《电磁场、微波技术与天线》课件-第4章

第4章传输线理论4.1引言4.2分布参数4.3传输线方程及其解4.4无耗传输线的传输特性4.5端接负载的均匀无耗传输线4.6圆图及其应用4.7传输线阻抗匹配

4.1引言

相应于前文所讲述的空间电磁波,我们把沿传输线传播的波称为导行波,而研究其传播规律的理论则称为传输线理论。电路理论和传输线理论之间的关键差别在于电尺寸。由于电路理论所面对的电磁波频率是极低的,其电路尺寸相比其传输的波长小得多,故整个长度内其电压和电流的幅值和相位可以认为是不变的。而传输线的尺度则可能为一个波长的几分之一或几个波长,显然这时整个长度内的电压和电流的幅值相位都可能发生变化。为此,我们定义了长线的概念。

所谓长线就是很长的一段传输线。一般认为当传输线物理长度l与电磁波波长λ的比值(称为电长度)l/λ≥0.1时称为长线。30km的照明线不能算是长线,因为50Hz的市电的波长是6000km。但一段10cm长的X波段波导却是地地道道的长线,因为它大约是工作波长的3倍。微波的波长很短,所以看起来并不长的一段传输线,其实都算是长线。所以,传输线理论有时又称为长线理论。

传输线按其引导电磁波类型的不同可以分为三类:

①TEM或准TEM波传输线,其典型特征是传输线都是多导体结构,如图4-1-1中的(a)、(b)、(c)所示;

②TE或TM波传输线,其典型特征是传输线都是封闭的单导体结构,如图(d)、(e)所示;

③表面波传输线,其典型特征是传输线是开放结构,如图(f)、(g)所示。图4-1-1常用的几种微波传输线

4.2分布参数

如图4-2-1所示,将(a)图中均匀无限长线划分为许多长度为dz的微小分段,每一个微小分段中都含有四种集总元件的电路,如图(b)所示。其中R0、G0、C0、L0

为单位长度的量,称之为长线的分布参数,其定义和物理意义如下:图4-2-1长线及其等效电路

(1)分布电阻R0:单位为欧姆每米(Ω/m),指单位长度线段上的串联电阻总值。来源于有限电导率导体的高频集肤效应,其值取决于导体电导率σ及导体截面尺寸。对于理想导体,其分布电阻R0=0。

(2)分布电导G0:单位为西门子每米(S/m),指单位长度线段上的并联电导总值。来源于导体间填充介质的介质损耗,其值取决于介质材料的介质损耗角。对于理想介质,其分布电导G0=0。

(3)分布电感L0:单位为亨利每米(H/m),指单位长度线段的总串联自感。来源于导线间通过的交变电流产生的交变磁场,其值取决于导线的截面尺寸、线间距及介质的磁导率μ。

(4)分布电容C0:单位为法拉每米(F/m),指单位长度线段间总并联电容。来源于导线间交变电场产生的电容效应,其值取决于导线截面尺寸、线间距及介质的介电常数ε。

如果双导线的分布电感L0=0.9nH/mm,分布电容C0=0.01pF/mm,当信号频率为f=50Hz时,引入的串联电抗和并联电纳分别为

当频率升为f'=5000MHz时,引入的相应值为

两者相比相差了108倍。可见,低频情形下微不足道的分布参量在微波频段时已不能再忽略不计了。

若长线的上述分布参数沿线是均匀分布的,不随位置而变化,则称之为均匀传输线。如果R0和G0均为零,则称为无耗传输线。

4.3传输线方程及其解

对图421(b)所示电路,将电路理论中基尔霍夫定律应用于dz段的等效电路,可导出线上电压u(z,t)、电流i(z,t)所服从的微分方程,这个方程称为传输线方程。最初是在研究电报线上电压电流的变化规律时推导出来的,故又称为“电报方程”。解此方程便可求得长线上任一点的电压、电流表示式。

