线性代数试卷及答案7（包含详细评分细则可直接作为考试试卷）

一、填空题（本题总计20分，每小题2分）

1.排列7623451的逆序数是。

aw3〃i20

2.若“"《2=],则/3%0=

Bl=CA

3.已知〃阶矩阵A、8和C满足ABC=E,其中E为〃阶单位矩阵，则

4.若A为相矩阵，则非齐次线性方程组AX=6有唯一解的充分要条件是

5.设A为8x6的矩阵，已知它的秩为4,则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为

_2,

（\00、

6.设A为三阶可逆阵，A"=210,则A〃=

、32L

7.若A为〃zx〃矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是_____________

12345

30412

8.已知五阶行列式。=11111,则A4I+A42+A43+Au+A45=_

11023

54321

9.向量1二（一2,1,0,2）7'的模（范数）

10.若a=（lk1）,与尸二（1-21）丁正交，则女=

二、选择题（本题总计10分，每小题2分）

1.向量组四,。2,…，明线性相关且秩为s，则⑻

A.r=sB.r<s

C.s<rD.s<r

2.若A为三阶方阵,且|A+2E|=0,|2A+E|=0,|3A-4E|=0,则|A|=(A)

A.8B.—8

44

C.-D.---

33

3.设向量组A能由向量组B线性表示，则(d)

A.R(B)<R(A)B.R(8)vR(A)

C.R(B)=R(A)D.R(B)NR(A)

4.设〃阶矩阵4的行列式等于D,则(同*等于

(A)(8)8A*(C)kn-]A*(D)A*

5.设〃阶矩阵A,B和C,则下列说法正确的是o

(A)AB=AC则B=C(B)AB=O,则网=0或恸=0

(C)(AB)T=ATBT(D)(A+B)(A-B)=A2-B2

三、计算题(本题总计60分c1-3每小题8分,4-7每小题9分)

122•••22

222•••22

223•••22

1.计算〃阶行列式。=••••••o

•■••..•..•・

222n-\2

222…2n

J为A的伴随矩阵，且|A|二L求2A*|

2.设A为三阶矩阵，A(3A)T-

3.求矩阵的逆

<111]

A二2-11

J20,

%+%2+4尢3=%?

4.讨论义为何值时，非齐次线性方程组(%+九々+%3=%

几百+X2+X3=1

①有唯一解;②有无穷多解；③无解。

5.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

X,4x24-x3+x4=2

«2xt+3X2+X3+X4=1

Xj+2X3+2X4=5

2l137

6,已知向量组％=Q°3),、«2=(5),、a3=(l-13l)

=（1249）/口5=（1125）,求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该

最大无关组线性表示.

0、

7.求矩阵A=-430的特征值和特征向量.

J02；

四、证明题（本题总计10分）

设〃为AX=〃（bw0）的一个解，2……短f为对应齐次线性方程组AX=O的基础解系,

证明。看2……女—月线性无关。

（答案一）

一、填空题（本题总计20分，每小题2分）

’100、

1-15；2、3：3、C4；4、R(4)=R(A,b)=〃：5、2：6、2107、R（A）V〃：8、0；9、3；10、1。.

、321,

二、选择题（本题总计10分，每小题2分1、D;2、A;3、D;4、C;5、B

三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）

12222

22222

00100

解：D4一弓«=3、4,…•••3分

■••

000n-30

0000n-2

122­••22

0-2-2…-2-2

001•••00

・・・・・・----6分

・•・・・•

000…n-30

000••0n-2

=1x(-2)x1x2x•--x(,?-3)x(/?-2)=-2(w-2)!......8分

（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）

11Y121](1r

解：(1)AB-2A=-1113-I-2-11i……i分

”21"11

-1-1I

’464、222、（242、

=222-222=4005分

2)10

306八2-22%

「113W593、r-4-80、

(2)A2-B2=-111-210-6-3-1178分

T八1

J1117✓-12一电

A'为A的伴随矩阵，且|A|二g,求|（3A）T—2A1.因A"A=|A|E=gE,故

3.设A为三阶矩阵,

A"—」

A3分A-'=，A*=2A5分

l1=4|A|

16

|(3A)-'-2A1=耕-2A8分

27

0000100、

4、解：（A,E）=1-10-10110…3分

J1-11-110

-100100、4+(-1)(100-100、

00110々+(-1)010-1-10—6分

4+R-1211,-+(T)10

,0001-2-1-L

r-l00、

故A-=-1-10•……8分（利用A-11公式求得结果也正确。）

、-2-1-1/

(A,1111八一0(11矛、

5、解：（A,b）=1212心—(0A—11—AA—4+G

2q-%101-23

U11-221-2~

112Z2、

02-11-/1A-A2..........3分

(2+2)(1-2)(1+2)2(1-2)

\00?

