号，艮]可求出其相反数.

【答案】B

【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.

举一反三：

【数轴和相反数例1(1)~(7)]

【变式1】填空：

(1)-(-2.5)的相反数是；⑵—是TOO的相反数；(3)-5：是

的相反数；

(4)的相反数是-1.1；(5)8.2和互为相反数.(6)a和互为相

反数.

(7)的相反数比它本身大，的相反数等于它本身.

【答案】(1)-2.5；(2)100：(3)5-;(4)1.1；(5)-8.2；(6)-a；(7)负

5

数，0.

【数轴和相反数例2】

【变式2】下列说法中正确的有()

①一3和+3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必

定一个是正数，一个是负数；④乃的相反数是一3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相

等.

A.0个B.1个C.2个D.3个或更多

【答案】B

C3.(2016•泰安模拟)如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中表示2的相反数的

点是()

ABCD

-----；•------—a—ft—।--------------1------->

-4-3-2-10123456

A.点AB.点BC.点CD.点D

【思路点拨】考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数.根据定义，结合数

轴进行分析.

【答案】A

【解析】解：•・•表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与

2分别位于原点的左右两侧，

，在A,B,C,D这四个点中满足以上条件的是A.

故选A.

【总结升华】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右

两侧，并且到原点的距离相等.

类型三、多重符号的化简

4.化简下列各数中的符号.

(1)-f-2-l(2)-(+5)(3)-(-0.25)(4)+1-1

I3jI2)

(5)](6)_(_a)

(\\1

【答案】(1)——2—=2—(2)-(+5)=-5(3)-(-0.25)=0.25

I3J3

(1A1

(4)+——=——(5)-[-(+1)]=~(-1)=1(6)-(-a)=a

I2)2

【解析】

⑴-1-2号表示一2』的相反数，而一21的相反数是2L所以J-2g=2:；

13yl33313yl3

(2)-(+5)表示+5的相反数，即-5,所以-(+5)=-5；

(3)-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25,所以-(-0.25)=0.25：

1

(4)负数前面的“+”号可以省略，所以+--=一一；

I2)2

(5)先看中括号内-(+1)表示1的相反数,即T,因此-卜(+1)]=-(-1)而-(-1)表示-1的

相反数,即1,所以-b(+D]=TT)=l:(6)-(-a)表示-a的相反数，即a.

所以-(-a)=a

【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少

个负号.若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.

类型四、利用数轴比较大小

GA.在数轴上表示2.5,0,-1,-2.5,11,3有理数，并用“V”把它连接起

44

来.

【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5,0.

-3巳-1,-2.5,13.

44

£DCBFAG

-4-3-2-101234

由上图可得：

31

/.-2.5<-1<--<0<1-<2,5<3

44

【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小.

举一反三：

【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是()

---------------------1---------------1~।---------------------->

a0b

A.b-a>0B.-b<0C.-a>-bD.-ab<0

【答案】D

【数轴和相反数例4(2)]

【变式2】填空：

大于-39且小于79的整数有_____个；比3?小的非负整数是____________.

775—

【答案】11；0,1,2,3

类型五、数轴与相反数的综合应用(数形结合的应用)

▼6.已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a,biaVb）并且A、B两点

间的距离是4,，求a、b两数.

4

【思路点拨】因为a、b两数互为相反数（aVb）,所以表示a,b的两点A、B离原点的距离

相等，而A、B两点间的距离是41,所以A、B两点到原点的距离就是4』+2=21.

448

【答案与解析】

解：由题意A、B两点到原点的距离都是：4!+2=2：而a<b,所以。=一2L

488

b=2-.

【总结升华】（1）理解相反数的几何意义.（2）从相反数的意义入手，明确互为

相反数的两数关于原点对称.

举一反三：

【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是；（2）从数轴

上观察，-3与3之间的整数有个.

【答案】（1）±5,提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5,提示：画出数

轴，容易看出-3和3之间的整数是-2,-1,0,1,2共5个.

【巩固练习】

一、选择题

1.（2015•江阴市模拟）-5的相反数是（）

A.5B.-5C.±5D.