4.3.1传输线方程

在图421所示的Γ型等效电路中,dz段左边电压u经串联阻抗Zdz=(R0+jωL0)dz分压后其电压值下降了du;电流i经并联导纳Y

dz=(G0+jωC0)dz分流后其电流减小了di,对其应用基尔霍夫定律得到传输线方程为

上式两边对z再次微分,整理后可得

注意,方程中Z与Y是相互独立的两个参量,并非倒数关系。

如果令γ2=ZY,则有

式中,γ为传播常数;α为衰减常数;β为相移常数。对于无耗传输线,由于R0=0、G0=0,则α=0、β=ωL0C0。

如果令

则称Z0为传输线的特性阻抗。

4.3.2传输线方程的通解与物理意义

传输线方程(4-3-1)是时域方程,对随时间作正余弦变化的简谐信号,可采用复振幅表示法,先抛开时间因子而单独求解线上的电压、电流随z的变化规律I(z)和U(z)。若欲知电压、电流随时间t的变化规律,则只需将求得的I(z)、U(z)分别乘以时间因子ejωt后再取其实部即可。则式(4-3-1)的复方程为

两个方程均为二阶常系数齐次微分方程。其解为

返回时域,电压波形可表示为

其中,φ1、φ2是复电压振幅A1、A2的相位角。A1、A2是待定系数,取决于激励条件或终端条件。利用电磁场中平面波的传输理论可求得传输线上的波长和相速为

下面我们讨论解的物理意义。式(4-3-4)中U(z)、I(z)都含有波动因子e±γz,这说明电压U(z)、电流I(z)沿线为一波动波,波动因子e-γz表明其振幅随传播距离z增加而按指数减小,相位随z的增加而滞后,说明其为沿正z方向传播的衰减余弦波,称为入射波;波动因子eγz

表明振幅随z增加而增大,相位随z增加而超前,说明其为沿负z方向传播的衰减余弦波,称为反射波,如图4-3-1所示,则电压和电流可写为图4-3-1传输线上的入射波与反射波

例4-3-1已知无耗传输线长l=3.25m,特性阻抗Z0=50Ω,负载阻抗ZL

=75Ω。电源电压e(t)=500cosωt(V),电源内阻Zg=Z0,工作波长λ=1m,如图4-3-2所示。求沿线任意处的电压和电流。图4-3-2例4-3-1用图

4.4无耗传输线的传输特性

一般传输线的上述解包含了损耗的影响,其传播常数和特性阻抗都是复数。而在很多实际情形中,传播线的损耗很小,因而可以忽略,此时其分布电阻R0=0,分布电导G0=0,分布电感L0和分布电容C0不随坐标变化。

1.特性阻抗Z0

由式(434)易见,特性阻抗Z0为电压入射波Ui(z)与电流入射波Ii(z)之比,或电压反射波Ur(z)与电流反射波Ir(z)之比取负值,即

可见特性阻抗是单一行波电压和电流的比值。Z0与分布参数的关系由式(432b)确定。对于无耗线Z0为纯实数,即

Z0

的大小完全由长线本身的分布参数,即给定长线的横向尺寸和周围所填介质的特性所决定,而与信号源及负载无关,因此长线的特性阻抗是表征长线固有特性的一个重要参量,其L0和C0可用静态场方法计算得到。表4-4-1给出了几种无耗传输线的分布参数计算公式。

2.传播常数γ=α+jβ

γ的实部α称为衰减常数,单位为奈培每米(Np/m)或分贝每米(dB/m),它表示每传播单位长度后行波振幅衰减为原值的e-α倍;虚部β称为相移常数,表示行波每传播单位长度后相位滞后的弧度数,单位为弧度每米(rad/m)。对于无耗线有