(1)唯一解：R(A)=RQ4s)=32¥1且义¥—25分

(2)无穷多解：R(A)=R(AZ?)v32=17分

(3)无解：R(A)wR(A。)2=-2——9分（利用其他方法求得结果也正确。）

1112、

6、解：（A,b）23111-----3分

<10225,

0

基础解系为6分

x+2X3+2X4=5

令占=X4=0-7分故原方程组的通解为:

一/一£=一3

〃+%4+贴2,其中仁,&wR-9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给

分。）

-1-X10

7、解：特征方程|4-4同二-43-20=(2-2)(2-1)2从而4=2,4=々=1(4分)

102-2

当4=2时，由（A—2E）X=0得基础解系［=。。1）7■，即对应于4=2的全部特征向量为（勺/0）（7

分）

当4=4=1时，由（A—E）x=o得基础解系△=（一1，一2,1尸，即对应于4=4=1的全部特征向量为

32（�）

四、证明题（本题总计10分）

证：由。42……,一为对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，贝1］。看2……当一线性无关。（3分）

反证法:设《4……力线性相关，则〃可由44……当一线性表示，即：〃=4。+…+4•媒伯

分）

因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故〃必是AX=0的解。这与已知条件〃为

AX=b（bwO）的一个解相矛盾。（9分）.有上可知，八蜃……4…,〃线性无关。（1。分）

（试卷二）

一、填空题（本题总计20分，每小题2分）

1.排列6574412的逆序数是.

2x1-1

2.函数f(x)=-x-xx中/的系数是.

12x

3.设三阶方阵A的行列式同=3,则(A")"=A/3

4.n元齐次线性方程组AX=O有非零解的充要条件是

，-2、

5.设向量-2正交，则；1=.

6.三阶方阵A的特征值为1,-1,2,贝可川=.

」2-1、

7.设4一1=02—1,则A*=.

、003,

8.设A为8x6的矩阵，已知它的秩为4,则以4为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为

9.设A为n阶方阵，且|A|=2贝IJ(一；4尸+4=

‘-20

10.已知A=2x2相似于8=,则x=,y=

.31I

二、选择题(本题总计10分，每小题2分)

1.设n阶矩阵A的行列式等于O,则|一5川等于.

(A)(~5)nD(B)-5D(C)5D(D)(-5)用。

2.n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是,

(A)矩阵A有n个线性无关的特征向量

(B)矩阵A有n个特征值

(C)矩阵A的行列式闾工0

(D)矩阵A的特征方程没有重根

3.A为〃zx〃矩阵，则非齐次线性方程组AX=6有唯一解的充要条件是

(A)R(A,。)<m(B)R(A)<m

(C)R(A)=R(4,b)=n(D)R(A)=R(A,b)<n

4.设向量组A能由向量组B线性表示，则()

(A).R(B)<R(A)(B).R(8)<R(A)

(0.R(5)=R(A)(D).R(B)>R(A)

5.向量组…，见线性相关且秩为一则

(A)r=s(B)r<s(C)r>s(D)s<r

三、计算题（本题总计60分，每小题10分）

122…22

222…22

223…22

1.计算n阶行列式：。=••••

222…n-\2

222…2n

’220、

2.已知矩阵方程AX=4+X,求矩阵X,其中A=213

、010,

3.设〃阶方阵A满足2A—4E=0,证明A—3£可逆，并求（A—3£）r.

4.求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:

x1+x2+Xy+2X4=3

-x2+3X3+8X4=8

-3%）+2X2-Xj-9X4=-5

x,-2x3-3X4=-4

5.求下列向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示.

「2、T仔、3

4135

ao72

6.已知二次型：f(xi,x2,x5)=2Xj4-5x2+5^3+4XJX2-4xtx3-8x2x3,

用正交变换化/（匹，1：2，/）为标准形，并求出其正交变换矩阵Q.

四、证明题（本题总计10分，每小题10分）

设4=4，b2a，…，。=4+。2+…+4■，且向量组生，〃2,…，对线性无关，证

明向量组4也，…也线性无关・

（答案二）

一、填空题（本题总计20分，每小题2分）

12-1

(一D"

1.172.-23.-A4.R(A)v〃5・4=-26.-27.一4一或一02-18.29、------10>x=0,y=-2

3662

003

二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1.A2.A4.D5,B

三、计算题（本题总计60分，每小题10分）

2222

22222

00100

1、解：D/；.一弓（i=34,…・•4分

.••

()00n—30

0000n-2

122…22

0-2-2…-2-2

001…00

-2一2八7分

000…n-30

000…0n-2

=lx（-2）xlx2x...x（/i-3）x（/i-2）=-2（w-2）!----10分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）

2.求解AX=A+X,其中

’22O'

4=213

、O10,

解：由AX=A+X得

X=（A-E）-1A（3分）

（\20220、100-226

（A-E,A）=203213（6分）01020-3（8

<01-1010>（0012-1-3

分）

-226

所以X20-3（10分）

-1-3

3.解:利用由A2-2A-4E=0可得:（A-3E）（A+E）-E=0----5分

即（A-3E）（A+E）=E---7分故A-3E可逆且（A-3E）-1=（A+E）.....10分

4.求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系.

%+电+凡+2%=3

2x）-x2+3七+85=8

—3X1+2x,—2工3—9%二—5

X1—2/3天-—4

解：（A（2分）

：4=°（6分）

-4=2

二2、’1、

10

取匕为自由未知量,令％=。，则通解为:+ceR（8分）

-12

J>O

「2、

对应齐次线性方程组的基础解系为：1

（10分）

—1

5.求下列向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示.

101

2

0111

0000

（2分）为一个极大无关组•（4分）设

%=+x2a2,%=+）'2a2

X,=y,=l

解得2f（8分）则有

」2=14