2025高考一轮复习（人教A版）第40讲 等比数列（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第四十讲等比数列阅卷人一、选择题得分1．在数列an中，已知a1=1,A．2·3n−1+1 B．3n−1−1 2．在等比数列{an}中，若aA．2 B．22 C．4 3．记等比数列{an}的前n项和为SA．121 B．63 C．40 D．314．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8A．40 B．-30 C．30 D．-30或405．设Sn为数列{an}的前n项和，若A．4 B．8 C．18 D．6．为了更好地解决就业问题，在国家鼓励政策下，某摊主2024年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货.如此继续，该摊主预计在2025年3月底还贷款，至此，他的收入约为（）（取(1.2)11≈7.5A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元7．已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)A．2100−1 B．2100+1 C．8．已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1A．3×251−156 B．3×251−103阅卷人二、多项选择题得分9．已知{an}是等比数列，公比为q，若存在无穷多个不同的nA．q>0 B．q<0 C．|q|>1 D．|q|<110．已知n,m∈N∗，将数列{4n+1A．aB．aC．{an}的前D．{an}的前11．已知等差数列an的前n项和为Sn，正项等比数列bn的前nA．数列Snn是等差数列 B．数列C．数列lnTn是等差数列 D．数列12．已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若A．a1=1C．an=1阅卷人三、填空题得分13．已知等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=−15×(1214．在等比数列{an}中，a315．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2阅卷人四、解答题得分16．记Sn为等比数列an的前n项和，已知（1）求an（2）设bn=an,n17．已知数列{an}，{bn}中，a1（1）求数列{b（2）求数列{bn}的前n18．已知数列{an}的前n项和为S（1）证明：{a（2）设bn=(−1)19．已知数列an是公比大于0的等比数列．其前n项和为Sn．若（1）求数列an前n项和S（2）设bn=k（ⅰ）当k≥2,n=a（ⅱ）求i=1S

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为an+1=3a则数列an+1是以2为首项，3为公比的等比数列，即an故答案为：C.【分析】由递推式求得an+1+1=3(an+1)2．【答案】C【解析】【解答】解：因为数列{a则a2a3所以a4故答案为：C.【分析】利用已知条件和等比数列的性质，从而得出a43．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，设等比数列{an}若a1a2a3又因为a5=81，则q3故a1则S5故答案为：A.【分析】利用已知条件和等比中项公式得出数列第二项的值，再结合等比数列的性质得出公比的值，根据等比数列的通项公式得出首项的值，从而由等比数列前n项和公式得出S54．【答案】A【解析】【解答】解：因为S8+S所以S8=10，S24所以S24S8=1−q241−q由等比数列性质可知，S8,所以S16−10=10×q故答案为：A.【分析】利用已知条件结合等比数列的前n项和公式，从而解方程得出q8的值，再利用等比数列的性质得出S5．【答案】B【解析】【解答】解：当n≥2时，Sn−1=2an−1−1整理得an=2a故答案为：B．【分析】利用已知条件和Sn，a6．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，设a0=8000，

从4月份起每月底用于下月进货的资金依次记为a1，aa1=a变形可得an+1因为a0−4000=4000，所以数列所以an−4000=4000×1.2所以a12总利润为40000−8000=32000.故答案为：D.【分析】由题意，设a0=8000，从4月份起每月底用于下月进货的资金依次记为a1，a2，…，a127．【答案】A【解析】【解答】解：令an=f(n)则an+1+1=2(a则an+1=2n，即故答案为：A.【分析】令an=f(n)，由题意可得a8．【答案】A【解析】【解答】解：因为a1所以a2k+2=a2k+1+1=2所以a2k+2记bn=a2n+所以bn+3是以所以bn+3=6×2记bn的前n项和为Tn，