因此,行波在无耗线中传播时其振幅不衰减。

3.相速度vp

对于无耗线,由式(436b)和式(4-4-2)得

将表4-4-1中的数据代入上式有

其中,c为光速;εr为行波所处介质中的相对介电常数;对于非铁磁介质,一般有μr

=1。式(4-4-3)描述了任一无耗介质中无色散波的波速与光速之间的关系。

4.相波长λp

对于无耗线,由式(436b)和式(4-4-3b)得

其中,λ0为信号源波长。式(4-4-4)描述了任一无耗介质中无色散波的波长与自由空间中电磁波波长的关系。

例4-4-1某同轴线内外导体间填充空气时单位长度电容为66.7pF/m,求其特性阻抗;如果在此同轴线内外导体间填充聚四氟乙烯(εr

=2.1),求解此时的特性阻抗、频率为300MHz时的相速度与相波长。

解由式(4-4-3)及式(4-4-1)有

真空时相速度为vp=c=3×108m/s,故有

填充介质后有

4.5端接负载的均匀无耗传输线

4.5.1波的反射现象图4-5-1为端接任意负载阻抗ZL的无耗传输线,坐标原点建立在负载端,我们已经知道,行波的电压和电流之比是特性阻抗Z0,但当负载阻抗ZL≠Z0时,负载上的电压和电流之比应是ZL。因此,产生适当振幅的反射波是可以预期的。图4-5-1传输线终端条件

1.反射系数

为符合新的坐标系,用“-z”代替“z”,用Ui0和Ur0表示z=0处入射波和反射波振幅,式(434a)可改写为如下形式:

因此在z=0处,必然有

从式(4-5-2a)中也可以看出,只有当ΓL=0时,才不会有反射波,此时负载阻抗ZL=Z0,这种负载称为匹配负载,工作状态称为行波状态;当ΓL=1时,反射波振幅与入射波振幅相等,我们称之为驻波状态或全反射状态;当0<ΓL<1时,线上既有驻波成分也有行波成分,我们称之为行驻波状态。4.5.2节中将对此进行详细分析。

2.驻波比与行波系数

如果负载是匹配的,线上载行波,故线上任一点电压幅值为常数;如果负载失配,反射波的存在会导致线上存在驻波成分,这时线上的电压幅值不再是常数。由式(4-5-3)得

其中,φL为负载反射系数ΓL的相位。这个结论表明,电压幅值沿线随z起伏,当φL-2βz=2nπ时,ej(φL-2βz)=1,此时取得电压最大值,称为电压波腹值:

φL-2βz=(2n±1)π时,ej(φL-2βz)=-1,此时取得电压最小值,称为电压波节点:

相应电流也有同样规律,不过正好反过来。由式(4-5-3)得,当电压取得波腹点时,电流取得波节点;电压取得波节点时,电流取得波腹点。

有时也会用到行波系数,其定义为沿线电压Umin和Umax之比:

当负载失配时,一部分功率因反射波的存在而损失掉,我们称之为“回波损耗”,其定义为

4.输入阻抗

定义沿线任意点z处的输入阻抗为该点电压与电流的比值。从式(4-5-8)可以看出,线上的平均功率是常数,但式(4-5-4)表明电压的振幅随z的位置变化而变化,故线上任一点的输入阻抗必定随位置变化而变化。则由式(4-5-3)有

将上式化简,我们可以得出两个很重要的结论:

可见,如同电压幅值变化规律一样,输入阻抗也有以下变化规律:当φL-2βz=2nπ时,ej(φL-2βz)=1,此时输入阻抗取得最大纯阻为

当φL-2βz=(2n±1)π时,ej(φL-2βz)=-1,此时输入阻抗取得最小纯阻为

由此可知,相邻最大纯阻之间的距离为2π/2β=λ/2;最大值与相邻最小值之间的距离是π/2β=λ/4,其中λ是传输线上的波长。我们称之为λ/4变换性与λ/2重复性。

例4-5-1无耗传输线长l=3.25m,相波长λp=1m,特性阻抗Z0=50Ω,终端接负载阻抗ZL=100Ω,求负载处反射系数、线上的驻波比、始端输入阻抗、负载到第一个电压最小值和最大值处的距离lmin和lmax。

