2024-2025学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列{an}中，∀n∈N+，a1=2A.18 B.20 C.22 D.242.函数f(x)=xex+ax的极值点为x=1，则a=A.−2e B.−e C.e D.2e3.与椭圆x212+y23A.x25−y24=1 B.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，S4A.2 B.3 C.4 D.55.过点(0,−e)作函数f(x)=xlnx的切线方程为(

)A.x−y−e=0 B.x+y+e=0 C.2x−y−e=0 D.x+2y+2e=06.已知椭圆C：x2a2+y2a2−9=1(a>3)，圆x2+y2=9A.2(3+1) B.23 7.已知函数f(x)=(−x2+2x+2)ex+mA.(−2e2,0) B.(−6e28.已知数列{an}满足a1=32A.1920 B.2920 C.341380二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列{an}满足a1=1,an+1an=2对∀n∈N+成立，{anA.{Sn}为等比数列 B.{lnan}为等差数列

C.Tn10.已知椭圆x28+y24=1的左右两个焦点分别为F1，F2，过点M(2,1)的直线与椭圆交于A，A.|PF2|最小值为22−2

B.若直线AB经过点F2，则S△OAB=22

C.存在点11.已知函数f(x)=lnx−a(x−1)ex(a∈R)，则下列结论正确的是A.当a=−3时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增

B.函数f(x)可能有极大值，也可能有极小值

C.若函数f(x)存在唯一的极值点x0，且x0>1，则a∈(0,1e)

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知F是抛物线C：y2=6x的焦点，点P是C上一点，|PF|=8，则PF的中点M到y轴的距离为______．13.无人机表演美轮美奂，为了精确的控制每一台参演的无人机，程序员需要为每一台无人机编写控制代码.已知一位程序员每天最多可以编写110行该类代码，从第二台无人机开始，后一台无人机需要的控制代码数量是前一台的a倍(a>0)，已知控制1000台无人机需要24300行代码，控制2000台无人机需要32400行代码.某无人机表演公司接到客户临时通知，将表演规模从3000台增加到5000台，仅有2天的时间准备，则该公司最少需要组织______名程序员编写新增的控制代码．14.已知f(x)=lnx−1ex+ax+4,x∈[1e2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知f(x)=13x3−(a+1)x2+4ax+23．

(1)若a=2，求f(x)的单调区间；

(2)若a>0且f(x)的单调递减区间的长度为4，

(i)求a16.(本小题15分)

已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1(−2,0)，F2(2,0)，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为H，若△HF1F2的面积为2．

(1)求双曲线E17.(本小题15分)

已知公差为d的等差数列{an}和公比为q(q≠1)的等比数列{bn}满足：a3−b3=a5−b4=a9−b518.(本小题17分)

已知点F(−1,0)，动点M在以点F2(1,0)为圆心，4为半径的圆上，若线段MF1的中垂线交线段MF2于点P，O为坐标原点．

(1)求点P的轨迹E的方程；

(2)若轨迹E交x轴正半轴于点G，过线段OG(不含端点)上一动点H，作斜率分别为1和−1的两条直线l1，l2，若l1交轨迹E于A，B两点，l2交抛物线19.(本小题17分)

已知函数f(x)=aln(x+1)−ax−1x+1．

(1)若a=1，求y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若f(x)≥ln2恒成立，求a的取值范围；

(3)试比较101e+199参考答案1.B

2.A

3.B

4.A

5.C

6.C

7.C

8.D

9.BCD

10.AB

11.ACD

12.4

13.6

14.e315.解：(1)若a=2，则f(x)=13x3−3x2+8x+23，则f′(x)=x2−6x+8=(x−2)(x−4)，

当x∈(−∞,2)∪(4,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(2,4)时，f′(x)<0，

所以f(x)的递增区间为(−∞,2)，(4,+∞)，递减区间为(2,4)．

(2)由f′(x)=x2−2(a+1)x+4a=(x−2)(x−2a)，

(i)当0<a<1时，在(2a,2)上f′(x)<0，f(x)在(2a,2)上单调递减，区间的长度小于4，不符合题意；

当a=1时，f′(x)≥0，f(x)在定义域上单调递增，不符合题意；

当a>1时，则在(2,2a)上f′(x)<0，f(x)在(2,2a)上单调递减，此时2a−2=4⇒a=3，满足题意；

综上，a=3．

(ii)由上知f(x)=13x3−4x2+12x+2316.解：(1)由题意可知c=2，渐近线方程为y=±bax，

则双曲线一条渐近线的垂线方程为：y=−ab(x−2)，

联立方程组得y=baxy=−ab(x−2)，解得x=2a2b2+a2y=2abb2+a2，

即H(2a2b2+a2,2abb2+a2)，

所以S△HF1F2=12×2c×|yH|=4abb2+a2=2，

即b2+a2=2ab，解得a=b，

又因为b2+a2=c2=4，所以a2=b2=2，

所以双曲线E的方程为：x22−y22=1；

(2)当直线AB斜率不存在时，l：x=2，则A(2,2),A(2,−2)，

此时cos∠AF1B=2×(32)2−(22)22×(32)2=7917.解：(1)已知公差为d的等差数列{an}和公比为q(q≠1)的等比数列{bn}满足：a3−b3=a5−b4=a9−b5．

则a3−b3=a3+2d−b3q=a3+6d−b3q2，

即(q−1)b3=2d(q2−1)b3=6d，

因为b3≠0，q≠1，

即q2−1=3(q−1)，

则q+1=3，

则q=2．

(2)将d=4，q=2代入(1)18.解：(1)因为线段MF1的中垂线交线段MF2于点P，

所以|PM|=|PF1|，

因为|MF2|=|MP|+|PF2|=4，

所以|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2，

由椭圆定义可知点P的轨迹为椭圆，

设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其中c为半焦距，

此时2a=4，c=1，

解得a=2，

则b2=a2−c2=4−1=3，

故点P的轨迹方程E为x24+y23=1．

(2)由(1)知G(2,0)，

设直线l1的方程为x=y+t，H(t,0)(0<t<2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程x=y+t3x2+4y2−12=0，消去x并整理得7y2+6ty+(3t2−12)=0，

此时Δ1=48(7−t2)>0y1+y2=−6t7y1⋅y219.解：(1)当a=1时，f(x)=ln(x+1)−x−1x+1，

则f(0)=1，故切点为(0,1)，

f′(x)=1x+1−2(x+1)2，

则切线斜率k=f′(0)=−1，

所以切线方程为y−1=−(x−0)，即y=−x+1，

(2)f(x)=aln(x+1)−ax−1x+1，定义域为x∈(−1,+∞)，

则f′(x)=ax+1−a(x+1)−(ax−1)(x+1)2=ax−1(x+1)2，

当a=0时，f′(x)=−1(x+1)2<0，f(x)=1x+1，

故f(x)在(−1,+∞)上单调递减，

当x→+∞时，f(x)→0，与f(x)≥ln2矛盾，故排除，

当a<0时，当x→+∞时，aln(x+1)→−∞，

ax−1x+1→a，故f(x)→−∞，与f(x)≥ln2矛盾，故排除，

当a>0时，1a>0>−1，令f′(x)>0，解得x∈(1a,+∞)，

令f′(x)<0，解得x