5

2.下列说法正确的是（）

A.数轴上一个点可以表示两个不同的有理数

B,数轴上的两个不同的点表示同一个有理数

C.有的有理数不能在数轴上表示出来

D.任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点

3.（2016•呼和浩特）互为相反数的两个数的和为（）

A.0B.-1C.1D.2

4.如图，有理数a,b在数轴上对应的点如下，则有（）.

a0b

(A)a>0>b(B)a>b>0(C)a<0<b(D)a<b<0

5.一个数比它的相反数小，这个数是()

A.正数B,负数C.非正数D.非负数

6.如果。+6=0,那么a,6两个数一定是()

A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数

二、填空题

1.的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是______.

2.(2015春•岳池县期中)若3a-4b与7a-6b互为相反数，则a与b的关系

为.

3.(2016•岳阳)如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是.

4.数轴上离原点5个单位长度的点有个，它们表示的数是，它们之间的关

系是.

5.化简下列各数：

(/4、

(D---=________；⑵一+-=________；(3)-什[一(+3)]}=________.

、3)\5,

【数轴和相反数例4(5)】

6.已知一IVaVOVIVb,请按从小到大的顺序排列-1,—a,0,1,—b为.

三、解答题

1.小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、

D,学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米.

(1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小敏家为原点).

(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后.以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分

钟.试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米？

2.已知：a是-(-5)的相反数，b比最小的正整数大4,c是最大的负整数.计算:

3a+3b+c的值是多少？

3.化简下列各数,再用“<”连接.

(1)-(-54)(2)-(+3.6)⑶一(+：)

4.已知3m-2与-7互为相反数，求m的值.

【答案与解析】

一、选择题

L【答案】A

2.【答案】D

【解析】A、B、C都错误，因为所有的有理数都能在数轴上表示出来，但数轴上的点不

都表示有理数；一个有理数在数轴上只有一个表示它的点.数轴上表示有理数

的点一个点对应一个有理数.

3.【答案】A

【解析】解：互为相反数的两个数的和为0.

故选：A.

4.【答案】C

5.【答案】B

【解析】因为一个负数的相反数是一个正数，负数小于正数，所以选B

6.【答案】C

【解析】若〃+力=0，则。力一定互为相反数：反之，若互为相反数，则

a+b=0.

二、填空题

1.【答案】只有符号不同，零

【解析】相反数的定义

2.【答案】a二b.

【解析】•「3a-4b与7a-6b互为相反数，/.3a-4b+7a-6b=0,二.a=b.

3.【答案】2.

【解析】解：数轴上点A所表示的数是-2,-2的相反数是2,

故答案为：2.

4.【答案】两个，±5,互为相反数

24

5.【答案】一；—；3

35

【解析】多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果为

正，；若“一”个数为奇数个时，化简结果为负.

6.【答案】-b<-1<0<-a<1.

三、解答题

1.［解析］r---------匚［I

(1)如图所示西，：?，I，。।，―东

-400-150050100单位：米

(2)小敏从邮局出发，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，其路程为50X

8=400(米)，由上图知，此时小敏位于家西300米处，所以小敏在学校与图书馆之间，且

距图书馆100米,距学校150米.

2.【解析】二飞是-(-5)的柞反数,

a=-5,

•；b比最小的正整数大4,

.*.b=1+4=5,

Ye是最大的负整数，

:.c=-1,

:.3a+3b+c=3X(-5)+3X5-1,

=-15+15-1,

=-1.

3.【解析】

(1)-(-54)=54

(2)-(+3.6)=-3.6

55

3

2

将化简后的数表示在数轴上，由图可得：-(+3.6)<-<-(-54).

4.【解析】依题意：3m-2=7,故m=3.

绝对值(基础)

【学习目标】

1.掌握一个数的绝对值的求法和性质；

2.进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；

3.会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4.理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.

【要点梳理】

要点一、绝对值

L定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

要点诠释：

(1)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它

的相反数；0的绝对值是0.即对于任何有理数a都有：

>(a>0)

a|=<0(a=0)

*-a(a<0)

(2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,

离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.

(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.

2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.

要点二、有理数的大小比较

1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右I

a

边的数小.如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a<b.