则故答案为：A.【分析】分奇数项和偶数项求出数列的递推关系，记bn=a2n+a2n−1,n≥1，利用构造法，记bn=a9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：当q>0时，则有：①当q=1，则{an}为非零常数列，故a②当q≠1，则{an}为单调数列，故an+2≤当q<0时，可得an①当q=−1，若a1>0,若a1<0,故q=−1符合题意，所以B正确；②当q<−1，若a1>0,n为偶数时，

则an+2若a1<0,n为奇数时，

则an+2故q<−1符合题意，所以C正确；③当−1<q<0时，若an+2≤a∵−1<q<0，则q2−1<0,1−q>0，

可得故−1<q<0和0<q<1均不合题意，所以D错误.故答案为：ABC.【分析】利用已知条件和分类讨论的方法，再结合常数列的定义和数列的单调性，再根据等比数列的定义，从而得出公比的正负和公比的绝对值的取值范围，进而找出可能成立的选项.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：令4n+1=5所以n=5当m=1时，n=1，所以数列{5m}所以an=5n(n=1,2,3⋯)故答案为：BC.【分析】令4n+1=5m(n,m∈N*11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，设an的公差为d，bn的公比为则Sn所以Sn对于B，因为3a对于C，因为lnT对于D，因为Tn+2故选：ABD.【分析】根据等差数列和等比数列的定义以及等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，从而判断出各选项，进而找出正确的选项.12．【答案】B,D【解析】【解答】解：因为等比数列an，满足a1+a3=5,a因为a1=12，q=3故答案为：BD.

【分析】由题意，利用等比数列的性质以及等比数列的通项公式、求和公式计算即可.13．【答案】3【解析】【解答】解：因为a1=S1=−又因为{an}是等比数列，所以a22数列{an}是以152为首项，数列{an}是递减数列，a所以n=3时，a1故答案为：3.【分析】利用已知条件和Sn,an的关系式以及等比数列的性质，从而得出t的值和首项的值，结合等比数列的定义判断出数列{an}是以152为首项，14．【答案】4【解析】【解答】解：在等比数列an中，a由等比数列的性质，a3a7又因为a3a11故答案为：4.【分析】利用已知条件和等比数列的性质，从而得出满足要求的a715．【答案】1【解析】【解答】解：因为Sn所以Sn−1故n≥2时，两式相减得，an即an因为S1=2a所以数列{a所以an=2n，则T=2(故答案为：12【分析】利用已知条件和Sn，an的关系式得出递推公式，再结合等比数列的定义判断出数列{an}16．【答案】（1）解：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(an+1−1)−(an−1)=an+1−an，∴an+1=2an（2）解：由题意得，当n为奇数时，bn=an=2n−1，当n为偶数时，bn=1log22n−1【解析】【分析】（1）根据an=Sn−（2）由（1）计算bn，利用分组求和的方法求数列b（1）当n≥2时，an∴an+1∴等比数列an的公比q=2当n=1时，由Sn=an+1−1得a∴an（2）由题意得，当n为奇数时，bn当n为偶数时，bn∴b1b=1∴T=117．【答案】（1）解：由题意，可得an故an=n+3，∵数列{an+∴a∴bn=（2）解：由题意和（1），可得bn则T===2【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式，再结合等比数列的通项公式得出数列{bn}的通项公式.

（2）利用已知条件和（1）中数列{b18．【答案】（1）证明：在数列{an}中，4Sn=5an−2又因为a1=S1=54所以，数列{an}（2）解：由（1）知，bn所以T(−199+201)=2+2+2+⋯+2=2×50=100．【解析】【分析】（1）利用已知条件和Sn，an的关系式以及等比数列的定义，从而证出数列{an}是等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列{an}的通项公式.19．【答案】（1）解：设等比数列{an}因为a1=1,可得1+q=q2−1，整理得q2−q−2=0，

所以Sn（2）解：（i）由（1）可知an=2当n=ak+1=2k≥4时，则ak则bn−1可得b当且仅当k=2时，等号成立，所以bn−1（ii）由（1）可知：Sn若n=1，则