解始端至终端距离为3.25个电长度,即λ/4,则负载反射系数

驻波比

4.5.2传输线的三种工作状态

1.行波状态

长线为半无限长或负载阻抗等于长线特性阻抗,即ZL=Z0时,入射波功率被负载全部吸收,即负载与长线相匹配,ΓL=0。

其沿线电压、电流的瞬时分布和振幅分布曲线如图4-5-2所示。其特点为:

(1)沿线只有入射的行波而没有反射波。

(2)入射波的能量全为负载所吸收,故传输效率最高。

(3)沿线上任意点的输入阻抗等于线的特性阻抗而与离负载的距离无关,参见式(4-5-10)。

(4)沿线电压和电流的振幅值不变。

(5)电压、电流的时空相位ωt-βz始终保持一致,随z增加而连续滞后。

图4-5-2行波电压、电流瞬时分布与振幅分布

综上所述,长线终端无论是短路、开路或是纯电抗,终端都将产生全反射,沿线电压、电流呈驻波分布。其特性如下:

(1)驻波波腹值为入射波幅值的两倍,波节值恒为零。短路线终端为电压波节,电流波腹;开路线终端为电压波腹,电流波节;接纯电抗时,终端既非波腹也非波节(当终端为纯感抗时,离开负载第一个出现的是电压波腹点;当终端为纯容抗时,离开负载第一个出现的是电压波节点)。

(2)沿线同一位置处电压、电流的时空相位关系均为π/2,所以驻波状态只能储存能量而不能传输能量。

(3)沿线任一处的输入阻抗为纯电抗,具有λ/4变换性与λ/2重复性。不同长度的短路线、开路线可分别等效为电感、电容、串联谐振回路和并联谐振回路。

终端短路、开路情况虽然不能用以传输能量,但在某些情况下还是非常有用的。由上面分析可知,其输入阻抗为纯电抗,故可用来等效不能用于微波频率的集总电感和集总电容;任何电抗都是没有损耗的,故可以用来制作谐振单元和调配单元。下面我们举两个例子来说明它们的应用。

例4-5-2开路线或短路线作滤波电路。如图4-5-3所示,雷达发射机输出的基波信号波长为λ1,谐波波长为λ2,试分析当l1和l2满足什么关系时,能保留λ1信号滤除λ2信号。图4-5-3例4-5-2用图

解欲保留λ1信号滤除λ2信号,则AA'并联支节的输入阻抗Zin对λ1信号应为无穷大,对λ2信号应为0。

例4-5-3如图4-5-4为雷达收发开关示意图,试分析其工作原理。开关管的作用是,当强信号通过时,它就工作,处于短路状态;弱信号时不工作,处于开路状态。图4-5-4例4-5-3用图

解发射机发射信号时,强信号使两个开关管都工作,AA'和DD'面短路,这时AB段和DC段为λ/4短路线,对主传输线无影响,发射信号能顺利通向天线。由于DD'短路,发射信号将不能进入接收机。

天线接收信号时,回波信号弱不能使开关管工作,两个开关管都为开路状态。这时AB段为λ/4开路线,使BB'面短路,又因BC段长为λ/4,故从CC'面向发射机看入的输入阻抗为无穷大,这样接收信号不能进入发射机,而顺利通向接收机。

3.行驻波状态(部分反射状态)

若传输线的负载ZL≠Z0,且又不是开路、短路或纯电抗性元件,传输线上会产生部分反射波。从前面的分析可知驻波的波节点是由于反射波和入射波反相,振幅相等,互相抵消而形成;波腹点是由于入射波和反射波同相,振幅相等,互相叠加而形成。因反射波振幅小于入射波振幅,波节点处入射波与反射波不能完全抵消,因此波节点不为零。同样波腹点处也不能达到入射波振幅的两倍,故行驻波兼有行波与驻波的特点。

行驻波时,线上任一点的电压和电流可表示为

由此可见,当2βz-φL=2nπ(n=0,1,2,…)时,将出现电压波腹点、电流波节点,且电压最大值、电流最小值分

知道了沿线电压和电流波腹点与波节点的位置和大小,即可画出行驻波状态下的沿线输入阻抗、电压和电流的分布曲线,图4-5-5为不同负载时它们的曲线,读者可以自行比较。图4-5-5终端接任意负载时沿线电压、电流及阻抗分布