2.法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

同为正号：绝对值大的数大

两数同号

同为负号：绝对值大的反而小

两数异号正数大于负数

正数与0:正数大于0

-数为0

负数与0：负数小于0

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：(1)分别计算两数的绝对值；

(2)比较绝对值的大小；(3)判定两数的大小.

3.作差法：设a、b为任意数，若a-b〉0,则a>b；若a-b=0,则a=b；若

a-b<0,avb；反之成立.

4.求商法：设a、b为任意正数，若则若则。=力；若

bb

则。<b；反之也成立.若a、b为任意负数，则与上述结论相反.

b

5.倒数比较法：如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小.

【典型例题】

类型一、绝对值的概念

◎1.求下列各数的绝对值.

-1-,-0.3,0,-f-3-1

2I2）

【思路点拨】1g，一0・3,0,-1-3；）在数轴上位置距原点有多少个单位长

度，这个数字就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解.

【答案与解析】

解法一因为拈到原点距离是e个单位长度，所以-11=11.

因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以-0.3|=0.3

因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|二0.

因为/一3g］到原点的距离是3,个单位长度，所以/-31=31.

I2；2{2）2

解法二：因为一匚〈0,所以1号=1］

22<2J2

因为一0.3<0,所以-0.3|=-（-0.3）=0.3.

因为0的绝对值是它本身，所以1。1二0.

因为—（―3；）>0,所以］一3'=3g.

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求

解（如方法D,一种是利用绝对值的代数意义求解（如方法2）,后种方法的具体

做法：首先判断这个数是正数、负数还是0.再根据绝对值的意义，确定去掉

绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0.从而求出该数的绝对

值.

C%.（2015•毕节市）下列说法正确的是（）

A.一个数的绝对值一定比。大

B.一个数的相反数一定比它本身小

C.绝对值等于它本身的数一定是正数

D.最小的正整数是1

【答案】D.

【解析】A、一个数的绝对值一定比。大，有可能等于0,故此选项错误；

B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；

C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；

D、最小的正整数是1,正确.

【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是

解题关键.

举一反三：

【变式1]求绝对值不大于3的所有整数.

【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3.

【变式2](2015•镇江)已知一个数的绝对值是4,则这个数是.

【答案】±4.

【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为.

【答案】6或-6

类型二、比较大小

C3.(2016春•上海校级月考)比较大小：|-卫|_______-(-1.8)(填

4

“>”、"V”或“二”).

【思路点拨】先化简，再比较大小，即可解答.

【答案】<.

【解析】解：I-1-1|=1^1.75,-(-1.8)=1.8,

44

V1.75<1,8,

・・・|-1S|V-(-1.8)，

4

故答案为：V.

【总结升华】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握绝对值的化简以及多重

复号的化简方法.

举一反三:

【绝对值比大小356845典型例题2】

【变式1】比大小：

-3--3-；-1-3.21_____-(+3.2);0.0001______-1000；

67

-1.38-1.384；-71-3.14.

【答案】>；=；>；>；<

【变式2】下列各数中，比-1小的数是()

A.0B.1C.-2D.2

【答案】C

【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a,-a,7的大小关系是

().

111ftI

。-10.

A.-a<a<-1B.-1<-a<a

C.a<-1<-aD.a<_a<-1

【答案】C

类型三、绝对值非负性的应用

Cd.已知|2-m|+|n-3|=0,试求nr2n的值.

【思路点拨】由|a|N0即绝对值的非负性可知，|2-m|20,|n-3|20,

而它们的和为0.所以|2-m|=0,|n-3|=0.因此，2-m=0tn-3=0,所以m

=2,n=3.

【答案与解析】因为|2-m|+|『3|=0

且|2-m|N0,|n-31>0

所以2-m|=0,|n-3|=0

BP2-m=0,n-3=0

所以m=2,n=3

故m-2n=2-2x3=-4.

【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|4|+必|+・・・

十|m|=0时，贝IJa=b二…二m=0.

类型四、绝对值的实际应用

C5.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质

量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克

数.检测结果（单位：克）：-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判员应该选择

哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由.

【答案】因为|+10|<|+15|〈卜20|25|<|+30|<|-40|,所

以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这

场比赛.

【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质

量越好.这个偏差可以用绝对值表示