数学-TDA2月诊断性测试2025届高三试卷和答案

标准学术能力诊断性测试2025年2月测试数学试卷本试卷共150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，其中i为虚数单位，则2．已知向量，若则x=3．若m是空间中的一条直线，α,β是空间中两个相互垂直的平面，则“m丄β”是“mα”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知正实数x,y满足lg2x+lg4y=lg2，则的最小值为6．过点(−7,−5)作曲线y=x3−12x+11的切线l，切点为P，则点P的横坐标不可能是,,f(x)的部分图(4π)象如图所示，则f|(3(4π) 22118．一个正十二面体的各个面分别标有数字1到12，抛掷一次这个正十二面体，观察它与地面接触的面上的数字，事件A={1,2,3,4,5,6}，事件B={2,4,6,8,10,12}，若事件C满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，P(AC)≠P(A)P(C)，P(BC)≠P(B)P(C)，则满足条件的事件C可以为{6,7,8,9}{3,4,5,6,7,8,9,10}D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分.9．在平面直角坐标系xOy中，角φ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P．已知函数f(x)=sin(2x+φ)，则下列选项正确的是A．y=f(x)的图象关于直线对称B．y=f(x)的图象关于点对称C．在内有最大值D．在内单调递减10．函数y=f(x),y=g(x)的定义域均为R，且对任意x∈R均满足f(x)−g(2−x)=−2，g(x)+f(x−2)=4,g(x)+g(6−x)=4，则下列选项正确的是11．已知曲线C:(x−y)2+λ(y−1)2=5,λ∈R，则下列选项正确的是D．当λ=−1时，直线y=是曲线C的一条渐近线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知直线y=2x+过双曲线的左焦点，且与双曲线C有且仅有一个交点，则双曲线C的离心率e为.13．已知函数f(x)=x3+ax2+b，a,b∈R．若x∈[0,1]时，函数f(x)有最大值为1，最小值为−1，试写出一组满足上述条件的(a,b)=.14．给定有限个正整数满足条件T：每个数都不大于7且总和S=430，现将这些数按下列要求分成M组，每组数之和不超过21，规定第1组先选择数字，使得选择的数字之和尽可能的大，记和为S1，第2组数字在余下的数中选择，使得选择数字之和尽可能的大，记和为S2，如此继续下去……，设第i组数字之和为Si，其中i∈{1,2,,M}，对任意满足条件T的有限个正整数，则M的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1513分）已知函数+2x−3lnx.（1）求函数f(x)的极小值；（2）求不等式的解集.1615分）问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．下面设计了一个调查程序：已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查（吸烟问题）.第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个骰子结果只有被测人员知道）第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6，则被测人员在计数器上点一下；如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下.已知最后计数器数字是211.（1）求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率；（2）试估计某高校吸烟的人数.1715分）如图所示，已知抛物线Γ:y2=4x的焦点为F，直线l过点P(−3,0).（1）若直线l与抛物线Γ相切于点Q，求线段QF的长度；（2）若直线l与抛物线Γ相交于A,B两点，且PB=2PA，直线AF与抛物线Γ交于另一点C，连结BC，记BC中点为M，直线PM交AC于点G，求ΔCMG的面积.1817分）如图所示，斜三棱柱ABC−A1B1C1中，D为AB的中点，D1为A1B1的中点，平面（1）求证：直线A1C平面BC1D1；（2）若三角形A1B1C1是等边三角形且边长为2，侧棱AA1=，且异面直线BC1与AB1互相垂直，求异面直线A1D与BC1所成角正切值；ABC−A1B1C1有内切球，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积第18题图）n（1）写出n=4时的所有凝聚排列；（2）求证：凝聚排列(a1,a2,a3,,an)必有a1=1或n；（3）求n元凝聚排列的个数.符合题目要求的.12345678BCDDBBDD9AC令f,(x)=0，得x=1（舍负）··························································所以f(x)的极小值为····································································5分（2）原不等式等价于x2+6x−3lnx−令x2+6x−3lnx−··································································6分所以h(x)在(0,+∞)上单调递减，且h(1得h(x)≥0的解集为(0,1]，即原不等式的解集为(0,1]···································13分解1）设两个骰子的点数之和是4或5或6的事件为A，所以·····································································（2）设被测试中的一个学生吸烟的概率为P，则被计数器计数的学生人数为：所以估计某高校吸烟的人数为12000P=220人··············································1解1）设直线PQ的方程为x=my−3，因为直线PQ与抛物线Γ相切，所以=16m2−48=0→m2=3·（2）直线AB的方程为x=my−3，设A(x1,y1),B(x2,y2)， 因为PB=2PA，所以y2=2y1，解得y1=±·6············································9分 (3)当y1=6时，A|(2,6,,F(1,0),AF:y=26(x−1)································10 (3)因为点G为ΔBCP的重心，所以解1）连接B1C交BC1于E点，连接D1E，得E为B1C的中点，因为A1C丈平面BC1D1，D1E平面BC1D1，故A1C平面BC1D1···················································································4分（2）因为A1DBD1，所以上C1BD1为A1D与BC1所成角········································5分设AB1BD1=F，所以BF=,AF=AB1，BB·······································································8分B1B···································································9分AF2+FB2=AB2，即为异面直线A1D与BC1所成角正切值···························（3）作BH丄AA1于H点，作HM丄CC1于M点，连接BM，则AA1丄平面BHM，故三棱柱ABC−A1B1C1内切球半径等于ΔBHM的内切圆半径，×·····························································因为平面AA1B1B丄平面ABC， 所以BM=5sin上B1BC=23，故ΔBHM为正三角形··································15分设内接球半径为r，则SΔBHM=2(BM+BH+HM)r=4BM2，解得r=1，所以VABC−A1B1C1=SΔABC.2r=24··································································17分解1）(1,2,3,4)；(1,2,4,3)；(1,4,2,3)；(1,4,3,2)；(4,1,2,3)；(4,1,3,2)；(4,3,1,2)；(4,3,2,1)····················································（2）假设a1=k,k∈{2,3,4,,n−1},an=t，由题意得存在m10由题意得存在m10mn−k−1所以有a1=1或n成立·················································································10分（3）设n元凝聚排列的个数为xn，则x2=2，下面考虑n+1元凝聚排列的个数为xn+1，=n+1···········································①当a1=n+1时，(a2,a3,,an+1)为1,2,,n的一个凝聚排列