4.6圆图及其应用

在涉及高频传输线的工程中,经常遇到如下三类问题:第一,由负载求ρ、Γ(z)、Zin(z);第二,由实测的ρ、Γ(z)和驻波相位lmin求Zin(z)或ZL等;第三,在前两个问题中同时解决阻抗的匹配。这些问题可以由前面所得出的公式进行求解,但是这些计算往往是十分烦琐的复数运算。因此,在满足一定精度的情况下,在实际中多采用图解法。阻抗及导纳圆图就是最方便的一种图解法。

Γ(z)一般为复数,故可表示为

其中

图4-6-1阻抗圆图

为了解反射系数的相角与线长的关系,下面考察图4-6-2中在负载处的反射系数Γ2与离负载l处的反射系数Γ(l)的相位关系。

任一点处的反射系数可表示为图4-6-2线上的反射系数

由上式可见,当观察点由负载处沿线向电源方向移动l距离时,反射系数的相角较负载处滞后了2βl。即当观察点沿传输线向电源方向移动时,在圆图中应沿等Γ圆向其相角减小的方向移动,即顺时针方向移动。反之,如果观察点由电源向负载移动时,在圆图中应按反时针方向移动。故通常在圆图的单位圆外边分别标出“向电源方向”和“向负载方向”的两个标度。

4.6.3导纳圆图

在实现匹配的方法中,常在传输线中并联某一匹配元件,遇到这类问题时采用导纳进行计算更为方便,因为并联支路的导纳可以直接相加。与阻抗圆图相对应的又是纳圆图。

由归一化输入导纳与归一化输入阻抗的关系式可知

图4-6-3

4.6.4圆图应用举例

阻抗圆图和导纳圆图常应用于下列问题的计算:

(1)由负载ZL求线上的驻波比ρ或反射系数Γ(z)和输入阻抗Zin(z)。

(2)由负载ZL求电压驻波最大点及最小点离负载的距离(用lmax和lmin表示)。

(3)由驻波比ρ及距离负载ZL的第一个最小点的距离lmin求负载阻抗ZL。

(4)阻抗与导纳的互换和求复数的倒数。

(5)由已知传输线的特性阻抗Z0和负载阻抗ZL进行阻抗匹配的计算。

例4-6-1如图4-6-4所示,求输入阻抗Zin(z)和驻波比ρ。已知传输线的特性阻抗Z0=50Ω,负载阻抗ZL=50+j50Ω。求离负载l=0.25λ处的输入阻抗Zin(z)和驻波比ρ。图4-6-4例4-6-1用图

例4-6-2如图4-6-5所示,求电压驻波最大点、最小点的位置及反射系数ΓL。已知传输线的特性阻抗Z0=50Ω,负载阻抗ZL

=50+j50Ω。图4-6-5例4-6-2用图

例4-6-3如图4-6-6所示,求负载阻抗。已知传输线的特性阻抗Z0=50Ω,当线的终端接入ZL

时测得线上的驻波比为ρ=2,当线的末端短路时,电压最小点往负载方向移动了0.15λ。图4-6-6例4-6-3用图

例4-6-4如图4-6-7所示,求阻抗对应的导纳或复数的倒数。已知传输线的特性阻抗Z0=50Ω,长度l=λ/4,负载阻抗ZL=50+j50Ω。求始端的输入阻抗。图4-6-7例4-6-4用图

4.7传输线阻抗匹配

4.7.1阻抗匹配的概念阻抗匹配是长线理论的一个重要概念。对于由信号源、长线及负载所组成的传输系统,为了提高传输效率,保持信号源工作的稳定性以及提高长线的功率容量,希望信号源给出最大功率,同时负载吸收全部入射波功率。前者要求信号源内阻与长线输入阻抗实现